2023~2024学年河南洛阳联考高考数学理仿真试题二模带解析

2023-2024学年河南省洛阳市联考高考数学（理）仿真模拟试题（二模）一、单选题1.已知全集，集合满足，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据补集的定义求出集合，再判断即可.【详解】因为，且，所以，所以，，，.故选：D2.已知为虚数单位，，则复数在复平面上所对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正确答案】B【分析】先根据复数的乘方求出，再根据复数的除法运算即可得解.【详解】因为，则，所以在复平面上所对应的点为位于第二象限.故选：B.3.已知向量，且，则（）A.6 B.8 C.10 D.12【正确答案】C【分析】由，可得，即可得答案.【详解】因，所以，即.故选：C4.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小、密度大、吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据“数字黑洞”的定义，任取一个数字串,确定“数字黑洞”，根据三角函数的诱导公式计算，可得答案.【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即，则,故选:.5.已知抛物线的焦点在圆上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1 B.2 C.4 D.8【正确答案】C【分析】根据焦点坐标即可求解，由的几何意义即可求解.【详解】由于抛物线的焦点为正半轴上，与正半轴的交点为，故抛物线的焦点为，所以，因此抛物线的焦点到准线的距离为，故选：C6.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入A.A= B.A= C.A= D.A=【正确答案】A【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．【详解】执行第1次，是，因为第一次应该计算=，=2，循环，执行第2次，，是，因为第二次应该计算=，=3，，否，输出，故循环体为，故选A．秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为．7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（）A. B. C. D.8【正确答案】A【分析】首先把三视图转化为几何体的直观图，进一步求出几何体各个面的面积即可得出答案.【详解】如图，在棱长为4的正方体中，C为棱的中点，三棱锥A-BCD即为该几何体．其中为直角三角形，，BD=4，AB⊥BD，所以其面积为；为等腰三角形，BC=CD，BD=4，点C到边BD的距离为4，所以其面积为；为等腰三角形，，，所以点C到边AB的距离为，所以其面积为；为等腰三角形，，，所以点C到边AD的距离为，所以其面积为．综上，该几何体各个面中面积最大的面为，其面积为．故选：A．8.已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先由题设求出，再通过构造得，由等比数列的通项公式即可求解.【详解】令可得，又，解得，又，则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，.故选：B.9.中国雕刻技艺举世闻名，雕刻技艺的代表作“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，成品美轮美奂．1966年，玉石雕刻大师吴公炎将这一雕刻技艺应用到玉雕之中，他把玉石镂成多层圆球，层次重叠，每层都可灵活自如的转动，是中国玉雕工艺的一个重大突破.今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（）A. B. C. D.6【正确答案】A【分析】根据题意，求正方体的内切球半径，易知该球为所求正四面体的外接球，根据正四面体的性质，可求得棱长．【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，则该球半径，如图：可知为外接球球心，，平面，为底面等边的中心，设正四面体的棱长为，则，，在中，则，即，解得，即．故选：A10.甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率（）A B. C. D.【正确答案】B【分析】先利用古典概率公式求出和的概率，再利用条件概率公式即可求出结果.【详解】由题知，，，所以，故选：B.11.已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】设椭圆的标准方程为，双曲线的标准方程为，设椭圆与双曲线的公共焦点为、，且、为两曲线的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为，在第三象限的交点为，由已知条件可得出，利用椭圆和双曲线的定义可求得、，分析出为直角，利用勾股定理可求得椭圆的离心率.【详解】设椭圆的标准方程为，双曲线的标准方程为，设，因为双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，则，设椭圆与双曲线的公共焦点为、，且、为两曲线的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为，在第三象限的交点为，则，解得，由对称性可知、的中点均为原点，所以，四边形为平行四边形，因为、、、四点共圆，则有，故，由勾股定理可得，即，即，即，故椭圆的离心率为.故选：C.12.设，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】令，求得，得到函数的单调性与最大值，再由当且时，设且，求得，即可求解.【详解】解：由，令函数，可得，当，可得，单调递增；当，可得，单调递减，所以当，函数取得极大值，即为最大值，函数的图形，如图所示，对于函数，当且时，.设且，则，可得，所以，所以,所以.故选：A.二、填空题13.为了响应全国创文明城活动，某单位计划安排五名员工分别去三个小区参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，员工甲不去小区，则不同的安排方法种数共有______种．【正确答案】100【分析】根据题意有和两种情况，共有种情况，再根据员工甲去三个小区的可能性相同，得到答案.【详解】五名员工分别去三个小区A，B，C参加志愿者服务，每个员工只去一个小区，每个小区至少安排1人，则有和两种情况，共有种情况，员工甲去三个小区的可能性相同，所以共有种情况.故10014.直线经过点，与圆相交截得的弦长为，则直线的方程为________．【正确答案】或【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离，分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出直线方程.【详解】圆，即，圆心为，半径，因为直线与圆相交截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，若直线的斜率不存在，此时直线方程为，满足圆心到直线的距离为，符合题意；若直线的斜率存在，设斜率为，则直线方程为，即，则，解得，所以直线方程为，即，综上可得直线方程为或.故或15.定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小正值是___________．【正确答案】##【分析】化函数为余弦函数，写出图像平移后的解析式，由偶函数求出的最小正值.【详解】，向左平移个单位后得到，因为此时函数是偶函数，所以，则，所以当时，取得最小正值，此时.