2024-2025学年云南省美美与共民族中学联盟高一下学期联考（一）数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1云南省美美与共民族中学联盟2024-2025学年高一下学期联考（一）数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.2.设函数，则（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.3.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为，因为函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上增函数.因为，则.由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是.故选：B.4.将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到的图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】将函数的图象保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的，得到，再向右平移个单位长度后得到.故选：D.5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，，，所以.故选：A.6.已知，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又∴，则.故选：D.7.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：）A.130天 B.149天 C.120天 D.155天【答案】B【解析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的20倍，则，.故选：B.8.已知函数，若函数有2个零点，则的取值范围是（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】由函数解析式可画出函数图象如图：若函数有2个零点，可得函数与函数有两个交点，可得或.故选：C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】A：，当，方向相反时，错误；B：，，且，，是三个非零向量，则有，正确；C：知：，不一定有，错误；D：即，可得，即，正确.故选：BD.10.记的内角的对边分别为，若，则（）A.B.C.的面积为D.外接圆的面积为【答案】AD【解析】的内角的对边分别为，若，则，由，所以，故A正确；因为，所以，解得，故B错误；，故C错误；设外接圆的半径为，因为，所以，外接圆的面积为，故D正确.故选：AD.11.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.“”是“”必要不充分条件C.若，且，则的最小值为D.若命题“，使得成立”是假命题，则的取值范围是【答案】BCD【解析】对于A，当时，，A错误；对于B，，而，则或，因此“”是“”的必要不充分条件，B正确；对于C，依题意，，，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D，由题可知“”为真命题，当时，，符合题意；当时，则解得，所以的取值范围是，D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，且，则实数__________.【答案】【解析】因为，则，因为，所以，则.13.圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为__________.【答案】【解析】将化成弧度为，即圆心角，则扇形的弧长为，所以，所以该扇形的面积为.14.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，则当筒车旋转90秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为__________.【答案】【解析】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，得，所以.因为当时，盛水筒M位于点，所以，所以.因为，所以，得.因为，所以，所以.所以.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知.（1）求的值；（2）已知，求的值.解：（1）因为所以则所以.（2）由（1）可得所以16.已知函数.（1）求的最小正周期和对称轴方程；（2）求在上的最大值和最小值.解：（1），所以函数的最小正周期为.令，，解得，，所以函数图象的对称轴方程为，.（2）当时，，则，进而可得，，所以.当时，即时，取最小值.当时，即时，取最大值.17.在中，内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若的面积为为边上的中点，求.解：（1）由正弦定理，所以，因为，所以，又因为.（2）因为AD为BC边上的中线，所以，所以.又因为，所以.由余弦定理，所以，所以，所以，所以.18.已知定义域为的函数是奇函数，.（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并用定义证明；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.解：（1）因为在定义域为上是奇函数，所以，即，∴.又∵，即，∴.则，由，则当，原函数为奇函数.（2）由（1）知，任取，设，则，因为函数在上是增函数，，∴.又，∴，即，∴在上为减函数.（3）因是奇函数，从而不等式：，等价于，因为为减函数，由上式推得：，即对一切有：恒成立.设，令，则有，∴，∴，即k的取值范围为.19.在平面四边形中，已知，且，，是线段（包括端点）上的一个动点.（1）当时，①求值；②若，求；（2）求的最小值.解：（1）①因为，且，所以，，且，，所以四边形为直角梯形.所以以A为原点，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，当时，因为，所以，，，，所以，，因此；②设，即点P的坐标为，则，，因为，所以当时，，即.（2）设，，又，则，所以，当时取到等号，因此的最小值为3.云南省美美与共民族中学联盟2024-2025学年高一下学期联考（一）数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.2.设函数，则（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D.3.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为，因为函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上增函数.因为，则.由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是.故选：B.4.将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到的图象，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】将函数的图象保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的，得到，再向右平移个单位长度后得到.故选：D.5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，，，所以.故选：A.6.已知，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】又∴，则.故选：D.7.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”我们把看作每天的“进步”率是0.01，一年后的值约为；把看作每天的“退步”率是0.01，一年后的值约为，此时一年后的“进步”值是“退步”值的倍.那么，大约经过（）天，“进步”值是“退步”值的20倍.（参考数据：）A.130天 B.149天 C.120天 D.155天【答案】B【解析】设经过x天“进步”的值是“退步”的值的20倍，则，.故选：B.8.已知函数，若函数有2个零点，则的取值范围是（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】由函数解析式可画出函数图象如图：若函数有2个零点，可得函数与函数有两个交点，可得或.故选：C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有（）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】A：，当，方向相反时，错误；B：，，且，，是三个非零向量，则有，正确；C：知：，不一定有，错误；D：即，可得，即，正确.故选：BD.10.记的内角的对边分别为，若，则（）A.B.C.的面积为D.外接圆的面积为【答案】AD【解析】的内角的对边分别为，若，则，由，所以，故A正确；因为，所以，解得，故B错误；，故C错误；设外接圆的半径为，因为，所以，外接圆的面积为，故D正确.故选：AD.11.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.“”是“”必要不充分条件C.若，且，则的最小值为D.若命题“，使得成立”是假命题，则的取值范围是【答案】BCD【解析】对于A，当时，，A错误；对于B，，而，则或，因此“”是“”的必要不充分条件，B正确；对于C，依题意，，，当且仅当，即时取等号，C正确；对于D，由题可知“”为真命题，当时，，符合题意；当时，则解得，所以的取值范围是，D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量，且，则实数__________.【答案】【解析】因为，则，因为，所以，则.13.圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为__________.【答案】【解析】将化成弧度为，即圆心角，则扇形的弧长为，所以，所以该扇形的面积为.14.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，则当筒车旋转90秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为__________.【答案】【解析】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，所以，得，所以.因为当时，盛水筒M位于点，所以，所以.因为，所以，得.因为，所以，所以.所以.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知.（1）求的值；（2）已知，求的值.解：（1）因为所以则所以.（2）由（1）可得所以16.已知函数.（1）求的最小正周期和对称轴方程；（2）求在上的最大值和最小值.解：（1），所以函数的最小正周期为.令，，解得，，所以函数图象的对称轴方程为，.（2）当时，，则，进而可得，，所以.当时，即时，取最小值.当时，即时，取最大值.17.在中，内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）若的面积为为边上的中点，求.解：（1）由正弦定理，所以，因为，所以，又因为.（2）因为AD为BC边上的中线，所以，所以.又因为，所以.由余弦定理，所以，所以，所以，所以.18.已知定义域为的函数是奇函数，.（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并用定义证明；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.解：（1）因为在定义域为上是奇函数，所以，即，∴.又∵，即，∴.则，由，则当，原函数为奇函数.（2）由（1）知，任取，设，则，因为函数在上是增函数，，∴.又，∴，即，