2023~2024学年上海高考数学4月试题一模带解析

2023-2024学年上海市高考数学4月模拟试题（一模）一､填空题1.已知全集，集合，则___________.【正确答案】【分析】根据补集的定义计算.【详解】根据补集的定义，当全集，时，.故2.设复数满足（为虚数单位），则________.【正确答案】【分析】求出，进而利用复数的模长性质求出答案.【详解】，故.故3.已知为角α终边上一点，则=______．【正确答案】##0.2【分析】求出到原点的距离，利用任意角的三角函数的定义，求得，的值，再求出即可.【详解】角α终边上一点，，则，，.故4.2022年12月18日在卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队战胜法国队冠222卡塔尔世界杯也缓缓落下了帷幕.下表是连续8届世界杯足球赛的进球总数：年份19941998200220062010201420182022进球总数141171161147145171169172则进球总数的第60百分位数是______.【正确答案】169【分析】把进球总数按从小到大排列，根据百分位数的定义求解即可.【详解】把进球总数按从小到大排列141，145，147，161，169，171，171，172.由，故进球总数的第60百分位数是第5个数169.故169.5.若矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值为____．【正确答案】【分析】利用基本不等式及圆柱的侧面积计算公式即可得出．【详解】如图所示，不妨设矩形的长与宽分别为，，旋转形成的圆柱的底面半径为，母线长，则，即，，得，当且仅当时取等号，旋转形成的圆柱的侧面积，旋转形成的圆柱的侧面积的最大值为．故．6.某校团委对“学生性别和喜欢网络游戏是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢网络游戏的人数占男生人数的，女生喜欢网络游戏的人数占女生人数的，若有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则被调查的学生中男生可能有______人.附表：，其中.0.0500.0103.8416.635【正确答案】45，50，55，60，65【分析】设男生有人，可得列联表，计算，由可求得的范围，结合为的整数倍可得结果.【详解】设男生有人，由题意可得列联表如下，喜欢不喜欢合计男生女生合计若有的把握但没有的把握认为是否喜欢网络游戏和性别有关，则；，，解得，又为的整数倍，所以被调查的学生中男生可能人数为，50，55，，65.故45，50，55，60，65.7.的展开式中，常数项为________.【正确答案】【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算.【详解】因为的展开式为，令，解得，不合题意；令，解得；所以的展开式中的常数项为.故答案为.8.如图，椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为，其大小关系为________．【正确答案】【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，可得椭圆①，②的值相同，椭圆①的值小于椭圆②的值，又由，可得，根据双曲线的开口越大离心率越大，根据图象，可得，所以.故答案为.9.现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有入经过，则有_________种不同的进站方式（用数字作答）【正确答案】720【分析】考虑和两种情况，结合同一闸机的不同人的顺序，计算相加得到答案.【详解】将5人分为3组，有和两种情况：当分组为时：共有；当分组为时：共有；综上所述：共有种不同的进站方式.故答案为.10.若曲线有两条过的切线，则的范围是____________．【正确答案】【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案．【详解】设切线切点为,，又，所以切线斜率为因为，所以切线方程为：．又切线过，则，即则由题可知函数图象与直线有两个交点，由得，由得所以在上单调递增，在上单调递减．又，又，，，．据此可得大致图象如下．则由图可得，当时，曲线有两条过的切线．故答案为.11.设向量，，记，若圆上的任意三点，，，且，则的最大值是___________.【正确答案】64【分析】设出，，三点坐标，由得出为直径，故得到关系式，代入中得到其值为，利用圆的参数方程设出点坐标代入中，利用辅助角公式求最值即可.【详解】整理圆的方程可得故圆心为，半径为设，由可得为圆的直径由此可得则又在圆上设故的最大值为故6412.定义在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，在区间上单调递增，在区间上单调递减，给出下列四个结论：①若为递增数列，则存在最大值；②若为递增数列，则存在最小值；③若，且存在最小值，则存在最小值；④若，且存在最大值，则存在最大值.其中所有错误结论的序号有_______．【正确答案】①③④【分析】结合函数单调性判断最值，即可判断①②，利用取反例，判断③④.【详解】①由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么在区间，函数的最大值是，若数列为递增数列，则函数不存在最大值，故①错误；②由条件可知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，若为递增数列，那么在区间的最小值是，且为递增数列，所以函数在区间的最小值是，故②正确；③若，取,,则，存在最小值，但此时的最小值是的最小值，函数单调递减，无最小值，故③错误；④若，取，则恒成立，则有最大值，但的最大值是的最大值，函数单调递增，无最大值，故④错误.故①③④二､单选题13.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.【详解】由，可得，则是的必要不充分条件.故选：B14.现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】分别求出，，根据条件概率的计算公式即可求得答案.【详解】由题意可得A表示事件“抽到两名同学性别相同”，则,表示事件“抽到两名女同学”，则,故,故选：A15.在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（）A B.C.