2023~2024学年上海高考数学试题一模带解析

2023-2024学年上海市高考数学模拟试题（一模）一、填空题（1-4每题4分，5-6每题5分，共26分）1.已知集合，，则______.【正确答案】【分析】先求函数的值域，即可化简集合，再求函数的定义域，即可化简集合，最后由集合的交集运算即可得到答案.【详解】因为，所以为函数的值域，因为，所以.因为，所以为函数的定义域，由得，即，所以，所以.故2.若复数满足（其中是虚数单位），则______.【正确答案】分析】化简复数z，再求出，进而求出.【详解】∵，∴，∴故答案为.3.已知向量，，则在方向上的数量投影为______.【正确答案】【分析】根据题意，结合向量的投影公式，即可求解.【详解】因为向量，，所以在方向上的数量投影为.故答案为.4.若函数的定义域为，则实数的取值范围为__________．【正确答案】【分析】由题意，函数的定义域为，转化为不等式在R上恒成立，利用一元二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，即不等式在R上恒成立，当时，不等式等价与，不符合题意；则满足，解得，即实数的取值范围是.本题主要考查了对数函数的性质，以及一元二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把函数的定义域为R，转化为不等式在R上恒成立，利用一元二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力.5.等差数列中，，则的值是______.【正确答案】【分析】先由等差数列的通项公式化简得到，再由等差数列的通项公式把化为即可求出答案.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，所以.所以.故6.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为______.【正确答案】【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线的倾斜角为，设直线与抛物线交于两点，则直线的方程为，代入得，则，，，，，则，故二、单项选择题（每题5分，共50分）7.设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】解分式不等式得，由是的充分条件等价于包含，根据包含关系列不等式求解即可【详解】，解得或，由是的充分条件，则有.故选：C8.函数的奇偶性为（）A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数【正确答案】C【分析】求出的定义域不关于原点对称，即可判断为非奇非偶函数.【详解】函数的定义域为，则，由于定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.故选：C.9.已知事件A与事件B是互斥事件，则（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.【详解】因为事件A与事件B是互斥事件，则不一定是互斥事件，所以不一定为0，故选项A错误；因为事件A与事件B是互斥事件，所以，则，而不一定为0，故选项B错误；因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C错误；因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件，所以，故选项D正确.故选：D.10.甲，乙两个小组各10名学生的数学测试成绩如下（单位：分）．甲组：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83乙组：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的数学测试成绩不低于85分”记为事件B，则的值是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用条件概率公式求解即可得到答案.【详解】由题意知，，表示20人随机抽取一人，既是甲组又是数学测试成绩不低于85分概率，，根据条件概率的计算公式得.故选：A11.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（）A. B.平面平面ABNC.直线GB与AM是异面直线 D.直线GB与平面AMD无公共点【正确答案】D【分析】根据给定条件，证明判断A；利用线面、面面平行的判定推理判断B；取DM中点O，证得四边形是梯形判断CD作答.【详解】因为平面ABCD，平面ABCD，则，取中点，连接，如图，点G为MC的中点，则，且，于是四边形是平行四边形，，在正方形中，，则，因此四边形为平行四边形，，而，点G为MC的中点，有，所以，A正确；因为，平面，平面，则平面，又，平面，平面，则平面，而平面，所以平面平面ABN，B正确；取DM中点O，连接，则有，即四边形为梯形，因此直线必相交，而平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误；显然点平面，点平面，直线平面，点直线，所以直线GB与AM是异面直线，C正确.故选：D结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.12.数列的前项和，，关于数列有以下命题：①一定是等比数列，但不可能是等差数列；②一定是等差数列，但不可能是等比数列；③可能是等比数列，也可能是等差数列；④可能既不是等差数列，也不是等比数列；⑤可能既是等差数列，又是等比数列；其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】分，，且三种情况讨论，由求出，根据等差、等比数列的通项公式的特征可作出判断．