2023~2024学年广东深圳高考数学冲刺押题试题一模带解析

2023-2024学年广东省深圳市高考数学冲刺押题模拟试题（一模）一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】解一元二次不等式得集合，然后由交集定义计算．【详解】因为，，所以.故选：B．2．若复数，其中是虚数单位，则复数的模为A． B． C． D．2【正确答案】C【分析】利用复数的四则运算将复数化简为a+bi的形式，然后利用复数模的公式计算即可．【详解】复数＝2i+＝2i+1﹣i＝1+i,则|z|＝．故选C．本题考查复数的乘除运算，复数的模的求法，属于基础题．3．如图，在四棱锥中，，其余的六条棱长均为2，则该四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】先证明，从而可证平面平面，则有顶点的射影在上，从而可得，即有是直角三角形，再求出底面积和高即可求出体积.【详解】连接，交点为，如图所示：，且是公共边，，，易得，，即，又，，，平面，平面，又平面，平面平面.过点作平面，垂足为，连接，，，平面，，，由是公共边，，即有，三点在以为直径的圆周上，，，，，，.故选：C4．若，则三角函数式的化简结果是（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】利用三角函数的升幂公式易知，结合，可得，，再利用升幂公式即可求得答案．【详解】解：若，所以，则，，又，．故选：D5．设随机变量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，则P(0<X<1)的值为()A．p B．1－p C．1－2p D．－p【正确答案】D【分析】由，得正态分布概率密度曲线关于对称，又由，根据对称性，可得，进而可得，即可求解．【详解】由随机变量，可知随机变量服从正态分布，其中是图象的对称轴，又由，所以，又因为，根据正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以，故选D．本题主要考查了正态分布曲线性质的简单应用，其中熟记正态分布概率密度曲线的对称性，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为A． B． C． D．【正确答案】A【详解】试题分析：由，焦点坐标为，又渐近线方程为：．则由点到直线的距离公式得抛物线与双曲线的性质及点到直线的距离算法.7．若等边的边长为2，平面内一点满足，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可.【详解】，，.故选：C.8．已知函数f（x）＝，满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是（

）A． B．（0，1） C． D．（0，3）【正确答案】A由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围，依题意对任意的，都有成立，所以函数在上为减函数，即可得到不等式组，解得即可；【详解】∵f（x）对任意的x1≠x2都有成立，∴f（x）＝为R上的减函数，∴解得0＜a≤.故选：A.已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：（1）若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；（2）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.二、多选题9．在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，下列说法正确的是（

）﹒A．对任意点，平面B．三棱锥的体积为C．线段长度的最小值为D．存在点，使得与平面所成角的大小为【正确答案】AB【分析】根据平面平面，可判断A;根据三棱锥体积公式，计算三棱锥的体积，可判断B；求出线段长度的最小值可判断C;作出与平面所成角，计算其正切值范围，结合题设可判断D.【详解】A选项：如图所示，连接，，，和，∵,∴四边形为平行四边形，∴，平面平面,所以平面，同理可知平面，∵平面，∴平面平面，∵平面，∴对任意点，平面，故A正确；B选项：如图所示，连接，和，由A知，，∵平面，平面，∴平面，∵，∴到平面的距离为定值，即，∴，故B正确；C选项：由题意正方体可知，∵为正三角形，∴当为中点时，，∴此时最小，为，故C错误；D选项：如图所示，连接，在上取一点使，连接,由可知，故四边形为平行四边形，∴，由于平面,则平面，∴即为直线与平面所成角，∴，∵在线段上，∴，∴，∴，若，则，故D错误．故选：AB．10．下列说法中正确的是（

）A．函数的最小值为2B．若，则C．函数的值域为D．函数与函数为同一个函数【正确答案】BC【分析】根据基本不等式、比较法，结合分式函数的性质、同一函数的定义逐一判断即可.【详解】A：，若，显然该方程无实数解，故，所以，因此最小值不是2，所以本选项不正确；B：因为，所以，即，因此本选项正确；C：因为，所以，因此函数的值域为，所以本选项正确；D：由可知：，所以函数的定义域为，由函数可知，或，所以函数的定义域为或，因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，因此本选项不正确，故选：BC11．关于函数，下列说法正确的是（

