2024-2025学年湖北省六校高一下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1湖北省六校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.2.已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设，与向量方向相反的单位向量是.故选：D.3.已知向量，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A：由题设，不存在实数，使，故不共线，错；B：由，错；C：因为，所以，即，对；D：，错.故选：C.4.一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由题意知，在中，，，，所以为直角三角形，又，，故（小时）.故选：C.5.若，且为第三象限角，则（）A.7 B. C. D.【答案】A【解析】由，所以，又为第三象限角，所以，故，所以.故选：A.6.已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（）A.，B.函数的图象关于直线对称C.函数图象关于对称D.函数在上单调递增【答案】B【解析】对于A，由题意，，则，则，又在上，则，即，所以，则，又，所以，所以，即，，故A正确；对于B，因为，所以不是图象的对称轴，故B错误；对于C，因为，所以的图象关于点对称，故C正确；对于D，当时，，所以在上单调递增，故D正确.故选：B.7.定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是（）A.该运算满足交换律，即B.若向量，共线，则C.的值等于以，为邻边的平行四边形的面积D.对任意向量，有【答案】D【解析】对于A，根据定义，，故A一定成立；对于B，若向量，共线，则或，则，所以，故B一定成立；对于C，以，为邻边的平行四边形的面积为，故C一定成立；对于D，若且与不共线，则，但，故D不一定成立.故选：D.8.当时，曲线与的交点个数为（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】因为函数的最小正周期为，所以函数在上有1个周期的图象，因为函数最小正周期为，所以函数在上有3个周期的图象，在平面直角坐标系中，作出两函数在上的图象，如图所示：由图可知，曲线与有6个交点.故选：C.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列命题正确的有（）A.函数的对称中心是，B.在中，C.，，则在上的投影向量等于D.两个非零向量，的夹角是锐角【答案】BC【解析】对于A，函数的对称中心是，，故A错误；对于B，在中，，故B正确；对于C，由，，得，，所以在上的投影向量为，故C正确；对于D，当，同向时，满足，此时，的夹角为，故D错误.故选：BC.10.计算下列各式的值，结果为2的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AD.11.如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（）A.当点在线段上移动时，B.满足的点有且只有一个C.满足的点有两个D.最大值为3【答案】ACD【解析】建立如图所示的平面坐标系，设菱形的边长为1，，则，所以，由，得，所以，所以，①当点在上时，，且，所以，故A正确；②当点在(不含点)上时，则，所以，化简，所以，因为，所以，即；③当点在(不含点)上时，则，且，所以，即，所以；④当点在(不含点)上时，则，所以，化简，所以，因为，所以，所以；对于B，由①知，当时，，此时点与点重合；由④可知当时，，，此时点在的中点处；其它均不可能，所以这样的点有两个，故B错误；对于C，由②知，当时，，，此时点在的中点；由③知，当时，，，此时点在点处；其它均不可能，所以这样点有两个，故C正确；对于D，由①②③④可得，当，，即点为点时，取到最大值3，故D正确.故选：ACD.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________.【答案】【解析】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为，则由题意可得，解得，所以扇形的面积.13.在中，，，则角为____________.【答案】【解析】因为，由正弦定理得，所以，所以，由余弦定理得，因为，所以.14.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为______________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_______________.【答案】5【解析】由题设，所以为奇函数，则，所以，又，故，所以，若，则，又函数在区间上存在最大值2，则.四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量，满足：，，.（1）求与的夹角的余弦值；（2）若，求实数的值.解：（1）由题可得，因为，，代入可得，，所以与夹角的余弦值.（2）因为，所以，化简可得，将，，代入可得，解得或16.已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为.（1）求函数的解析式及的解集；（2）在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长.解：（1）由题设，则，令，，所以，，故解集为.（2）由题设，即，，所以，，又是三角形内角，故，由，即，由，则，所以，易得，所以周长为.17.如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，；（1）若，试用向量，表示，；（2）若，求的面积.解：（1）由题意，是的中点，则，因为，所以，则.所以.（2）因为，所以.因为，，所以，又因为，所以，，解得.所以，，则，所以.18.中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.（1）已知试证明此三倍角公式；（2）若角满足，求的值（已知）；（3）试用三倍角公式并结合三角函数相关知识，求出黄金分割值.解：（1）由，得证.（2）由（1）知，可得，而.（3）由，则，所以，则，所以，可得（负值舍），所以.19.已知函数.（1）设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；（2）已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.解：（1）由为偶函数，则，，又，则，所以，则，存在，使不等式成立，则，所以在上能成立，而，所以.