故16.若函数f(x)＝ax2－ex＋1在x＝x1和x＝x2两处取到极值，且，则实数a的取值范围是________.【正确答案】【分析】对求导后令,再根据是导函数的两根数形结合分析两根的关系求解.【详解】函数,所以,若函数在和两处取到极值,则和是函数的两个零点,即是方程,即的两个根,所以函数的图象与直线有两个不同的交点,且交点的横坐标分别为,由于,所以当或时,；当时,；故的减区间有和,增区间有,且当时,,作出的草图：由图可知：,且,因为,即,取,并令,则所以,解得,此时,故,即实数的取值范围是.故答案：本题主要考查了函数的极值问题,包括数形结合求解函数零点与范围分析的问题,需要根据题意参变分离画出图像分析极值点之间的关系,并找到临界条件进行分析.属于中等题型.三、解答题（一）必做题17.记为数列的前项和，已知，且满足.（1）证明：数列为等差数列；（2）设，求数列的前项和.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）方法1：由可得，由累加法求出，再证明数列为等差数列；方法2：由可得，可证得为常数数列，求出，再证明数列为等差数列；方法3：由可得，两式相减可明数列为等差数列；（2）由（1）知，所以，方法1：由并项求和法求出数列的前项和；方法2：由错位相减求和求出数列的前项和.【小问1详解】方法1：，时，，累加得：，时也成立，.，是等差数列方法2：，，为常数数列，，，，是等差数列.方法3：当时，①，②，②-①可得：，是等差数列，因为.小问2详解】由（1）知，所以，方法1：并项求和当为偶数时，，方法2：错位相减求和①②①-②：18.如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点．（1）证明：平面．（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）构造面面平行，利用面面平行的性质定理证明线面平行即可；（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线的方向向量与平面的法向量，即可得线面夹角的正弦值.【小问1详解】证明：取的中点，连接，．因为，分别是棱，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，分别是棱，的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．因为，平面，且，所以平面平面．因为平面，所以平面．【小问2详解】以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向，垂直平面向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，．由余弦定理可得，则，从而，，，，，故，，．设平面的法向量为，则,令，得．设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为．19.质检部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如图的频率分布直方图：（1）写出频率分布直方图(甲）中的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较的大小（只要求写出答案）；（2）佑计在甲、乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有一个桶的质量指标大于20，且另—个桶的质量指标不大于20的概率；（3）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布.其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于的桶数，求的数学期望.注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得：②若，则，.【正确答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由频率分布直方图的矩形面积和为1可得，再由分布的离散程度即可比较方差大小；（2）根据互斥事件的概率和及对立事件的概率求解即可；（3）求出从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于的概率是0.6826，得到，求出即可．【小问1详解】由题意，，解得，由甲、乙的频率分布直方图可以看出，甲的指标的波动大，乙的比较平均，波动较小，故；【小问2详解】设事件：在甲公司产品中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件：在乙公司产品中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件：在甲、乙公司产品中随机抽各取1桶，恰有一桶的质量指标大于20，且另一个不大于20，则，，；【小问3详解】，由条件得从而，从乙公司产品中随机抽取10桶，其质量指标值位于的概率是，依题意得，.20.已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．（1）当k变化时，求点M的轨迹方程；（2）若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1），其中或（2）存在，【分析】（1）设，，，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得且，即且，由韦达定理，得，则，，联立消去k，得，再根据范围得出的范围，即可得出答案；（2）设，，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出，，则，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则，结合弦长公式列式得，即可化简代入得出，即可解出答案.【小问1详解】设，，，联立直线l与双曲线E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韦达定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，点M轨迹方程为，其中或．【小问2详解】双曲线E的渐近线方程为．设，，联立得，同理可得，因为，所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．若A，B为线段CD的两个三等分点，则．即，．而，．所以，，解得，所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．21.关于的函数.（Ⅰ）若为单调函数，试求实数的取值范围；（Ⅱ）讨论的零点个数.【正确答案】（1）；（2）见解析【详解】试题分析：（1）先求导数，再根据参数a讨论导函数符号不变号的条件：时，恒为正，时，根据二次函数图像确定判别式为非正，解得实数的取值范围；（2）根据函数单调性讨论函数零点个数：由于，所以函数单调时只有一个零点.函数不单调时，根据零点存在定理确定零点个数.试题解析：（Ⅰ）的定义域为，①时，恒成立，故为单调递增函数.②时，令，.当时，，当时，.∴在上单调递增，在上单调递减.∴为的极大值点，也是上的最大值点.若，得∴时，，则，∴在上单调递减.综上，若为单调函数，实数的取值范围是.（Ⅱ）由题设知，，①由（Ⅰ）知，或时，单调，故只一个零点.②若得得，则.当或时，即，当时.即.在和上单调递减，在上单调递增，∴的极小值点，极大值点.又，根据函数的增长速度，时，时，∴有两个零点，一个在区间，另一个为.③或时，有.又在上单调递增，在上单调递减，且，时，故必存在不为1的，，使得，故时，，则；时，，则.∴在和上单调递减，在上单调递增.时，