2023~2024学年广东韶关高考数学押题试题4月带解析

2023-2024学年广东省韶关市高考数学押题模拟试题（4月）一、单选题1．若，则（

）A．1 B． C． D．2【正确答案】B【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到其共轭复数，从而求出其模.【详解】因为，所以，所以，所以，所以.故选：B2．若集合，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】由根式、对数性质解不等式和定义域，再应用集合交运算求结果.【详解】由，则，故，由，则，故，所以.故选：B3．已知是平行四边形，，若，则（

）A． B．1 C． D．【正确答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得.【详解】因为，所以，所以，又，所以，．故选：C．4．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率.【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，设椭圆方程为，令，即，解得，依题意可得，所以，所以，所以．故选：D．5．已知四棱台的下底面为矩形，，高为，且该棱台的体积为，则该棱台上底面的周长的最小值是（

）A．15 B．14 C．13 D．12【正确答案】D【分析】设棱台的上底面矩形边长分别为，，则下底面矩形边长分别为，，由棱台的体积公式得到，再利用基本不等式求出上底面的周长最小值．【详解】设棱台的上底面矩形边长分别为，，则下底面矩形边长分别为，，则棱台的体积为，，所以棱台的上底面的周长为，当时，即上底面的周长最小值为．故选：D．6．函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到的图象，则下列说法不正确的是（

）A．函数的最小正周期为 B．函数在上单调递增C．函数的一个极值点为 D．函数的一个零点为【正确答案】B【分析】根据图象确定的解析式，然后根据三角函数的变换规则得到的解析式，再根据正弦函数的性质一一判断．【详解】由图可知，，所以，又，所以；又，所以，，所以，，因为，所以，故，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到，再向左平移个单位得到，即，所以的图象的最小正周期为，故A正确；因为，所以，则在上不单调，故B错误；对于C：令，，解得，，当时，函数的一个极值点为，所以C正确；对于D：令，，解得，，令，则函数的一个零点为，所以D正确．故选：B．7．已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【正确答案】A【分析】根据给定条件，利用互为反函数的函数图象特征求出即可作答.【详解】方程和依次化为：和，因此和分别是直线与曲线和的交点横坐标，而函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线，因此直线与曲线和的交点关于直线对称，于是，函数，所以函数的单调递减区间是.故选：A8．定义为与距离最近的整数（当为两相邻整数算术平均数时，取较大整数），令函数，如：，，，，则（

）A．17 B． C．19 D．【正确答案】C【分析】根据题意，分析的规律，将重新分组，第组为个，则每组中各个数之和为，分析所在的组，进而计算可得答案．【详解】根据题意，函数，当时，有，则，则有，当，有，则，则有，当，有，则，则有，当，有，则，则有，，当时，，，此时，包含，，，，共个整数，由此可以将重新分组，各组依次为、、、，，第组为个，则每组中各个数之和为，前组共有个数，则是第组的第个数，则．故选：C．关键点睛：本题解答的关键是找到的规律，确定所在的分组.二、多选题9．曲线C的方程为，则（

）A．当时，曲线C是焦距为的双曲线B．当时，曲线C是焦距为的双曲线C．曲线C不可能为圆D．当时，曲线C是焦距为的椭圆【正确答案】AD【分析】变形给定的方程，利用各选项的条件，结合圆、椭圆、双曲线的特征判断作答.【详解】对于A，当时，方程化为，曲线是焦距为的双曲线，A正确；对于B，当时，方程化为，曲线是焦点在y轴上，焦距为的椭圆，B错误；对于C，当时，曲线表示圆，C错误；对于D，当时，方程化为，曲线是焦点在x轴上，焦距为的椭圆，D正确.故选：AD10．下列命题中，正确的是（

）A．已知随机变量X服从二项分布，若，则B．已知随机变量X服从正态分布，若，则C．已知，，，则D．已知，，，则【正确答案】ACD【分析】利用二项分布期望公式及性质计算判断A；利用正态分布的对称性计算判断B；利用条件概率公式推理判断C；利用全概率公式计算判断D作答.【详解】对于，由二项分布的期望公式，，由期望的性质得，则，正确；对于，由正态分布曲线的性质知，，根据对称性知，，于是，B错误；对于C，由，得，所以，C正确；对于D，由，得，又，由全概率公式得，，D正确.故选：ACD11．如图所示，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点，，以下四个命题中正确的是（

