2024-2025学年浙江省杭州市联谊学校高一下学期3月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分.）1.已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题设.故选：A.2.在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A.为零向量，不能作为基底，A错误.B.由得，，故，不能作一组基底，B错误.C.由得为不共线的非零向量，可以作为基底，C正确.D.由得，，故，不能作为一组基底，D错误.故选：C.3.已知正三角形的边长为1，则的值为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】由题设.故选：C.4.在中，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设，且为三角形的最大角，所以，则的面积为.故选：D5.已知，则在上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，，所以在上的投影向量为.故选：A.6.已知平面向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨设，∴，∵，∴，即，∴.∵，，当且仅当时取等号，∴的最大值为.故选：B.7.是斜边上一点，若，则的值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，令，由，则，，，在中，，由正弦定理，，即，整理得，即，因，则有，即的值是.故选：D.8.在中，内角所对的边分别为，已知，依次是边的四等分点（靠近点），记，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∵，∴.∵，∴.∵依次是边的四等分点（靠近点），∴，，，∴，，，∴.故选：C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选，错选得0分.）9.已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，则下列正确的是（）A.的虚部为B.C.是纯虚数D.若是方程的一个根，则【答案】BC【解析】由题设，令且，所以，即，所以，则，可得，所以，，则，A错，B对；，C对；若是方程的一个根，则，，故，D错.故选：BC.10.已知单位向量的夹角为，若平面向量，有序实数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记，则下列命题正确的是（）A.已知，则B.已知，则线段的长度为1C.已知，则D.已知，则的最大值为【答案】ABD【解析】A：由题设，所以，对；B：由题设，则，对；C：由题设，错；D：由题设，即，由，且时取等号，则，故，即时的最大值为，对.故选：ABD.11.已知锐角，角所对应的边分别为，下列命题正确的是（）A.“”是“”的必要不充分条件B.若，则是等腰三角形C.若，则的取值范围D.若，则的取值范围【答案】BCD【解析】由，则，所以，必要性成立，由，又为锐角三角形，必有，充分性成立，所以“”是“”的充要条件，A错；由，又，故，则，又，则或，得或（舍），所以为等腰三角形，B对；由，又，则，所以，则，故，所以，即，结合三角形为锐角三角形，可得，故，由，故，C对；，又，显然在上单调递减，所以，D对.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，若，则__________.【答案】【解析】由题设，且，所以，则.13.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为__________.【答案】2【解析】由题设，当，即时，的最大值为2.14.已知为单位向量，设向量，向量夹角为，若，求的取值范围__________.【答案】【解析】由，所以，故，又，，所以，而，所以.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足.（1）求的值；（2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.解：（1）令且，则，所以，则，可得，所以，则.（2）由，故对应点在第三象限，则，所以，即.16.已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且.（1）求角的大小；（2）若，求四边形面积的最大值.解：（1）由题设，即，所以，而，故，又，则，故.（2）由（1）易知为等边三角形，令，建立如下图的直角坐标系，则，，，故，所以，当时取最大值为.17.在中，为线段上的点，分别为的中点.（1）若，求的值；（2）若，求的长度；（3）若，求的值.解：（1）令，则，而，即.（2）由题意，在、中为斜边上的中点，所以，，故，，所以，由，所以，故.（3）由（2）易知，则，所以，同理，所以，即，显然，则.18.杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）（1）请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）；（2）为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式）解：（1）由题设，所以米.（2）设米，则，，由，则，当且仅当时，欣赏“灯光秀”的视角最大.19.如图，已知是边长为1的等边三角形，点是内一点.过点的直线与线段交于点，与线段交于点.设，且.（1）若，求的面积；（2）求的最小值；（3）若，设的周长为.（i）求的值；（ii）设，记，求的值域.解：（1）连接AG并延长，交BC于点F，设，则，由B，F，C三点共线，得，解得，因此，即，则，由是边长为1的等边三角形，得的面积，由，得，由，得，则，所以的面积.（2）取的中点，连接，则，，，当且仅当点是的中点时取等号，所以的最小值为.（3）（i）由，得为的重心，连接AG并延长交BC于点，则为BC中点，，因此，由D，G，E三点共线，得，所以.