2024-2025学年陕西省汉中市某校高一下学期第一次月考数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1陕西省汉中市某校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，解得，则，故，因，所以，故A正确.故选：A.2.设，则的大小关系为（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，，，所以.故选：D.3.设为等差数列的前项和，已知，则（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】由等差数列的片段和性质知，成等差数列，由，得该数列首项为4，公差为2，所以.故选：B.4.已知函数，则函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为定义域为，且，所以为偶函数，故排除A，D；当时，，故排除B.故选：C.5.2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，边长，边数，周长，面积，所以得：，，所以得：，，因为：，当时，，所以得：，，当时，，也适用，所以：，所以得：，故A项错误；所以得：，故B项正确；所以得：，故C项错误；所以得：，故D项错误.故选：B.6.二次函数在区间上为减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵二次函数在上为减函数，.故选：D.7.设函数的最小正周期为.若，且对任意，恒成立，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，且，故，即有，解得，又，，故，即，综上，.故选：B.8.已知是数列的前n项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，又，∴数列是首项为1、公差为1的等差数列，∴，∴，∴①，∴②，①－②得，∴，∴不等式，即，即，∵，当且仅当，即时等号成立，∴.故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.B.第一象限角都是锐角C.在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为D.终边在直线上的角的集合是【答案】AC【解析】，A正确；角也是第一象限角，不是锐角，B错误；在半径为的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为，C正确；终边在上的角的集合是，D错误．故选：AC.10.已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（）A.数列为等比数列 B.数列为等比数列C. D.【答案】ABD【解析】因为，所以，又，所以是等比数列，A正确；同理，而，所以是等比数列，B正确；若，则，但，C错；由A是等比数列，且公比为2，因此数列仍然是等比数列，公比为4，所以，D正确．故选：ABD．11.已知函数，若方程有三个不同的零点，且，则（）A.实数的取值范围为B.函数在单调递增C.的取值范围为D.函数有个零点【答案】BCD【解析】作出函数的图像如图所示：对于A，由图像可知，实数的取值范围是，故A错误；对于B，由图像可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故B正确；对于C，由图像可知，，由，即，解得，所以的取值范围是，故C正确；对于D，由，令，则，解得或，由图象可知当时，方程有1个解，当时，方程有3个解，所以函数有4个零点，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的值域为__________．【答案】【解析】因，所以，，所以，即的值域为．13.已知，则________.【答案】【解析】因为，q，已知，将其代入可得：.因为，所以.14.已知各项均为正数的等比数列，若，则的取值范围为________.【答案】.【解析】设等比数列的公比为，因为，可得，所以，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，可得，则，所以，即的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，求下列各式的值.（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.已知数列是单调递增等比数列，数列是等差数列，且.（1）求数列与数列的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由得即即，解得或.当时，，不满足单调递增，当时，，满足单调递增，故，所以.又，所以，所以，即数列与数列的通项公式为.（2）利用等比数列前项和公式可得，数列的前项和为，数列的前项和为，所以数列的前项和，即.17.已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，求在区间上的最值及取得最值时的值.解：（1）已知，根据二倍角公式，可得：，所以的最小正周期.令，，解这个不等式可得，.即得到，.所以的单调递增区间是，.的最小正周期是，单调递增区间是，.（2）先根据图象变换规则求的表达式：将的图象向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，得到的图象.再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，根据“横坐标伸缩”的原则，得到的图象.因为，所以，.当，即时，取得最大值，此时取得最大值.当，即时，取得最小值，此时取得最小值.综上所得，在区间上的最大值是，此时；最小值是，此时.18.已知函数，不等式解集，（1）设函数在上存在零点，求实数的取值范围；（2）当时，函数的最小值为，求实数的值．解：（1）因为，则，解得，即，又因为，且，在内单调递增，则在内单调递增，若函数在上存在零点，则，解得，所以实数的取值范围．（2）因为，令，由可知，则，令，，则在内的最小值为，由的图象开口向上，对称轴为，可得，解得，即实数的值为1．19.已知数列的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围；（3）记，是否存在互不相等正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由.解：（1）因为数列的前项和满足，所以当时，，两式相减得：，即，又时，，解得：，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，从而.