2024-2025学年湖北省随州市部分高中高二下学期3月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1湖北省随州市部分高中2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题考试范围：选择性必修一；选择性必修二第4章注意事项：1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝()A.a＋b＋c B.a－b＋cC.a＋b－c D.－a＋b＋c【答案】D【解析】.答案：D．2.若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（）A.1 B.4 C.1或3 D.1或4【答案】A【解析】由题意得，解得.故选：A.3.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意设所求方程为，因为直线经过点，所以，即，所以所求直线为.故选：A.4.已知条件直线与直线平行，条件，则是的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当直线与直线平行时，，解得，当时，直线与直线重合，所以是的既不充分也不必要条件，故选：D5.已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上任意一点，若，的等差中项，则此椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意，故，又，则焦点在轴上，故椭圆的标准方程为故选：D6.若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.故选：D.7.已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，，，，．又，，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．故选：B．8.已知等差数列前n项和为，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等差数列的公差为，由题设，，可得，∴.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相等C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同D.“若是不共线的四点，且'“四边形是平行四边形”【答案】AD【解析】对于A，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故A正确；对于B：单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误；对于C：若两个向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，故C错误；对于D：若是不共线的四点，且，则且，所以四边形是平行四边形，故充分性成立，若四边形是平行四边形，则，故必要性也成立，故D正确.故选：AD10.设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（）A. B. C. D.与均为的最大值【答案】ABD【解析】根据题意，设等差数列的公差为，因为，可得，对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以，所以C不正确；对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以，所以和均为的最大值，所以D正确.故选：ABD.11.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（）A.B.C.是数列中的最大值D.数列无最大值【答案】AB【解析】对于A，由可得，（*），由可得.当时，因，则，则（*）不成立；所以，则，（*）成立，故，即A正确；对于B，因，故B正确；对于C,D，由上分析，且，则是数列中最大值，故C错误，D错误.故选：AB三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12.经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为________.【答案】【解析】因为经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l，所以直线l的方程可设为，因为圆M的中心到直线l的距离等于2，所以，因为短轴长是焦距的2倍，所以，因此有，所以椭圆M的方程为，故答案为：13.已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________.【答案】12【解析】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为，连接，所以周长为故的周长的最大值为12，故答案为：12.14.在数列中，，，则通项公式______.【答案】【解析】因为，即则，……，所以，即，又因为，所以，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共75分15.如图，在长方体中，，为的中点.（1）求证：.（2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由.（1）证明：以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）.设，则，，，，，故，，，.因为，所以.（2）解：假设棱上存在一点，使得平面，此时.又设平面的法向量，所以，得，取，得平面的一个法向量.要使平面，只要，有，解得.又平面，所以存在点，满足平面，此时.16.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．（1）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．（2）解：直线l方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．（3）解：依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k，∴A，B（0，1＋2k）．又且1＋2k＞0，∴k＞0．故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，当且仅当4k＝，即k＝时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．17.在数列中，，.（1）设，求证数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.解：（1）在数列中，，，则当时，有，两式相减得：，而，即，则有，整理得，即，所以数列是等差数列.（2）由得：，而，则，，，因此，等差数列公差，即是以为首项，为公差的等差数列，则，即，于是得：，所以数列通项公式.18.记数列的前n项和为，对任意，有．（1）证明：是等差数列；（2）若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．（1）证明：因为①，则②①－②可得，故为等差数列．（2）解：若当且仅当时，取得最大值，则有,得则，，故的取值范围为．19.在①，，②，，③点在直线上，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知数列的前n项和为，___________.（1）求的通项公式；（2）若，求的前项和.解：（1）方案一：选条件①.∵，∴当时，，两式相减，整理得，∵，∴，，所以，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴.方案二：选条件②.∵，∴当时，，两式相减，整理得，∵，，∴，，所以，∴数列是以为首项，为公比的等比数列.∴方案三：选条件③.∵点在直线上，∴，∴，两式相减，整理得，当时，，得，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴.（2）由（1）可得，，则，，两式相减得，∴.湖北省随州市部分高中2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题考试范围：选择性必修一；选择性必修二第4章注意事项：1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，则＝()A.a＋b＋c B.a－b＋cC.a＋b－c D.－a＋b＋c【答案】D【解析】.答案：D．2.若过点，的直线的斜率等于1，则的值为（）A.1 B.4 C.1或3 D.1或4【答案】A【解析】由题意得，解得.故选：A.3.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意设所求方程为，因为直线经过点，所以，即，所以所求直线为.故选：A.4.已知条件直线与直线平行，条件，则是的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当直线与直线平行时，，解得，当时，直线与直线重合，所以是的既不充分也不必要条件，故选：D5.已知椭圆的两个焦点分别为，为椭圆上任意一点，若，的等差中项，则此椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意，故，又，则焦点在轴上，故椭圆的标准方程为故选：D6.若数列满足，，则数列中的项的值不可能为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：.故选：D.7.已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得，，，，．又，，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为．故选：B．8.已知等差数列前n项和为，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等差数列的公差为，由题设，，可得，∴.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相等C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同D.“若是不共线的四点，且'“四边形是平行四边形”【答案】AD【解析】对于A，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量，故A正确；对于B：单位向量的模为，但是方向不一定相同，故B错误；对于C：若两个向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，故C错误；对于D：若是不共线的四点，且，则且，所以四边形是平行四边形，故充分性成立，若四边形是平行四边形，则，故必要性也成立，故D正确.故选：AD10.设是等差数列，是其前n项的和，且则下列结论正确的是（）A. B. C. D.与均为的最大值【答案】ABD【解析】根据题意，设等差数列的公差为，因为，可得，对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B正确；对于C中，由，所以，所以C不正确；对于D中，由，可得数列为递减数列，且，所以，所以和均为的最大值，所以D正确.故选：ABD.11.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（）A.B.C.是数列中的最大值D.数列无最大值【答案】AB【解析】对于A，由可得，（*），由可得.当时，因，则，则（*）不成立；所以，则，（*）成立，故，即A正确；对于B，因，故B正确；对于C,D，由上分析，且，则是数列中最大值，故C错误，D错误.故选：AB三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12.经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为________.【答案】【解析】因为经过椭圆M：的左焦点和上顶点的直线记为l，所以直线l的方程可设为，因为圆M的中心到直线l的距离等于2，所以，因为短轴长是焦距的2倍，所以，因此有，所以椭圆M的方程为，故答案为：13.已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________.【答案】12【解析】如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为，连接，所以周长为故的周长的最大值为12，故答案为：12.14.在数列中，，，则通项公式______.【答案】【解析】因为，即则，……，所以，即，又因为，所以，故答案为：四、解答题：本题共5小题，共75分15.如图，在长方体中，，为的中点.（1）求证：.（2）在棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由.（1）证明：以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图）.设，则，，，，，故，，，.因为，所以.（2）解：假设棱上存在一点，使得平面，此时.又设平面的法向量，所以，得，取，得平面的一个法向量.要使平面，只要，有，解得.又平面，所以存在点，满足平面，此时.16.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．（1）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）．（2）解：直线l方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0，故k的取值范围是．（3）解：依题意，直线l在x轴