2023~2024学年北京顺义区高考考前适应性数学试题一模带解析

2023-2024学年北京市顺义区高考考前适应性检测数学模拟试题（一模）一、单选题1．若集合，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】由题目条件，先求解，再与集合A做交集运算即可.【详解】因，故．本题考查集合的运算，属于基础题．2．设复数满足，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据复数的四则运算得到，再根据模长公式求解即可.【详解】因为，所以，所以，故选：C.3．函数的图象与函数的图象关于轴对称，则（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】由题意可知：，即可求出答案.【详解】因为数的图象与函数的图象关于轴对称，则，所以.故选：D.4．的展开式的二项式系数之和为8，则展开式的常数项等于（

）A．4 B．6C．8 D．10【正确答案】B由二项式系数和求出，然后写出展开式的通项公式得常数项所在项数，从而得常数项．【详解】因为的展开式的各个二项式系数之和为8，所以，解得，所以展开式的通项为，令，，则r＝1，所以常数项为6．故选：B5．在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，若角终边过点，则的值为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】由角终边过点求出，利用诱导公式及二倍角公式化简即可得解.【详解】因为角终边过点，，所以，.故选：A本题考查任意角的三角函数定义，涉及三角函数诱导公式及二倍角公式，属于基础题.6．已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】将已知不等式化为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集．【详解】由题意，不等式，即，等价于在上的解，令，，则不等式为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，可得不等式的解集为，故选：B7．《周髀算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后20位数字分别为14159

2653589793

23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】利用古典概型概率公式即得.【详解】因为从这20个数字的前10个数字中有7个奇数，后10个数字中有5个奇数，所以从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，这两个数字均为奇数的概率为.故选：D.8．设为等比数列，若，，，，则是的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】A【详解】根据等比数列的性质设为等比数列，若，，，，则，反过来设数列为常数列1，1，1，1……,任意两项的积相等，但项数和不等，所以不必要，那么为等比数列，若，，，，则是的充分不必要条件,选A.9．已知圆：与直线：，为直线上一动点.若圆上存在点，使得，则的最大值为（

）A． B．4 C．2 D．【正确答案】C【分析】易知直线与圆相离，为直线上一动点，当直线与圆相切时，取得最大值，求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离为，可知直线与圆相离，由正弦定理可得三角形的外接圆直径为，为直线上一动点，当直线与圆相切时，此时为外接圆的直径，取得最大值，最大值为.故选：C.本题考查直线与圆的位置关系以及正弦定理的应用，考查数形结合的数学思想，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.10．新型冠状病毒肺炎（）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于月日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为（表示自月日开始（单位：天）时刻累计感染人数，的导数表示时刻的新增病例数，），根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为（

）A．月日～月日 B．月日～月日C．月日～月日 D．月日～月日【正确答案】A【分析】由题对求导得：，根据基本不等式得：，即可求出答案.【详解】对求导得：，根据基本不等式得：，当且仅当，即，即，即.故选：A.二、填空题11．双曲线的两条渐近线夹角为________．【正确答案】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，求出渐近线的斜率，由夹角公式即可求出渐近线的夹角．【详解】因为双曲线，所以渐近线方程为或，设两条渐近线的夹角为锐角，则，所以夹角为．故答案为本题考查双曲线渐近线方程的求法以及夹角公式，属于基础题．三、双空题12．正方形中，，为中点，为中点，则_______；若为上的动点，则的最大值为_________.【正确答案】【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求得，设出点坐标，求得的表达式，进而求得的最大值.【详解】以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由于正方形的边长为，分别是线段的中点，所以，所以.设，则，由于，所以，所以的最大值为.故（1）；（2）本小题主要考查平面向量数量积的运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.四、填空题13．已知函数(其中为实数),若对恒成立,则满足条件的值为______________(写出满足条件的一个值即可)【正确答案】答案不唯一，如：【分析】根据f（x）≤|f（）|，可得x时，f（x）取得最大值或最小值，即写出答案；【详解】由题意，f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，可得x时，f（x）取得最大值或最小值．若x时，f（x）取得最大值，可得2kπ，k∈Z若x时，f（x）取得最小值，可得2kπ，k∈Z故答案为本题考查了三角形函数的性质的应用，考查了转化思想，属于基础题五、双空题14．已知抛物线C：的焦点为，则抛物线C的方程是________；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则|FN|＝________．【正确答案】6利用C：的焦点坐标为,对照已知焦点坐标求得,得到抛物线的方程；利用中点坐标公式求得的横坐标，利用抛物线的定义求得到焦点的距离，进而得到所求.【详解】抛物线C：的焦点为，可得，则抛物线C的方程是.由M为FN的中点，在轴上，的横坐标为0，的横坐标为2，得M的横坐标为1，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，是抛物线上的点，是抛物线的焦点，抛物线C：的准线方程为,，.故；6.本题考查根据焦点坐标求抛物线的标准方程中的参数，利用抛物线的定义(焦半径公式)求点到直线的距离，涉及线段中点坐标公式，属基础题.常用知识如下:（1）C：的焦点坐标为;（2）C：上的点到焦点的距离为.六、填空题15．小图给出了某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间（月）的关系的散点图．有以下叙述：①与函数相比，函数作为近似刻画与的函数关系的模型更好；②按图中数据显现出的趋势，第个月时，浮萍的面积就会超过；③按图中数据显现出的趋势，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两倍；④按图中数据显现出的趋势，浮萍从月的蔓延到至少需要经过个月．其中正确的说法有__________（填序号）．【正确答案】①②③.【分析】结合图形求出函数的表达式，然后逐一判断【详解】①由题意知：浮萍蔓延的面积（）与时间（月）的关系：（且），且由函数图象可知函数过点，∴，∴这个指数函数的底数是，正确，故①正确．∴函数解析式为．②当时，，故第个月时，浮萍的面积就是超过成立，故②正确．③由知，浮萍每个月增加的面积约是上个月增加面积的两位，③正确．④由知，，；，，即需要经过个月，故④不正确．运用函数解决实际问题，关键是建立数学模型，将其转化为函数问题，然后求解，需要理解题目意思．七、解答题16．已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；条件①：函数的图象经过点；条件②：是的对称中心；条件③：是的对称中心.(2)根据（1）中确定的，求函数的值域．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得到和，再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；（2）先求出所在的范围，再根据图像求出函数值域即可.【详解】（1）因为在区间上单调，所以，因为，且，解得；又因为是函数的对称轴，所以；若选条件①：因为函数的图象经过点，所以，因为，所以，所以，即，当时，，满足题意，故.若选条件②：因为是的对称中心，所以，所以，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.若条件③：因为是的对称中心，所以，所以，解得，所以.（2）由（1）知，，所以等价于，，所以，所以，即函数的值域为.17．如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求二面角的余弦值．【正确答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）根据平面，得到；根据线面垂直的判定定理，得到平面，进而可证；（Ⅱ）设的中点为，连接，连接，根据面面平行的判定定理，先证明平面平面，进而可证线面平行；（Ⅲ）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，根据题意，分别求出平面和平面的一个法向量，由向量夹角公式求出夹角余弦值，进而可得出结果.【详解】（Ⅰ）因为平面，平面，所以；又，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，即；（Ⅱ）设的中点为，连接，则，又平面，平面，所以平面；连接，因为且，

