2023~2024学年上海浦东新区高考数学冲刺试题三模带解析

2023-2024学年上海市浦东新区高考数学冲刺模拟试题（三模）一、填空题1.已知平面向量，，若，则___．【正确答案】1【分析】利用向量平行充要条件列出关于m的方程，解之即可求得m的值.【详解】由，，，可得，解之得.故12.若复数为纯虚数，则实数______．【正确答案】【分析】根据给定条件，利用复数的乘法运算结合复数的概念求解作答.【详解】复数，，依题意，，解得，所以实数.故3.已知抛物线：上，则抛物的准线方程为______.【正确答案】．【分析】由抛物线方程，求出，可求准线方程【详解】抛物线：，所以，准线方程为，故答案为.4.已知陈述句：所有的满足性质p，则的否定形式为______．【正确答案】存在不满足性质p.【分析】用全称量词命题的否定形式即得结果.【详解】陈述句是全称量词命题，故其否定形式是：存在不满足性质p.故存在不满足性质p.5.在△ABC中，角A、B、C所对的边记作a、b、c．已知，，则______．【正确答案】##【分析】由正弦定理边化为角，结合两角和与差的正弦公式即可求解.【详解】由，应用正弦定理，得，即，整理得：，即，因为，，所以.故答案为.6.北京时间2022年6月5日，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛．现从报名的40位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加演讲比赛，将40位学生按01、02、、40进行编号，假设从随机数表第1行第3个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，则选出来的第7个号码所对应的学生编号为______．062743132636154709412512631763232616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179301423102118219137263890014005232617【正确答案】25【分析】利用随机数表法，按照给定条件依次选取符合要求的号码作答.【详解】从随机数表第1行第3个数字开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过40和重复的号码，选取的号码依次为：27，13，26，36，15，09，25，12，17，23，所以选出来的第7个号码所对应的学生编号为25.故257.在中，，，的平分线交BC于点D，若，则______．【正确答案】##【分析】根据给定条件，探求出线段与的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答.【详解】在中，，，则，又平分，即有，因此，即有，，整理得，而，且不共线，于是，所以.故8.设有两个罐子，A罐中放有2个白球，1个黑球，罐中放有3个白球，这些球的大小与质地相同.现从这两个罐子中各摸1个球进行交换，那么这样交换2次后，黑球还在A罐中的概率为___________.【正确答案】【分析】分两种情况，利用独立事件乘法公式计算，再相加即可.【详解】分两种情况，若第一次交换时从A罐中拿到黑球，则第二次交换时从B罐中也拿到黑球，其概率为，若第一次交换时从A罐中拿到的是白球，则第二次交换时，从A罐中拿到的仍然是白球，其概率为，故这样交换2次后，黑球还在A罐中的概率为.故9.已知，，若，则满足条件的x的取值范围是______．【正确答案】【分析】由绝对值等式可知，，代入函数后，即可求解不等式.【详解】若满足条件，当且仅当，即，即或，解得：或.故10.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则______．【正确答案】##【分析】根据给定条件，求出数列的递推关系，利用累加法求出通项，再利用裂项相消法求和作答.【详解】依题意，在数列中，，当时，，满足上式，因此，，数列的前项和为，则，所以.故11.已知正方形ABCD的边长是1，将沿对角线AC折到的位置，使（折叠后）A、、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为______．【正确答案】【分析】首先确定三棱锥体积最大时，二面角为，再根据边长求三棱锥的表面积.【详解】在翻折过程中，三棱锥的底面始终是，故当二面角为时，三棱锥的体积最大，如图，取的中点，连结，由题意可知，，，则，且，所以，所以和是边长为1的等边三角形，,和等腰直角三角形，所以三棱锥的表面积为.故12.若a、b为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为1，则的取值范围是______．【正确答案】【分析】讨论的取值，结合三角函数的图象，即可求解.【详解】（ⅰ）当函数在闭区间内无最值，则函数在内单调，不妨取，可知，在内单调递增，可知，且，则，则，所以，即，可得，即①若，，则最大值和最小值的差为，符合题意；②若，，则，因为，则，可得，故，可得，且，，则，可得；③若，，则，因为，则，可得，故，可得，且，，则，可得；综上所述：；（ⅱ）当函数在闭区间内有最值，不妨取最大值1，最小值为0，由图象可知：不妨取，当时，取到最大值；当时，取到最小值；可得；综上所述：的取值范围是.故答案为.方法点睛：数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题．它包含以形助数和以数解形两个方面．一般来说，涉及函数、不等式、确定参数取值范围、方程等问题时，可考虑数形结合法．运用数形结合法解题一定要对有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则，错误的图象反而导致错误的选择．二、选择题13.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用余弦函数的性质可判断A；由的图象可判断B；举反例可判断不满足在上单调递增可判断C；利用函数奇偶性和单调性的定义可判断D；进而可得正确选项.【详解】对于A：定义域是，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减，故选项A不正确；对于B：的图象如图：图象不关于轴对称，不是偶函数，故选项B不正确；对于C：定义域为关于原点对称，，所以是偶函数，当时，，当时，，由，，所以在不满足单调递增，故选项C不正确；对于D：的定义域是，，所以是偶函数，任取，，因为，所以，，，所以即，所以在上单调递增，故选项D正确；故选：D.14.设等差数列的前n项和为．若，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据，可得，，从而可判断AB，举出反例即可判断C，根据等差数列的性质结合基本不等式即可判断D.