【详解】当时，，则，当时，，即，此时，数列既不是等差数列，也不是等比数列；当时，，则，当时，，则，此时，数列为等差数列，但不是等比数列；当且时，，当时，，则，且，则数列是以为公比的等比数列.由以上分析知，正确的说法为③④．故选：B.本题考查数列通项与的关系及等差、等比数列的通项公式，准确把握等差、等比数列的通项公式特征是解决问题的关键．13.已知参数方程，，则下列曲线方程符合该方程的是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】利用特殊值法即可选出答案.【详解】令得，将其分别代入得，所以该方程所表示的曲线恒过点，显然只有B项满足.故选：B.14.设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先求，再由存在唯一确定的，使得，得，从而得解.【详解】当时，有，所以.在区间上总存在唯一确定的，使得，所以存在唯一确定的，使得.，所以.故选B.本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.15.若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】先分析出表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.若曲线为椭圆，只需点落在椭圆内，列不等式求出的范围；若当曲线为双曲线时，只需把表示的射线与渐近线比较，列不等式求出的范围.【详解】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内，即，解得：；当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：要使曲线与曲线恰有两个不同的交点，只需，解得.所以实数的取值范围是故选：C16.已知定义在R上的函数满足如下条件：①函数的图象关于y轴对称；②对于任意，；③当时，；④．若过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点，则直线l斜率k的取值范围是()A. B. C. D.【正确答案】A【分析】结合①②可知是周期为2的函数，再结合④可知是周期为的函数，结合③作出在上的图像，然后利用数形结合即可求解.【详解】因为函数的图象关于y轴对称，所以为偶函数，即，又因为对于任意，，所以，从而，即是周期为2的函数，因为，则图像是的图像的横坐标缩短为原来的得到，故也是偶函数，且周期为，结合当时，，可作出在的图像以及直线的图像，如下图所示：当时，易知，即，则直线的斜率，过点的直线l与函数的图象在上恰有8个交点，则只需，即直线l斜率k的取值范围是.故选：A.三、解答题（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）17.已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.①若，求k的值；②若点Q的坐标为，求证：为定值.【正确答案】（1）（2）①；②证明见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积即可求出，则椭圆方程可得；（2）①根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出；②根据根与系数的关系以及向量的数量积的运算即可求出．【小问1详解】，，代入得.又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即，以上各式联立解得，则椭圆方程为.【小问2详解】①直线与轴交点为，与轴交点为，联立消去得:，设，则解得:.由得;②证明：由①知，为定值.方法点睛：求定值问题常见的方法①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．（卷二）一、填空题（每题5分，共20分）18.已知圆，直线（不同时为0），当变化时，圆被直线l截得的弦长的最小值为___________.【正确答案】【分析】由题意知直线恒过定点，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆被直线l截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线化为，恒过定点，当圆被直线l截得的弦长的最小值时，圆心到定点的距离为，圆心到直线距离最大值时即为，此时直线弦长为最小值.故答案为.19.若随机变量，，若，，则______．【正确答案】【分析】解不等式1﹣（1﹣p）3＝0.657得到p＝0.3，再利用正态分布求解.【详解】解：∵P（X≥1）＝0.657，∴1﹣（1﹣p）3＝0.657，即（1﹣p）3＝0.343，解得p＝0.3，∴P（0＜Y＜2）＝p＝0.3，∴P（Y＞4）＝＝．故0.2．20.已知在R上的减函数，若不等式成立，函数的图象关于点中心对称，则当时，的取值范围是______.【正确答案】【分析】由对称性得函数是奇函数，由奇函数的定义及单调性化简不等式为具体的不等式，变形为两个不等式组，在平面直角坐标系中作出这两个不等式组表示的平面区域在直线和之间的部分，表示这部分的点到原点连线的斜率，由图可得其取值范围．【详解】∵函数的图象关于点中心对称，∴函数的图象关于原点对称，即是奇函数，不等式可化为，又是上的减函数，∴，即或，作出这两个不等式组表示的平面区域在直线和之间的部分，如图阴影部分（含边界），表示阴影部分的点与原点连线的斜率，与分别代入，可得，，，，∴．故．21.设数列前n项和为，且是6和的等差中项，若对任意的，都有，则的最小值为________．