）

A．四边形一定为矩形 B．平面平面C．四棱锥体积为 D．四边形的周长最小值为【正确答案】BC【分析】对于A，由正方体的性质得平面平面，从而，同理得，再由，得四边形为菱形；对于B，连接，，，推导出，，从而得到平面平面；对于C，求出四棱锥的体积进行判断；对于D，四边形是菱形，当点，分别为，的中点时，四边形的周长最小．【详解】连接，，，，，显然，且，所以为平行四边形，所以，由题意得，平面，平面，所以，，平面，所以平面，则平面，平面，所以平面平面，故B正确；由正方体的性质得平面平面，平面平面，平面平面，故，同理得，又平面，平面，，四边形为菱形，故A错误；对于C，四棱锥的体积为：，故C正确；对于D，四边形是菱形，四边形的周长，当点，分别为，的中点时，四边形的周长最小，此时，即周长的最小值为4，故D错误．故选：BC．

12．已知是周期为4的奇函数，且当时，.设，则（

）A．函数是奇函数也是周期函数B．函数的最大值为1C．函数在区间上单调递减D．函数的图象有对称中心也有对称轴【正确答案】BCD【分析】根据判断判断奇函数，判断周期性，求出在的解析式，根据图象平移写出在上解析式并判断奇偶性，进而可得解析式，结合周期性判断B、C，最后利用、判断D.【详解】由，令，则，故；令，则，故；所以，综上，一个周期内，由，而，故不是奇函数，但周期为4，A错；所以，是将图象右移一个单位，故在一个周期图象如下：由图象平移知：，且为偶函数，所以，故的最大值为1，B对；由周期性知：在上单调性同区间，即单调递减，C对；由，由，注意：根据周期性有、，综上，关于中心对称、关于轴对称，D对.故选：BCD关键点点睛：利用奇函数、周期性判断的奇偶性、周期性，再应用奇偶性求解析式，结合图象写出解析式，最后求出在一个周期内的解析式关键.三、填空题13．已知甲、乙、丙、丁四位高三学生拍毕业照，这四位同学排在同一行，则甲、乙两位学生相邻的概率为______.【正确答案】/【分析】利用捆绑法，先将甲、乙两位学生看成一个整体，再与剩余学生排列，结合古典概型运算求解.【详解】四位同学排列，共用种不同排法，若甲、乙两位学生相邻，共用种不同排法，所以甲、乙两位学生相邻的概率.故答案为.14．已知锐角满足，则______.【正确答案】【分析】利用倍角公式可求得，再利用同角三角关系结合诱导公式运算求解.【详解】因为，整理得，解得或，又因为为锐角，则，可得，则，即，可得，解得或（舍去），所以.故答案为.15．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为______.【正确答案】/【分析】求出圆锥底面圆半径及母线长，再利用圆锥及内切球的轴截面求出球半径作答.【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，解得，圆锥内半径最大的球为圆锥的内切球，圆锥与其内切球的轴截面，如图中等腰及内切圆，

，点为边的中点，，因此的面积，设的内切圆半径为，则有，解得，此球的表面积为，所以圆锥内半径最大的球的表面积为.故四、双空题16．已知抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为的直线l交抛物线C于A，B两点，则以线段AB为直径的圆D的方程为______；若圆D上存在两点P，Q，在圆T：上存在一点M，使得，则实数a的取值范围为______.【正确答案】【分析】根据给定条件，联立直线与抛物线的方程求出线段AB的中点D的坐标及弦长作答；按点M在圆D及内部和在圆D外探讨构成条件，再结合两圆有公共点求解作答.【详解】过抛物线的焦点且斜率为的直线为，由消去，得，设，有，于是的中点为，且，