【详解】解：因为，所以，故A错误；，所以，则公差，故B错误；所以等差数列为递增数列，则，，则，所以，所以，故D正确；对于C，当时，，。此时，故C错误.故选：D.15.如图所示，正方体中，分别为棱的中点，则在平面内与平面平行的直线A.不存在 B.有1条 C.有2条 D.有无数条【正确答案】D【分析】根据已知可得平面与平交，两平面必有唯一的交线，则在平面内与交线平行的直线都与平面平行，即可得出结论.【详解】平面与平面有公共点，由公理3知平面与平面必有过的交线，在平面内与平行的直线有无数条，且它们都不在平面内，由线面平行的判定定理可知它们都与平面平行.故选：D.本题考查平面的基本性质、线面平行的判定，熟练掌握公理、定理是解题的关键，属于基础题.16.曲线：，下列两个命题：命题甲：当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128；命题乙：当k=2n，时，曲线围成的面积总大于4；下面说法正确是（）A.甲是真命题，乙是真命题 B.甲是真命题，乙是假命题C.甲是假命题，乙是真命题 D.甲是假命题，乙是假命题【正确答案】A【分析】把代入，变形等式并确定图形在直线的下方（除点外）判断命题甲；当取正偶数时，分析曲线的性质，判断点与曲线的位置关系判断乙命题作答.【详解】命题甲：当时，曲线：是端点为，在第一象限的曲线段，由，得，，而，当且仅当或时取等号，即有，则曲线除两个端点外均在直线下方，因此曲线除端点外，在直线与坐标轴围成的区域内，直线交轴分别于点，，所以当时，曲线与坐标轴围成的面积小于128，甲是真命题；命题乙：当k=2n，时，曲线：，显然，即曲线关于x轴对称，也关于y轴对称，且在平行直线和平行直线所围成矩形及内部，曲线是封闭曲线，其面积是曲线与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴所围面积的4倍，显然，即点在曲线内，而以点为顶点的正方形面积为1，曲线上的点，当x在0到1间任意取值时，y均大于1，当y在0到1间任意取值时，x均大于1，因此，所以曲线围成的面积恒成立，乙是真命题.故选：A结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称.三、解答题（本大题满分78分）17.如图，直三棱柱中，，，，D为BC的中点，E为上的点，且．（1）求证：BE⊥平面；（2）求二面角的大小．【正确答案】（1）证明见解析.（2）.【分析】（1）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理作答.（2）由（1）中坐标系，利用空间向量求二面角大小作答.【小问1详解】在直三棱柱中，，显然射线两两垂直，以点为原点，射线的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，因为，，D为BC的中点，E为上的点，且，则，，于是，即，而平面，所以BE⊥平面.【小问2详解】由（1）知，平面的一个法向量，而平面的一个法向量，显然二面角的平面角为锐角，设其大小为，于是，则，所以二面角的大小为.18.已知函数，.（1）若函数在区间上递增，求实数的取值范围；（2）若函数的图像关于点对称，且，求点的坐标.【正确答案】(1)(2)【详解】试题分析：（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式将函数化为，当时，则，只需令即可得结果；（2）若函数的图像关于点对称，则，即（），结合，取特殊值即可得结果.试题解析：（1），当时，则，又函数在上递增，则，即，则实数的取值范围为.（2）若函数的图像关于点对称，则，即（），则，由得，则点的坐标为.19.网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择．某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响．（1）从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数为X，估计X的数学期望；（2）从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，为B组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20户数，比较方差与的大小．【正确答案】（1）1；（2）.【分析】（1）利用古典概率求出每个单元抽取的概率，再求出的可能值及各个值对应的概率，并求出期望作答.（2）分别求出、的可能值，再求出各个值对应的概率，利用方差公式计算并比较大小作答.【小问1详解】由茎叶图知，A组三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的有3户，从A组随机抽取1户，网购生鲜蔬菜次数大于20的概率，B组三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的有7户，从B组随机抽取1户，网购生鲜蔬菜次数大于20的概率，的可能值为0，1，2，，，所以X的数学期望.【小问2详解】由（1）知，的可能值为0，1，2；的可能值0，1，2，显然、均服从超几何分布，，，；，，，所以.20.如图，已知椭圆：的离心率为，点为其左顶点．过A的直线交抛物线于B、C两点，C是AB的中点．（1）求椭圆的方程；（2）求证：点C的横坐标是定值，并求出该定值；（3）若直线m过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，且交椭圆于M，N两点，求p的值，使得的面积最大．【正确答案】（1）；（2）证明见解析，定值为1；（3）.【分析】（1）根据给定条件，求出a，b得椭圆的方程作答.（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立结合中点问题推理计算作答.（3）利用（2）中信息求出直线的方程，与抛物线方程联立，求出面积的函数关系，借助均值不等式求解作答.【小问1详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，，，解得，则，所以椭圆的方程为.【小问2详解】显然直线不垂直于坐标轴，设的方程为，设，由消去x得：，，则，而C是AB的中点，即有，于是，满足，因此，所以点C的横坐标是定值，该定值为1.【小问3详解】由直线过C点，其倾斜角和直线l的倾斜角互补，得直线和直线l的斜率互为相反数，则由（1）得直线的方程为，即，由消去x得：，，设，则，，点到直线：的距离，由C是AB的中点得的面积，令，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，的面积取得最大值，此时.思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线