所以是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；又，且平面，平面，所以平面平面，

又平面，所以平面；

（Ⅲ）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、由（Ⅰ）可知，平面，即平面，所以是平面的一个法向量，

又，．设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得．

，

因为二面角的平面角是钝角，

所以，二面角的余弦值为.本题主要考查证明线线垂直，证明线面平行，以及求二面角的余弦值，熟记线面垂直、线面平行的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.18．在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：(1)求样本中患病者的人数和图中，的值；(2)在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；(3)某研究机构提出，可以选取常数（），若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判断其患有这种职业病；若检测值小于，则判断其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病.写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率（只需写出结论）.【正确答案】(1)样本患病人数为人，，；(2)；(3)，误判概率为.【分析】（1）根据等比例原则求患者人数，由频率和为1，列方程求a、b的值；（2）分别求出样本中指标检测值为4的未患病者、患病者人数，应用对立事件概率求法求概率；（3）判断且对应的误判率，即可得结果.【详解】（1）由题设，患病者与未患病者的比例为，故患者人数为人；由直方图知：，可得，，可得.（2）由题意，指标检测值为4的未患病者有人，指标检测值为4的患病者有人；所以指标检测值为4的样本中随机选取2人，这2人中有患病者的概率的概率.（3）若为未患病者，为患病者，为体指标检测值为者，所以100名样本中，，，未患病者62115963患病者00481216当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、54，误判率为；当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为0、33，误判率为；当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为4、18，误判率为；当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为12、9，误判率为；当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为3、24，误判率为；综上，当时误判概率最小为.19．已知椭圆过点，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点，已知，过且与轴垂直的直线与直线交于点，求证：点在一定直线上，并求出此直线的方程.【正确答案】（1）；（2）证明见解析，直线.【分析】（1）由椭圆过定点，结合离心率求椭圆参数，写出椭圆方程.（2）由题设知的斜率不可能为0，可设直线的方程为，，，联立椭圆方程，应用韦达定理可得，再由点斜式表示直线：，则即可判断是否为定直线.【详解】（1）由题意，且，又，解得，.椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，，，联立方程整理得，，由，，即.直线的方程为.①过且与轴垂直的直线的方程为.②联立①②可得.点在定直线上.关键点点睛：第二问，设直线的方程联立椭圆方程，由韦达定理确定的关系，进而由的位置用表示出其横坐标.20．已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若，讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围.【正确答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）.（Ⅰ）根据导数几何意义求出导数即为斜率，根据点斜式写出直线方程；（Ⅱ）由题意得，讨论根据判定其单调区间；（Ⅲ）法一：由题意得，讨论根据单调性判定是否成立即可得出答案；法二：原命题等价于在上恒成立，用参变分离法求出函数最值.【详解】（Ⅰ）当时，，

，

所以切线方程为：，即：；（Ⅱ）由题，可得由于，的解为，（1）当，即时，，则在上单调递增；（2）当，即时，在区间上，在区间上，，所以的单调增区间为；单调减区间为.

(3)当，即时，在区间上，在区间上，，则在上单调递增，上单调递减.

（Ⅲ）解法一：（1）当时，因为，所以，，所以，则在上单调递增，成立

（2）当时，，所以在上单调递增，所以成立.

（3）当时，在区间上，；在区间，，所以在上单调递减，上单调递增，所以，不符合题意.

综上所述，的取值范围是.

解法二：当时，恒成立，等价于“当时，恒成立”.即在上恒成立.当时，，所以.

当时，，所以恒成立.设，则因为，所以，所以在区间上单调递增.所以，所以.综上所述，的取值范围是.方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.21．设数列（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.（1）判断数列与数列是否具有性质；（只需写出结论）（2）若数列具有性质，且，，，求的最小值；（3）若集合，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.【正确答案】（1）数列不具有性质；数列具有性质（2）的最小值为（3）证明见解析（1）不满足存在正整数使得，故数列不具有性质；根据定义可知数列具有性质；（2）由题可知，，，，，所以，再验证可知时，数列不具有性质，时，数列具有性质，从而可知的最小值为；（3）反证法：假设结论不成立，即对任意都有：若正整数，则，再根据定义推出矛盾，从