（2）由题设，且，则，所以，而，则，所以，对任意的，总存在，使成立，所以，即，令，则，故，当，则在上单调递增，此时，可得；当，则在上单调递减，此时，可得；当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得；综上，.湖北省六校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以.故选：B.2.已知向量，则与向量方向相反的单位向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设，与向量方向相反的单位向量是.故选：D.3.已知向量，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】A：由题设，不存在实数，使，故不共线，错；B：由，错；C：因为，所以，即，对；D：，错.故选：C.4.一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在南偏东，行驶小时后，船到达处看到灯塔在南偏西，此时测得船与灯塔的距离为km，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由题意知，在中，，，，所以为直角三角形，又，，故（小时）.故选：C.5.若，且为第三象限角，则（）A.7 B. C. D.【答案】A【解析】由，所以，又为第三象限角，所以，故，所以.故选：A.6.已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（）A.，B.函数的图象关于直线对称C.函数图象关于对称D.函数在上单调递增【答案】B【解析】对于A，由题意，，则，则，又在上，则，即，所以，则，又，所以，所以，即，，故A正确；对于B，因为，所以不是图象的对称轴，故B错误；对于C，因为，所以的图象关于点对称，故C正确；对于D，当时，，所以在上单调递增，故D正确.故选：B.7.定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是（）A.该运算满足交换律，即B.若向量，共线，则C.的值等于以，为邻边的平行四边形的面积D.对任意向量，有【答案】D【解析】对于A，根据定义，，故A一定成立；对于B，若向量，共线，则或，则，所以，故B一定成立；对于C，以，为邻边的平行四边形的面积为，故C一定成立；对于D，若且与不共线，则，但，故D不一定成立.故选：D.8.当时，曲线与的交点个数为（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】因为函数的最小正周期为，所以函数在上有1个周期的图象，因为函数最小正周期为，所以函数在上有3个周期的图象，在平面直角坐标系中，作出两函数在上的图象，如图所示：由图可知，曲线与有6个交点.故选：C.二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列命题正确的有（）A.函数的对称中心是，B.在中，C.，，则在上的投影向量等于D.两个非零向量，的夹角是锐角【答案】BC【解析】对于A，函数的对称中心是，，故A错误；对于B，在中，，故B正确；对于C，由，，得，，所以在上的投影向量为，故C正确；对于D，当，同向时，满足，此时，的夹角为，故D错误.故选：BC.10.计算下列各式的值，结果为2的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AD.11.如图，在菱形中，，延长边至点，使得.动点从点出发，沿菱形的边按逆时针方向运动一周回到点，若，则（）A.当点在线段上移动时，B.满足的点有且只有一个C.满足的点有两个D.最大值为3【答案】ACD【解析】建立如图所示的平面坐标系，设菱形的边长为1，，则，所以，由，得，所以，所以，①当点在上时，，且，所以，故A正确；②当点在(不含点)上时，则，所以，化简，所以，因为，所以，即；③当点在(不含点)上时，则，且，所以，即，所以；④当点在(不含点)上时，则，所以，化简，所以，因为，所以，所以；对于B，由①知，当时，，此时点与点重合；由④可知当时，，，此时点在的中点处；其它均不可能，所以这样的点有两个，故B错误；对于C，由②知，当时，，，此时点在的中点；由③知，当时，，，此时点在点处；其它均不可能，所以这样点有两个，故C正确；对于D，由①②③④可得，当，，即点为点时，取到最大值3，故D正确.故选：ACD.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________.【答案】【解析】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为，则由题意可得，解得，所以扇形的面积.13.在中，，，则角为____________.【答案】【解析】因为，由正弦定理得，所以，所以，由余弦定理得，因为，所以.14.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为______________，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为_______________.【答案】5【解析】由题设，所以为奇函数，则，所以，又，故，所以，若，则，又函数在区间上存在最大值2，则.四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知向量，满足：，，.（1）求与的夹角的余弦值；（2）若，求实数的值.解：（1）由题可得，因为，，代入可得，，所以与夹角的余弦值.（2）因为，所以，化简可得，将，，代入可得，解得或16.已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为.（1）求函数的解析式及的解集；（2）在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长.解：（1）由题设，则，令，，所以，，故解集为.（2）由题设，即，，所以，，又是三角形内角，故，由，即，由，则，所以，易得，所以周长为.17.如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，；（1）若，试用向量，表示，；（2）若，求的面积.解：（1）由题意，是的中点，则，因为，所以，则.所以.（2）因为，所以.因为，，所以，又因为，所以，，解得.所以，，则，所以.18.中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各个领域应用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，这一数值也可以表示为.三倍角公式是把形如，等三角函数用单倍角三角函数表示的恒等式，广泛应用于数学、物理、天文等学科.（1）已知试证明此三倍角公式；（2）若角满足，求的值（已知）；（3）试用三倍角公式并结