平面 D.平面平面【正确答案】A【分析】作出截面后可作，从而判断A，利用线面垂直的性质判断BC，根据面面平行的性质判断D．【详解】选项A，正方体中，显然有，连接延长，如果直线交棱于点（图1），则作交于，连接，则是梯形，作交于，则平面，如果直线交棱于点（图2），则直接连接，在三角形内作交于，也有平面，因此A正确；选项B，正方体中易知平面，因此与垂直直线都可能平移到平面内，而当平面，平面时，直线与平交，不可能平移到平面内，B错；选项C，由选项B知与不可能垂直，因此与平面也不可能垂直，C错；选项D，过的平面只有平面与平面平行，因此要使得平面平面，则平面与平面重合，从而点只能在棱上，与已知不符，D错．故选：A．16.对于，，若正整数组满足，，则称为的一个拆，设中全为奇数，偶数时拆的个数分别为，，则（）A.存在，使得 B.不存在，使得C.存在，使得 D.不存在，使得【正确答案】D【分析】任意的，至少存在一个全为1的拆分，判断选项A；当为奇数时，判断能否是全偶拆分，判断选项B；选项，可以举例发现规律，判断选项.【详解】对于任意的，至少存在一个全为1的拆分，故A错误；当为奇数时，，故B错误；当为偶数时，是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了和的均为奇数的拆，当时，偶数拆为，奇数拆为，；当时，偶数拆为，，奇数拆为，；故当时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的拆，故，故C错误，D正确.故选：D关键点点睛：本题考查新定义，关键是读懂题意，理解定义，并能根据选项举例解决问题.三､解答题17.已知函数的最小正周期为，且，（1）求；（2）将图象往右平移个单位后得函数，求的最大值及这时值的集合．【正确答案】（1），（2）1；的集合为．【分析】（1）根据周期确定参数，再根据结合的取值范围确定；（2）先确定函数的解析式，化简，确定最大值，再利用整体法确定取最大值时值的集合．【小问1详解】因为最小正周期为，所以；由可知，，即，，得，，又因为，所以．【小问2详解】由（1）知，因为将图象往右平移个单位后得函数，所以，即，所以因为，所以的最大值为1，当，即时取得，故取最大值时值的集合为．18.如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．（1）求证：为的中点；（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．【正确答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】(1)首先将平面进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值.【详解】(1)如图所示，取的中点，连结，由于为正方体，为中点，故，从而四点共面，即平面CDE即平面，据此可得：直线交平面于点，当直线与平交时只有唯一的交点，故点与点重合，即点为中点.(2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，设，则：，从而：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，设平面的法向量为：，则：，令可得：，从而：，则：，整理可得：，故（舍去）.本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【正确答案】（1）0.4（2）（3）丙【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【小问1详解】由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4【小问2详解】设甲获得优秀为事件A1,乙获得优秀为事件A2，丙获得优秀为事件A3，，，.∴X的分布列为X0123P∴【小问3详解】丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为，甲获得9.80的概率为，乙获得9.78的概率为.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.20.已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线、的斜率分别为、，且．①求证：直线经过定点．②设和的面积分别为、，求的最大值．【正确答案】（1）（2）①证明见解析；②【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；（2）①分析可知直线不与轴垂直，设直线方程为，可知，设点、将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用求出的值，即可得出直线所过定点的坐标；②写出关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值.【小问1详解】解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，且最大值为，由题意可得，解得，所以，椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：①设点、若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意.设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，则，所以，，解得，即直线的方程为，故直线过定点.②由韦达定理可得，，所以，，，则，因为函数在上单调递增，故，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.21.记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.（1）若，求的前项和；（2）证明：的“极差数列”仍是；（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【分析】（1）由是递增数列，得，由此能求出的前项和.（2）推导出，，由此能证明的“极差数列”仍是.（3）证当数列是等差数列时，设其公差为，，是一个单调递增数列，从而，，由，，，分类讨论，能证明若数列是等差数列，则数列也是等差数列.【详解】（1）解：∵无穷数列的前项中最大值为，最