（ii）由正△ABC的边长为1，得，，，在△ADE中，，则，由，得，即，因此，又，则，由，，得，，又，则有，而，于是，由，得，则的最小值为，最大值为，即，在上单调递增，则，所以的值域为.浙江省杭州市联谊学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分.）1.已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题设.故选：A.2.在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A.为零向量，不能作为基底，A错误.B.由得，，故，不能作一组基底，B错误.C.由得为不共线的非零向量，可以作为基底，C正确.D.由得，，故，不能作为一组基底，D错误.故选：C.3.已知正三角形的边长为1，则的值为（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】由题设.故选：C.4.在中，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设，且为三角形的最大角，所以，则的面积为.故选：D5.已知，则在上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，得，，所以在上的投影向量为.故选：A.6.已知平面向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨设，∴，∵，∴，即，∴.∵，，当且仅当时取等号，∴的最大值为.故选：B.7.是斜边上一点，若，则的值（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，令，由，则，，，在中，，由正弦定理，，即，整理得，即，因，则有，即的值是.故选：D.8.在中，内角所对的边分别为，已知，依次是边的四等分点（靠近点），记，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∵，∴.∵，∴.∵依次是边的四等分点（靠近点），∴，，，∴，，，∴.故选：C.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选，错选得0分.）9.已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，则下列正确的是（）A.的虚部为B.C.是纯虚数D.若是方程的一个根，则【答案】BC【解析】由题设，令且，所以，即，所以，则，可得，所以，，则，A错，B对；，C对；若是方程的一个根，则，，故，D错.故选：BC.10.已知单位向量的夹角为，若平面向量，有序实数对称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记，则下列命题正确的是（）A.已知，则B.已知，则线段的长度为1C.已知，则D.已知，则的最大值为【答案】ABD【解析】A：由题设，所以，对；B：由题设，则，对；C：由题设，错；D：由题设，即，由，且时取等号，则，故，即时的最大值为，对.故选：ABD.11.已知锐角，角所对应的边分别为，下列命题正确的是（）A.“”是“”的必要不充分条件B.若，则是等腰三角形C.若，则的取值范围D.若，则的取值范围【答案】BCD【解析】由，则，所以，必要性成立，由，又为锐角三角形，必有，充分性成立，所以“”是“”的充要条件，A错；由，又，故，则，又，则或，得或（舍），所以为等腰三角形，B对；由，又，则，所以，则，故，所以，即，结合三角形为锐角三角形，可得，故，由，故，C对；，又，显然在上单调递减，所以，D对.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量，若，则__________.【答案】【解析】由题设，且，所以，则.13.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为__________.【答案】2【解析】由题设，当，即时，的最大值为2.14.已知为单位向量，设向量，向量夹角为，若，求的取值范围__________.【答案】【解析】由，所以，故，又，，所以，而，所以.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足.（1）求的值；（2）在复平面内，若对应的点在第三象限，求实数的取值范围.解：（1）令且，则，所以，则，可得，所以，则.（2）由，故对应点在第三象限，则，所以，即.16.已知的内角所对应的边分别为是外一点，若，且.（1）求角的大小；（2）若，求四边形面积的最大值.解：（1）由题设，即，所以，而，故，又，则，故.（2）由（1）易知为等边三角形，令，建立如下图的直角坐标系，则，，，故，所以，当时取最大值为.17.在中，为线段上的点，分别为的中点.（1）若，求的值；（2）若，求的长度；（3）若，求的值.解：（1）令，则，而，即.（2）由题意，在、中为斜边上的中点，所以，，故，，所以，由，所以，故.（3）由（2）易知，则，所以，同理，所以，即，显然，则.18.杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门”的高度，该小组同学在该建筑底部的东南方向上选取两个测量点与，测得米，在两处测得该建筑顶部的仰角分别为.（已知）（1）请计算“杭州之门”的高度（保留整数部分）；（2）为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上到处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知米，高直接取（1）的整数结果，市民在底部的东南方向的处欣赏“灯光秀”（如图），请问当为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角最大？（结果保留根式）解：（1）由题设，所以米.（2）设米，则，，由，则，当且仅当时，欣赏“灯光秀”的视角最大.19.如图，已知是边长为1的等边三角形，点是内一点.过点的直线与线段交于点，与线段交于点.设，且.（1）若，求的面积；（2）求的最小值；（3）若，设的周长为.（i）求的值；（i