【正确答案】【分析】先根据和项与通项关系得通项公式，再根据等比数列求和公式得，再根据函数单调性得取值范围，即得取值范围，解得结果.【详解】因为是6和的等差中项，所以当时，当时，因此当为偶数时，当为奇数时，因此因为在上单调递增，所以故本题考查根据和项求通项、等比数列定义、等比数列求和公式、利用函数单调性求值域，考查综合分析求解能力，属较难题.二、单项选择题（每题5分，共10分）22.在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值，则动点的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【正确答案】B【分析】把条件转化为与圆锥的轴重合，面与圆锥的相交轨迹即为点的轨迹后即可求解.【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与所成角为定值，所以面与圆锥的相交轨迹即为点的轨迹.根据题意，不可能垂直于平面即轨迹不可能为圆.面不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算与平面所成角为，即时，轨迹为抛物线，时，轨迹为椭圆，，所以轨迹为椭圆.故选：B.本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.23.若在曲线上，若存在过的直线交曲线于点，交直线于点，满足或，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（）A.曲线上所有点都是点B.曲线上仅有有限多个点是点C.曲线上所有点都不是点D.曲线上有无穷多个点（但不是全部）是点【正确答案】D【分析】设出,利用相似三角形求得和的关系,设出的方程与椭圆方程联立求得的表达式,利用判别式大于0求得和的不等式关系,最后联立①②③求得的范围,进而通过时,,故此时不存在点,进而求得点的横坐标取值范围,判断出题设的选项.【详解】解：由题意，、的位置关系对称，于是不妨设此时.由相似三角形，即:①设，与椭圆联立方程组，消得解得②，③联立①②③，得，而，即，即1，而当时，，故此时不存在点又因为的位置可以和互换（互换后即，所以点的横坐标取值为.故选:D.本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题.解题的关键是求得点的横坐标取值范围.属于较难题.三、多项选择题（每题6分，共12分）24.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到的半正多面体的表面积为，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（）A.与AB所成的角是60°的棱共有8条B.AB与平面BCD所成的角为30°C.二面角的余弦值为D.经过A，B，C，D四个顶点的球面面积为【正确答案】CD【分析】补全该半正多面体得到一正方体.对于A选项，由正三角形可得60°角，再利用平行关系得结果；B选项，利用正方体找出线面角为∠ABE=45°；C选项，先作出二面角的补角∠AFE，在△AEF中，求出即可得结果；D选项，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，构造三角形，求出球的半径，最后求得经过A，B，C，D四个顶点的球面面积.【详解】补全该半正多面体得到一正方体，设正方体的棱长为a.由题意，该半正多面体是由6个全等的正方形与8个全等的正三角形构成，由半正多面体的表面积为，可得，解得a=1.对于A，在与AB相交的6条棱中，与AB成60°角的棱有4条，这4条棱中，每一条都有3条平行的棱，故与AB所成的角是60°的棱共有16条，故A不正确；对于B，因为AE⊥平面BCD，所以AB与平面BCD所成角为∠ABE=45°，故B不正确；对于C，取BC中点F，连接EF，AF，则有AF⊥BC，EF⊥BC，故二面角A-BC-D的补角为∠AFE.二面角A-BC-D的余弦值为-cos∠AFE，在Rt△AEF中，，∴，，，故C正确;对于D，由半正多面体的对称中心与相应的正方体的对称中心为同一点，即为正方体对角线的中点O，点O在平面ABE的投影为投影点O1，则有，∴，故经过A，B，C，D四个顶点的球面的半径为面积为，故D正确.故选：CD立体几何中补形是一种常用的方法：(1)一个不规则几何体是由规则几何体经过截取得到的，通常可以用补形，还原为规则几何体，如正方体，长方体等；(2)通常可以用来求①体积（距离），②与外接球（内切球）相关的问题.25.在棱长为1的正方体中，已知点P为侧面上的一动点，则下列结论正确的是（）A.若点P总保持，则动点P的轨迹是一条线段；B.若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一段圆弧；C.若P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是一段抛物线；D.若P到直线与直线的距离比为，则动点P的轨迹是一段双曲线.【正确答案】ABD【分析】由平面且平面平面，即可判断A；根据球的性质及与正方体的截面性质即可判断B；作，，连接，作.建立空间直角坐标系，由即可求得动点P的轨迹方程，即可判断C；根据题意，由距离比即可求得轨迹方程，进而判断D.【详解】对于A，，且，所以平面，平面平面，故动点P的轨迹为线段，所以A正确；对于B，点P的轨迹为以A为球心、半径为的球面与面的交线，即为一段圆弧，所以B正确；对于C，作，，连接；作.由，在面内，以C为原点、以直线、、为x，y，z轴建立平面直角坐标系，如下图所示：设，则，化简得，P点轨迹所在曲线是一段双曲线，所以C错误.对于D，由题意可知点P到点的距离与点P到直线的距离之比为，结合C中所建立空间直