2023~2024学年江苏高三第二学期高考前练习卷数学试题5月带解析

2023-2024学年江苏省高三下学期高考前练习卷数学模拟试题（5月）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则A．（-∞，1） B．（0，1） C. D．（0，）2.已知函数,则A． B．1 C．-1 D．23.若，复数z与在复平面内对应的点分别为A，B，则|AB|=A．2 B．2 C．3 D．44.现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升5.古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质。比如，双曲线有如下性质：A，B分别为双曲线的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引垂线，垂足为Q，则为常数。若C的离心率为2，则该常数为A． B． C． D．36.在平行四边形ABCD中，则A．-1 B．1 C． D．37.正四棱柱中，，M是的中点，点N在棱上，，则平面AMN与侧面的交线长为A． B． C． D．8.已知，若，则A． B． C． D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.某学校高三年级有男生640人，女生360人。为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是A．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的平均值为171.4B．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的方差为36C．若男、女的样本量都是50，则总样本的平均值为170D．若男、女的样本量都是50，则总样本的方差为6110.已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F（2，0）作斜率为的弦AB，其中点A在第一象限，则A． B．C． D.11.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m。设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则A．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4mB．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点C．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面12.在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD，使得。设E，F分别为棱BC，A'D的中点，则 B．直线A'C与EF所成角的余弦值为C．直线A'C与EF的距离为 D．四面体A'BCD的外接球的表面积为4π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.的展开式中含项的系数为___________。14.已知圆与圆交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为，则|AB|=___________。15.已知，则cosα=___________。16.已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，f（x）是偶函数，是奇函数，且，则g（-1）=___________；___________。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在线段AC上，。（1）若，求b；（2）若，求角A。18.（12分）已知数列{}是公差为3的等差数列，数列{}是公比为2的等比数列，且满足。将数列{}与{}的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列{}。（1）证明：（2）求数列{}的前n项和。19.（12分）某微型电子集成系统可安装3个或5个元件，每个元件正常工作的概率均为且各元件是否正常工作相互独立。若有超过一半的元件正常工作，则该系统能稳定工作。（1）若该系统安装了3个元件，且，求它稳定工作的概率；（2）试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定。20.（12分）如图，在三棱台中，，四棱锥A-的体积为。（1）求三棱锥A-的体积；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，平面⊥平面ABC，平面平面ABC，求二面角的正弦值。21.（12分）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，的焦点到的渐近线的距离为。直线与相交于A，B两点，（1）求证：（2）若直线l与相交于P，Q两点，求|PQ|的取值范围。22.（12分）已知函数（1）若，证明：曲线与曲线有且仅有一条公切线；（2）当时，，求a的取值范围。答案及解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则A．（-∞，1） B．（0，1） C. D．（0，）【正确答案】D2.已知函数,则A． B．1 C．-1 D．2【正确答案】C3.若，复数z与在复平面内对应的点分别为A，B，则|AB|=A．2 B．2 C．3 D．4【正确答案】A4.现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升【正确答案】B5.古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质。比如，双曲线有如下性质：A，B分别为双曲线的左、右顶点，从C上一点P（异于A，B）向实轴引垂线，垂足为Q，则为常数。若C的离心率为2，则该常数为A． B． C． D．3【正确答案】D6.在平行四边形ABCD中，则A．-1 B．1 C． D．3【正确答案】B7.正四棱柱中，，M是的中点，点N在棱上，，则平面AMN与侧面的交线长为A． B． C． D．【正确答案】C8.已知，若，则A． B． C． D.【正确答案】B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.某学校高三年级有男生640人，女生360人。为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是A．