）A．是图象的一个对称中心； B．是函数的一个单调递增区间；C．是图象的一条对称轴； D．最大值是2，最小值是．【正确答案】AD【分析】应用整体代入法，验证对称中心、单调区间、对称轴即可判断A、B、C的正误，由正弦函数的值域判断D的正误.【详解】A：将代入，得，正确；B：，则，而上单调增，上单调减，错误；C：时，，显然不是的对称轴，错误；D：由解析式知，正确；故选：AD.12．已知，下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【正确答案】AB【分析】A选项，构造函数，通过求导研究其单调性得到证明；B选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；C选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；D选项，利用中间值比大小.【详解】令在内单调递增.时，，即A选项正确；令在内单调递增，，即，B选项正确；令，当时，单调递减，当时，单调递增，与大小不确定，C错误；当时，，D错误故选：AB三、填空题13．对于任意，不等式恒成立，则实数的范围是_________【正确答案】【分析】时恒成立，时，不等式变形为，只要求得的最小值即可得结论，这可由函数的单调性求得．【详解】时，不等式为恒成立，时，不等式变形为，，设，，，由对勾函数知该函数在上递减，在上递增，∴时，取得最小值2．∴．故．本题考查不等式恒成立问题，常用方法是用分离参数法把问题转化为求函数最值．四、双空题14．定义表示不超过的最大整数，如：，；定义．（1）______；（2）当为奇数时，______．【正确答案】【分析】（1）利用新定义求出，利用二项展开式求、的值，然后根据规律求出的值，代入所求的式子求解即可；（2）由（1）归纳出规律，利用此规律求出所求的式子的值．【详解】解：（1）由题意得，，，，，，由二项式定理同理可得，，；（2）由（1）可归纳出当是奇数时，，当是偶数时，，当为奇数时，则有个偶数，个奇数，.故2；.五、填空题15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是上异于左、右顶点的一点，外接圆的圆心为M，O为坐标原点，则的最小值为______.【正确答案】【分析】根据向量的加法法则和向量垂直的表示，结合均值不等式代入即可.【详解】，取线段的中点，则，所以，同理，所以，当且仅当时，等号成立，即的最小值为.故答案为.16．设数列的前n项和为,若且则的通项公式_______．【正确答案】【详解】时，由可得化为是公差为，首项为的等差数列，，时，，又因为，故答案为.六、解答题17．已知等差数列满足，．(1)求；(2)数列满足，为数列的前项和，求．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件建立方程组，即可求出等差数列的首项和公差，即可求；（2）利用分组求和及等差数列、等比数列的求和公式即可求数列的前项和．【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，．则，解得，所以．（2）由（1）可得，则，所以.18．某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.【正确答案】（1）中位数为，平均数为（2）(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,因为前2组的频率之和为,因为前3组的频率之和为,所以,求出即可求得答案;(2)因为样本中90分及以上的频率为,所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图,即可估计该校高一学生数学成绩达到人数.“优秀”等次的人数【详解】(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为因为前2组的频率之和为,因为前3组的频率之和为,所以,由,得.所以,这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,(2)因为样本中90分及以上的频率为,

所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数为人.本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题的关键是根据频率分布直方图提供的数据,求出频率.再求出学生数,属于基础题.19．如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【正确答案】(1)两船相距海里.(2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.【分析】（1）在中，解三角形得，，在中，由余弦定理求得.（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向.【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，由题意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，则在中，由正弦定理得：则所以，在中，由正弦定理得：则，故（舍）故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.20．在正方体中，如图、分别是，的中点．

(1)求证：平面平面；(2)求直线与所成角的正弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设棱长为，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面平面．（2）由，平面的法向量，利用向量法求出直线与所成角的正弦值．【详解】（1）设棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，所以，，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，所以，则平面平面．（2）设直线与平面所成角的为，而，平面的法向量，所以．直线与所成角的正弦值．21．已知抛物线：的焦点为.

(1)求抛物线的标准方程；(2)抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