所以以线段为直径的圆的半径，方程为；对圆及内任意一点，必可作互相垂直的两直线与圆D相交，则圆上存在两点,，使，对圆外任意一点，,是圆上两点，当,与圆相切时，最大，此时为矩形，，从而以线段为直径的圆上存在两点,，在圆上存在一点，使得，等价于以为圆心，以为半径的圆与圆有公共点，因此，解得，所以实数a的取值范围为.故；方法点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．两圆相切注意讨论内切外切两种情况.五、解答题17．设等比数列的前项和为，已知，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）设等比数列的公比为，根据，作差求出公比，即可得出答案；（2）由（1）得，可得，利用分组求和法计算可得．【详解】（1）设等比数列的公比为，①，，当时，有，当时，②，由①②得，即，，，，；（2）由（1）得，则，，，，．18．如图，在三棱柱中，为的中点，，，，点在底面上的射影为点.

(1)求证：平面；(2)若，求平面与平面所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接交于点，连接，可得，进而可证平面；（2）如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面所成角的余弦值，即可得解．【详解】（1）连接交于点，连接，则是的中点，由于、分别是，的中点，所以，由于平面，平面，所以平面；

（2）由点在底面上的射影为点，所以平面．在中，，，，，过作的平行线为，易知，，两两垂直，如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，得，，，，，设平面的法向量，，令，则，，，设平面的法向量为，，令，则，，平面的法向量为，设平面与平面所成角为，所以，则，所以平面与平面所成角的正弦值为．19．在中，，，点为内一点.

(1)若（图1），求的面积；(2)若（图2），求的最小值.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）在中，由余弦定理得，从而可得，利用面积公式即可求解；（2）设，，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，利用即可求解．【详解】（1）在中，，，由余弦定理得，又，，故．（2）设，因为，则，则，在中，由正弦定理可得，即，故，在中，，由余弦定理可得，其中，，，因为，则，即当时，．20．研究表明，如果温差太大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范.某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差（℃）47891412新增感冒就诊人数(位)参考数据：，.(1)已知第一天新增感冒就诊的学生中有位男生，从第一天新增的感冒就诊的学生中随机抽取位，其中男生人数记为，若抽取的人中至少有一位女生的概率为，求随机变量的分布列和数学期望；(2)已知两个变量与之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，据此估计昼夜温差为时，该校新增感冒就诊的学生人数.参考公式：，.【正确答案】(1)分布列见解析，(2)，人【分析】（1）首先根据抽取的2人中至少有一位女生的概率为，计算出的值，从而可得随机变量的取值，根据超几何分布概率计算可得分布列和期望；（2）首先根据样本相关系数和已知条件计算出，的值，进一步计算可得的值，利用最小二乘法计算的值，从而可得线性回归方程，将代入即可求得结果．【详解】（1）依题意，所以，所以，解得或（舍去），即第一天新增患感冒而就诊的学生有位，其中男生位，女生位，则随机变量的可能取值为：0，1，2，且服从超几何分布，其中，，，所以，，，所以的分布列为012则数学期望；（2）依题意可得，所以，由于，所以，所以，因为，，所以，所以，所以，当时，，所以可以估计，昼夜温差为时，该校新增患感冒的学生人数人．21．已知双曲线的左右焦点为，，经过的圆（为坐标原点）交双曲线的左支于，，且为正三角形.(1)求双曲线的标准方程及渐近线方程；(2)若点为双曲线右支上一点，射线，分别交双曲线于点，，试探究是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【正确答案】(1)，渐近线方程为．(2)为定值，且定值为【分析】（1）依题意可得，设与轴交于点，求出，，即可得到点坐标，代入方程求出，即可得到双曲线方程，再求出渐近线方程．（2）分轴与不垂直轴，当不垂直轴时设，，，表示出，联立方程组，利用韦达定理，求出对应长度关系，进行化简证明即可．【详解】（1）因为为正三角形，由对称性知，又因为，设与轴交于点，所以，，不妨设，所以，即，则，即，即，所以，所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为．（2）由（1）可得，，①当轴时，由对称性不妨设点，，所以直线，即，代入，消去得，得或（舍去），，，，则，②当不垂直轴时，由对称性不妨设，，，直线，代入，消去得，因为，所以，由韦达定理，所以，同理，所以，所以为定值，且定值为．方