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的平均值为171.4B．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的方差为36C．若男、女的样本量都是50，则总样本的平均值为170D．若男、女的样本量都是50，则总样本的方差为61【正确答案】ACD10.已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F（2，0）作斜率为的弦AB，其中点A在第一象限，则A． B．C． D.【正确答案】BD11.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理。如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m。设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则A．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4mB．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点C．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面【正确答案】ABC12.在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD，使得。设E，F分别为棱BC，A'D的中点，则 B．直线A'C与EF所成角的余弦值为C．直线A'C与EF的距离为 D．四面体A'BCD的外接球的表面积为4π【正确答案】AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.的展开式中含项的系数为___________。【正确答案】314.已知圆与圆交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为，则|AB|=___________。【正确答案】15.已知，则cosα=___________。【正确答案】16.已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，f（x）是偶函数，是奇函数，且，则g（-1）=___________；___________。【正确答案】-1；-2021四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在线段AC上，。（1）若，求b；（2）若，求角A。【解】（1）因为所以。在△ABD中，由余弦定理，得，①在△BCD中，由余弦定理，得。②。。。。。。2分因为，所以由，得，即。又因为，所以。。。。。。5分（2）设，则，因为，所以，所以。在△ABD中，由正弦定理，得即所以。。。。。。7分即即，所以因为，所以所以。。。。。。10分18.（12分）已知数列{}是公差为3的等差数列，数列{}是公比为2的等比数列，且满足。将数列{}与{}的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列{}。（1）证明：（2）求数列{}的前n项和。【解】（1）由，得，由，得，解得，因为数列{}的公差为3，数列{}的公比为2，所以。。。。。。2分不是数列{}的项，是数列{}的第1项。设，则所以不是数列{}的项。。。。。。。4分因为，所以是数列{}的项。所以。。。。。。6分（2）由（1）可知，。=。。。。。。8分所以所以。。。。。。。12分19.（12分）某微型电子集成系统可安装3个或5个元件，每个元件正常工作的概率均为且各元件是否正常工作相互独立。若有超过一半的元件正常工作，则该系统能稳定工作。（1）若该系统安装了3个元件，且，求它稳定工作的概率；（2）试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定。【解】（1）设安装3个元件的系统稳定工作的概率为P，则3个元件中至少2个元件正常工作。又因为各元件是否正常工作相互独立，所以.答：安装3个元件的系统稳定工作的概率为。。。。。。。4分（2）由（1）知，安装3个元件的系统稳定工作的概率。。。。。。。6分设安装5个元件的系统稳定工作的概率为P'，则。。。。。。。8分所以。。。。。。。10分当时，，两个系统工作的稳定性相同；当时，，3个元件的系统比5个元件的系统更稳定；当时，，5个元件的系统比3个元件的系统更稳定。。。。。。。12分20.（12分）如图，在三棱台中，，四棱锥A-的体积为。（1）求三棱锥A-的体积；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，平面⊥平面ABC，平面平面ABC，求二面角的正弦值。【解】（1）连结。因为三棱台中，，所以，所以，所以因为三棱台中，，所以，所以又因为所以。。。。。。2分又因为所以。。。。。。4分（2）取AB中点D，AC中点E，连结CD、BE，交于点F，因为△ABC是正三角形，E是AC中点，所以。又因为平面⊥平面ABC，平面平面，BE⊂平面ABC，所以BE⊥平面。又因为⊂平面，所以，同理，又因为，CD，BE⊂平面ABC，所以⊥平面ABC．。。。。。。6分在平面ABC内，过点A作，以A为原点，AH为x轴，AC为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以。由（1）可知，故。所以A（0，0，0），B（，1，0），C（0，2，0），（，，1），（0，1，1），。。。。。。8分设平面的一个法向量为由得不妨取设平面的一个法向量为由，得，不妨取。。。。。。10分设二面角的平面角为θ，则因为，且，所以即二面角的正弦值为。。。。。。。12分21.（12分）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，的焦点到的渐近线的距离为。直线与相交于A，B两点，（1）求证：（2）若直线l与相交于P，Q两点，求|PQ|的取值范围。【解】（1）由题意得椭圆焦点坐标为（1，0），双曲线渐近线方程为，所以，解得所以的方程为。。。。。。2分由消y，得所以得，设A，B，则。。。。。。4分所以化简得，得证。。。。。。。6分（2）由消x，得，所以，即结合，及，可得设P，Q，则。。。。。。8分所以所以。。。。。。10分设，则，所以所以所以。。。。。。12分22.（12分）已知函数（1）若，证明：曲线与曲线有且仅有一条公切线；（2）当时，，求a的取值范围。【解】（1）当时，所以所以曲线在点（）处的切线方程为，即，曲线在点（，）处的