（2）由（1）知：，所以，对任意的，不等式都成立，即，化简得：，令，因为，故单调递减，所以，故，所以，实数的取值范围是.（3）由（1）知：，假设存在互不相等的正整数，，满足条件，则有.由与得，即，因为，所以.因为，当且仅当时等号成立，这与，，互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整数，，满足条件.陕西省汉中市某校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，解得，则，故，因，所以，故A正确.故选：A.2.设，则的大小关系为（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，，，所以.故选：D.3.设为等差数列的前项和，已知，则（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】由等差数列的片段和性质知，成等差数列，由，得该数列首项为4，公差为2，所以.故选：B.4.已知函数，则函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为定义域为，且，所以为偶函数，故排除A，D；当时，，故排除B.故选：C.5.2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意知，边长，边数，周长，面积，所以得：，，所以得：，，因为：，当时，，所以得：，，当时，，也适用，所以：，所以得：，故A项错误；所以得：，故B项正确；所以得：，故C项错误；所以得：，故D项错误.故选：B.6.二次函数在区间上为减函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵二次函数在上为减函数，.故选：D.7.设函数的最小正周期为.若，且对任意，恒成立，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，且，故，即有，解得，又，，故，即，综上，.故选：B.8.已知是数列的前n项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，又，∴数列是首项为1、公差为1的等差数列，∴，∴，∴①，∴②，①－②得，∴，∴不等式，即，即，∵，当且仅当，即时等号成立，∴.故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.B.第一象限角都是锐角C.在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为D.终边在直线上的角的集合是【答案】AC【解析】，A正确；角也是第一象限角，不是锐角，B错误；在半径为的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为，C正确；终边在上的角的集合是，D错误．故选：AC.10.已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（）A.数列为等比数列 B.数列为等比数列C. D.【答案】ABD【解析】因为，所以，又，所以是等比数列，A正确；同理，而，所以是等比数列，B正确；若，则，但，C错；由A是等比数列，且公比为2，因此数列仍然是等比数列，公比为4，所以，D正确．故选：ABD．11.已知函数，若方程有三个不同的零点，且，则（）A.实数的取值范围为B.函数在单调递增C.的取值范围为D.函数有个零点【答案】BCD【解析】作出函数的图像如图所示：对于A，由图像可知，实数的取值范围是，故A错误；对于B，由图像可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故B正确；对于C，由图像可知，，由，即，解得，所以的取值范围是，故C正确；对于D，由，令，则，解得或，由图象可知当时，方程有1个解，当时，方程有3个解，所以函数有4个零点，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的值域为__________．【答案】【解析】因，所以，，所以，即的值域为．13.已知，则________.【答案】【解析】因为，q，已知，将其代入可得：.因为，所以.14.已知各项均为正数的等比数列，若，则的取值范围为________.【答案】.【解析】设等比数列的公比为，因为，可得，所以，则，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，可得，则，所以，即的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，求下列各式的值.（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.已知数列是单调递增等比数列，数列是等差数列，且.（1）求数列与数列的通项公式；（2）求数列的前项和.解：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由得即即，解得或.当时，，不满足单调递增，当时，，满足单调递增，故，所以.又，所以，所以，即数列与数列的通项公式为.（2）利用等比数列前项和公式可得，数列的前项和为，数列的前项和为，所以数列的前项和，即.17.已知函数.（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，求在区间上的最值及取得最值时的值.解：（1）已知，根据二倍角公式，可得：，所以的最小正周期.令，，解这个不等式可得，.即得到，.所以的单调递增区间是，.的最小正周期是，单调递增区间是，.（2）先根据图象变换规则求的表达式：将的图象向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，得到的图象.再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，根据“横坐标伸缩”的原则，得到的图象.因为，所以，.当，即时，取得最大值，此时取得最大值.当，即时，取得最小值，此时取得最小值.综上所得，在区间上的最大值是，此时；最小值是，此时.18.已知函数，不等式解集，（1）设函数在上存在零点，求实数的取值范围；（2）当时，函数的最小值为，求实数的值．解：（1）因为，则，解得，即，又因为，且，在内单调递增，则在内单调递增，若函数在上存在零点，则，解得，所以实数的取值范围．（2）因为，令，由可知，则，令，，则在内的最小值为，由的图象开口向上，对称轴为，可得，解得，即实数的值为1．19.已知数列的前项和满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，是数列的前项和，若