2024-2025学年云南省楚雄彝族自治州高一下学期3月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列角中与终边相同的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】与终边相同的角是，，当时，，当时，．结合选项可知只有与终边相同．故选：B．2.已知向量，若与共线，则（）A.2 B. C.8 D.【答案】A【解析】因为向量，若与共线，则，解得.故选：A.3.已知在中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由余弦定理得.故选：B.4.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.5.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，，∴，∴，∴函数的定义域为.故选：B.6.已知某扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，即，又扇形的面积，将上式代入，得，当且仅当时，有最大值1．故选：A．7.已知为的重心，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】为的重心，.故选：B．8.山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，在中，，在中，，则，由正弦定理，得，所以，在中，.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】对于A，定义域，，，所以为非奇非偶函数，故A错误；对于B，定义域，，所以偶函数，故B正确；对于C，定义域，，所以奇函数，故C错误；对于D，定义域，，所以偶函数，故D正确.故选：BD.10.在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（）A.当时，有两解B.当时，有一解C.当时，无解D.当时，有两解【答案】AC【解析】对于A，由正弦定理得，即，所以，又因为，所以或，有两解，故A正确；对于B，由正弦定理得，无解，故B错误；对于C，由正弦定理得，无解，故C正确；对于D，由正弦定理得，又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误.故选：AC.11.已知是平面内两两不共线的向量，且则（）A. B.C. D.当时，与的夹角为锐角【答案】ACD【解析】A选项，由两边平方，得所以所以，A正确；B选项，由得所以所以，所以．B错误；C选项，由不共线可得，故所以，C正确；D选项，因为是两个不共线的向量，所以不共线，要使与的夹角为锐角，则即所以D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，若，则实数____.【答案】【解析】因为，所以，即，解得.13.若，则_____.【答案】【解析】因为，则.14.如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，点A，B，C分别是半径OP，OQ及弧PQ上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则的周长的最小值是_______.【答案】【解析】如图，作点关于线段所在的直线的对称点，连接，由图形的对称性知，则，的周长，当且仅当四点共线时取等号，，周长的最小值是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，满足，，．（1）若与的夹角为，求的值；（2）求在方向上的投影向量的模．解：（1）因为，所以，因为，，所以，所以．（2）因为，所以，所以向量在方向上的投影向量的模为：．16.在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角；（2）若，且的面积为，求的周长.解：（1）由正弦定理知，在中，，所以.又，，可得，所以.（2）由题意可知的面积.因为，所以.由余弦定理，可得，即，所以，所以，故的周长为12.17.函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求的解析式；（2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值.解：（1）由最值得，由相邻两个对称中心之间的距离得，则，即，此时，图象的一个最高点坐标为，代人得，则，即，又因为，所以，故.（2）由题意得，因为，所以，又在上单调递减，在上单调递增，所以当，即时，取到最小值，为；当时，即时，取到最大值，为.18.如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）设，求的取值范围．解：（1）依题意，，∴，∴.（2）由已知，因是线段上动点，则令，，又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，，在上递增，所以，，，，故的取值范围是．19.在锐角中，角所对的边分别为，且.（1）证明：；（2）若的平分线交于，，，求的值；（3）求的取值范围.解：（1）证明：因为，由正弦定理得，因，所以，所以，所以，或（舍去），所以.（2）由（1）知，所以为锐角，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即.（3）因为是锐角三角形，所以，解得，所以，由正弦定理得.令，则在上单调递增，而，所以，所以.云南省楚雄彝族自治州2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列角中与终边相同的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】与终边相同的角是，，当时，，当时，．结合选项可知只有与终边相同．故选：B．2.已知向量，若与共线，则（）A.2 B. C.8 D.【答案】A【解析】因为向量，若与共线，则，解得.故选：A.3.已知在中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由余弦定理得.故选：B.4.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.5.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，，∴，∴，∴函数的定义域为.故选：B.6.已知某扇形的周长为4，则该扇形的面积的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，即，又扇形的面积，将上式代入，得，当且仅当时，有最大值1．故选：A．7.已知为的重心，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】为的重心，.故选：B．8.山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，在中，，在中，，则，由正弦定理，得，所以，在中，.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数是偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】对于A，定义域，，，所以为非奇非偶函数，故A错误；对于B，定义域，，所以偶函数，故B正确；对于C，定义域，，所以奇函数，故C错误；对于D，定义域，，所以偶函数，故D正确.故选：BD.10.在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是（）A.当时，有两解B.当时，有一解C.当时，无解D.当时，有两解【答案】AC【解析】对于A，由正弦定理得，即，所以，又因为，所以或，有两解，故A正确；对于B，由正弦定理得，无解，故B错误；对于C，由正弦定理得，无解，故C正确；对于D，由正弦定理得，又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误.故选：AC.11.已知是平面内两两不共线的向量，且则（）A. B.C. D.当时，与的夹角为锐角【答案】ACD【解析】A选项，由两边平方，得所以所以，A正确；B选项，由得所以所以，所以．B错误；C选项，由不共线可得，故所以，C正确；D选项，因为是两个不共线的向量，所以不共线，要使与的夹角为锐角，则即所以D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，若，则实数____.【答案】【解析】因为，所以，即，解得.13.若，则_____.【答案】【解析】因为，则.14.如图，已知扇形OPQ的半径为1，圆心角为，点A，B，C分别是半径OP，OQ及弧PQ上的三个动点（不同于O，P，Q三点），则的周长的最小值是_______.【答案】【解析】如图，作点关于线段所在的直线的对称点，连接，由图形的对称性知，则，的周长，当且仅当四点共线时取等号，，周长的最小值是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知平面向量，满足，，．（1）若与的夹角为，求的值；（2）求在方向上的投影向量的模．解：（1）因为，所以，因为，，所以，所以．（2）因为，所以，所以向量在方向上的投影向量的模为：．16.在中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角；（2）若，且的面积为，求的周长.解：（1）由正弦定理知，在中，，所以.又，，可得，所以.（2）由题意可知的面积.因为，所以.由余弦定理，可得，即，所以，所以，故的周长为12.17.函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求的解析式；（2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值.解：（1）由最值得，由相邻两个对称中心之间的距离得，则，即，此时，图象的一个最高点坐标为，代人得，则，即，又因为，所以，故.（2）由题意得，因为，所以，又在上单调递减，在上单调递增，所以当，即时，取到最小值，为；当时，即时，取到最大值，为.18.如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点的一个三等分点，为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）设，求的取值范围．解：（1）依题意，