2023~2024学年上海高考数学试题三模带解析

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（三模）一、填空题1．已知集合，则__________.【正确答案】【分析】化简A，根据交集运算得解.【详解】因为，所以，故答案为.2．复数的模为__________．【正确答案】/【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】．故3．不等式的解集为__________.【正确答案】【分析】将分式不等式等价转化为二次不等式组，求解即得.【详解】原不等式等价于，解得或,故答案为.4．已知幂函数的图象过点，则________【正确答案】【分析】设幂函数，将代入，求得，进而可得结果.【详解】设幂函数，因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以故答案为.本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题.5．已知函数，则函数的最小正周期是__________．【正确答案】【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得函数的最小正周期.【详解】，故，故．6．方程的解为_________．【正确答案】【分析】设函数，，由函数的单调性，结合特殊值，即可求得方程的解.【详解】设函数，，由于函数在上均为增函数，又，故方程的解为.故答案为.7．的展开式中含x项的系数为______.【正确答案】28【分析】化简二项式定理展开式通项，求出k值，代入即可.【详解】设展开式中第项含x项，则，令，解得，代入得，故28.8．某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第40百分位数是___．【正确答案】8.5/【分析】根据百分位数的定义即可求出结果.【详解】党员人数一共有，，那么第40百分位数是第16和17个数的平均数，第16和17个数分别为8，9，所以第40百分位数是，故8.59．若存在实数，使得是方程的解，但不是方程的解，则实数的取值范围是__________.【正确答案】【分析】根据是的解，不是解直接可得.【详解】由题意知，，且，故，显然，即，若，此时显然不满足题意，故.故10．随机变量，，若，那么实数的值为__________.【正确答案】【分析】由正态分布性质可得，，由此可利用对称性构造方程求得结果.【详解】，，，，，，解得.故答案为.11．已知曲线：与曲线：恰有两个公共点，则实数的取值范围为__________.【正确答案】【分析】根据与的位置关系分析可得.【详解】

如图：与轴焦点为，当点在圆外，则表示的两条射线与圆相切与相切时恰有两个公共点，联立得，由，得，因，所以，故，当点在圆上，

如图，此时与有3个或1个交点不符合题意，当点在圆内，

如图，此时与有2个交点符合题意，此时，，得综上的取值范围为.故答案为.12．函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存在满足，且，则最小值为__________.【正确答案】1518.5【分析】根据题意，先求出函数一个周期的值域，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且，再利用函数的周期性求解.【详解】解：函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，函数的值域为，对任意，都有，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且，，的最小值估计值为，故的最小值取507，相应的最小值为1011.5，则的最小值为1518.5.故1518.5二、单选题13．设，则“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解.【详解】若直线与直线平行，则，解得或，经检验或时两直线平行．故“”能得到“直线与直线平行”，但是“直线与直线平行”不能得到“”故选：A14．函数的图象如图所示，则函数的图象可能是A． B．C． D．【正确答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．15．已知函数为偶函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【正确答案】B【分析】先求得参数a的值，再去求不等式的解集【详解】因为为偶函数，所以，即解之得，经检验符合题意.则由，可得故的解集为，故选：B.16．已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（

）A．1 B．2 C．3 D．4【正确答案】B【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定n的取值.【详解】由题意易知，，均是集合中的元素，又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素，有，则结合诱导公式易知，可取的值是4或5.故选：B三、解答题17．已知为等差数列，为等比数列，，，．(1)求和的通项公式；(2)记的前项和为，求证：；【正确答案】(1)，；(2)证明见解析【分析】（1）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；（2）利用（1）的结论首先求得数列的前项和，然后利用作差法证明即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，得，，故，于是；由，得，，又等比数列公比，得到，故，于是.（2）由（1）得，，故，，作差可得，即得证.18．如图，平面，四边形为直角梯形，.

(1)求异面直线与所成角的大小；(2)求二面角的余弦值.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据可得异面直线所成的角，利用直角三角形求解即可；（2）以点为坐标原点，建立坐标系，再由向量法得出二面角的余弦值.【详解】（1）由，则异面直线与所成角即为，由题意知，平面，又平面，故，所以，即，即异面直线与所成角为.（2）因为平面，平面，所以，又，，所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：

则，则，设平面的法向量为，则，取，得，得，取平面的法向量为，设二面角的大小为，由图形知，为锐角，所以，所以二面角的余弦值为.19．流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①，②（），③（）可供选择.（参考数据：，）(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数）【正确答案】(1)答案见解析；(2)至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.【分析】（1）根据题意，分析三个函数模型的增长速度快慢，选择，并求出解析式；（2）根据题意，，求出的取值范围，进而得出结果.【详解】（1）因为的增长速度越来越快，（）和（）的增长速度越来越慢，所以应选函数模型.由题意得，解得，所以该函数模型为（）；（2）由题意得，即，所以，又.所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过.20．在平面直角坐标系中，若椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点.（1）求的周长；（2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最小值；（3）设点在椭圆上，记与的面积分别是，，若，求点的坐标.【正确答案】（1）；（2）；（3）或.【分析】（1）由椭圆方程的性质可求的周长；（2）设，求出直线方程，解出点坐标，计算，利用二次函数求出最下值；（3）由题意可知：到直线距离是到直线距离的3倍，求出的值，则点的坐标为与直线平行的直线和椭圆的交点，求出直线方程与椭圆联立可解出点.【详解】解：（1）由椭圆方程可知.所以的周长为；（2）由椭圆方程得，设，则直线方程为，又，所以直线与的交点为，，当时，（3）若，设到直线距离，到直线距离，则，即，，，可得直线方程为，所以，.由题意得，点应为与直线平行且距离为的直线与椭圆的交点，设平行于的直线为，与直线的距离为，求得或，当时，直线为，联立方程：，可得，解得或，当时，直线为，联立方程：可得：，此时方程无解.综上所述，点坐标为或.21．记分别为函数的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“兰亭点”.(1)证明：函数与不存在“兰亭点”；(2)若函数与存在“兰亭点”，求实数的值；(3)已知函数.对存在实数，使函数与在区间内存在“兰亭点”，求实数的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据题中“兰亭点”的定义列两个方程，根据方程组无解证得结论；（2）同（1）根据“兰亭点”的定义列两个方程，解方程组可得a的值；（3）通过构造函数以及结合“兰亭点”的定义列两个方程，再由方程组有解即可求得结果.【详解】（1）函数，则.由且，得，此方程组无解，因此，与不存在“兰亭点”.（2）函数，则.设为与的“兰亭点”，由且，得，即，（*）得，即，则.当时，满足方程组（*），即为与的“兰亭点”.因此，的值为.（3），函数与在区间内存在“兰