北师大版九年级数学上册-探索三角形相似的条件

第四章

图形的相似4.4探索三角形相似的条件

北师大版九年级上册新课导入讲授新课当堂检测课堂小结学习目标1、熟练掌握利用两角分别相等的两个三角形相似；2、熟练掌握利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；3、掌握三边成比例的两个三角形相似；导入新课温故知新相似多边形定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.A1B1C1D1E1F1ABCDEF六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1思考：什么叫相似三角形呢？观察教师的一个三角板(有30°，60°的角)，这两个三角板的外围的三角形的三个内角有什么关系?这些三角形相似吗?讲授新课知识点一

相似三角形的判定定理1定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.三角形ABC∽三角形A1B1C1ABCA1B1C1相似三角形的概念思考：两个三角形至少满足什么条件就相似呢？类比两个三角形全等的条件，寻找判定两个相似的条件？ABCA1B1C1判定方法全等三角形相似三角形角边角ASA角角边AAS边边边SSS边角边SASHL三角形全等的性质和判定方法有哪些？思考

全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？直角边、斜边思考：如果两个三角形只有一个角相等，它们相似吗？ABCA1B1C1不一定那如果两个三角形有两个角相等，它们相似吗？60°60°操作：画△ABC，使∠A=30°,∠B=45°,再画△A′B′C′，使∠A′=30°,∠B′=45°.观察这两个三角形形状相同吗？ABCA′B′C′请问∠C=∠C′吗？量出这两个三角形的三边，计算对应边是否对应成比例？由此你可以得出什么结论？这两三角形是相似的猜想：两角分别相等的两个三角形相似.已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.

求证：△ABC∽△A′B′C′.B’A’DEC’BAC证明：两角分别相等的两个三角形相似典例精析证明：在△A′B′C′的边A′B′、A′C′上，分别截取A′D=AB，A′E=AC，连接DE.

∵A′D=AB，∠A=∠A′，A′E=AC，∴△A′DE≌△ABC,∴∠A′DE=∠B，又∵∠B′=∠B，

∴∠A′DE=∠B′，∴DE∥B′C′，

B’A’DEC’BAC【例1】已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.

求证：△ABC∽△A′B′C′.过D连接DF//A′C′

∵DF//A′C′,DE∥B′C′∴四边形EDFC′是平行四边形

∴DE=FC′，∵

∴△A′DE∽△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.BACB’A’DEC’F两角分别相等的两个三角形相似.用数学符号表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC∽ΔA'B'C'相似三角形的判定定理：注意：对应点写在对应的位置.1.如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB.

求证：△ADE∽△EFC.

AEFBCD解:∵DE∥BC，EF∥AB.∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.∴△ADE∽△EFC.（两角分别相等的两个三角形相似．）练一练知识点二

相似三角形的判定定理2问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗?3355不相似问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？3355相似①任意画△ABC;②再画△A′B′C′，使∠A′=∠A,且

③量出B′C′及BC的长，计算的值，并比较是否三边都对应成比例？④量出∠B与∠B′的度数，∠B′=∠B吗？∠C′=∠C吗？⑤由上面的画图，你能发现△A′B′C′与△ABC有何关系？

我发现这两个三角形是相似的画一画猜想：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′，证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB.过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.∵DE∥B′C′,∠ADE=∠B′,∠A′ED=∠C′∴△A′DE∽△A′B′C′.求证：△A′B′C′∽△ABC.BACB’A’DEC’两边成比例夹角相等的两个三角形相似.典例精析

∵A′D=AB，∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'【例2】已知：在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′，求证：△A′B′C′∽△ABC.

如果△ABC与△A'B'C'两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？知识拓展33CC60°)4AB)C′1.5B′260°A′判定定理2：

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似探究相似三角形的条件用数学符号表示：∵∠A=∠A'，∴ΔABC∽ΔA'B'C'练一练解：∵AE=1.5，AC=2，∴∵∴

又∵∠EAD=∠CAB,

∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)∴ ∴BC=3.∴DE=1.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC,AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3,且，求DE的长.ACBED2.如图，在

△ABC

中，CD是边AB上的高，且求证：∠ACB=90°．ABCD解：∵CD是边AB上的高,

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ABC∽△DEF.∴∠ACD=∠B.∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=90°.知识点三

三角形相似的判定3思考：类比全等三角形的判定方法，还有其他判定两个三角形相似的方法吗？两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？ABCA1B1C1操作：画△ABC与△A1B1C1，使(1)比较∠A与∠A1的大小，△ABC与△A1B1C1相似吗？ABCA1B1C1(2)改变k值的大小，△ABC与△A1B1C1还相似吗？猜想：三边成比例的两个三角形相似ABCA1B1C1

求证：三边成比例的两个三角形相似已知：在△ABC与△A1B1C1中，求证：△ABC∽△A1B1C1典例精析证明:在△A1B1C1的边A1B1(或延长线)上截取A1D=AB,过点D作DE∥B1C1交A1C1于点E.∵DE∥B1C1

，∴△ADE∽△A1B1C1.ABCA1B1C1DE【例3】已知：在△ABC与△A1B1C1中，求证：△ABC∽△A1B1C1∴又∴∴∴（SSS）∵∴ABCA1B1C1DE三边成比例的两个三角形相似相似三角形的判定定理3：用数学符号表示：∴△ABC∽△A1B1C1∵

ABCA1B1C1判定三角形相似的方法：

如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应（注意：大对大，小对小，中对中）总结归纳练一练1.如图,小方格的边长为1，△ABC与△A′B′C′相似吗?CBAA′B′C′解：△ABC∽△A′B′C′小结：先求边，然后排序，最后作比.

2.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=20°,求∠CAE的度数.解：∵

∴△ABC∽△ADE

∴∠BAC=∠DAE.

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC.即∠BAD=∠CAE.

∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.ABCDE知识点四

黄金分割如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC如果ACABACBC=那么称线段AB被点C

黄金分割点C叫做线段AB的黄金分割点AC与AB的比叫做黄金比.CAB(AC2=AB∙BC)ACBCACAB=()计算黄金比.解：由，得AC2

=AB·BC.设AB=1，AC=x,则BC=1–x.

∴x2=1×（1-x）.即x2+x–1=0.解方程得：x1=x2=黄金比≈0.618:1ACABACBC=

CAB2.如图，已知线段AB按照如下方法作图:1.经过点B作BD⊥AB,使BD=AB2.连接AD,在AD上截取DE=DB.3.在AB上截取AC=AE.思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?ABDEC黄金分割点的画法ACABACBC=即求=：1ABDEC解：设BD=x，AB=2x，在Rt△ABD中，由勾股定理，得∴AD=xDE=x，AE=x–x=AC=ACAB=2x=练一练1.在人体躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近0.618越给人以美感.小明的妈妈脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该穿多高的高跟鞋看起来会更美？解：设肚脐到脚底的距离为xm，根据题意，得 ，解得x=0.96.设穿上ym高的高跟鞋看起来会更美，则 解得y≈0.075，而0.075m=7.5cm.故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.当堂练习课堂小结利用两角判定三角形相似定理：