2025届广东省部分学校高三下学期2月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1广东省部分学校2025届高三下学期2月联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为集合，得.故选：C.2.已知函数为偶函数，则（）A.4 B.5 C.6 D.1【答案】C【解析】由题意可知函数的定义域为，因为是偶函数，所以，整理得，故，得.故选：C.3.已知小明和小王从5张编号为的卡牌中依次不放回各抽取2张卡牌，设甲：小明手中的两张卡牌编号和为3，乙：小王手中的两张卡牌编号均不小于3，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A【解析】由小明手中的两张卡牌编号和为3，可知小明手中的两张卡牌编号分别为1，2，根据题意此时小王手中的两张卡牌编号可能为中的两个，均满足编号不小于3，充分性成立，若小王手中的两张卡牌编号均不小于3，例如3，4，此时小明手中的卡牌编号可能有5，不满足小明手中的两张卡牌编号和为3，故必要性不成立，故甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选:A.4.已知，则的最小值为（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】设，则，而.故由可解得，故，于是，故的最小值为1.故选：A.5.人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年10月至2025年2月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）代表AI电脑该月销量.月份2024年10月2024年11月2024年12月2025年1月2025年2月月份代号12345月销量万台0.50.911.21.4经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则预测2025年3月该市AI电脑的月销量约为（）A.1.63万台 B.1.57万台 C.1.61万台 D.1.72万台【答案】A【解析】因为.所以，所以关于的线性回归方程为，令，故此时万台.故选：A.6.已知抛物线，点，直线，记关于的对称点为，且在上，则的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，因为的斜率为，所以直线的斜率为，故直线的方程为4，将直线的方程与联立，设两直线的交点为，则，所以，解得，将的坐标代入的方程，有，解得，故的准线方程为.故选:B.7.中，点满足，且，则（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】由题意可得，，，因为，所以，即，故，于是.故选：C.8.已知函数在区间上单调，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的定义域为，时，，结合正切函数的单调性可知，解得，由可知，由可知，即，即，而，故只能为0或1，时，结合可知；时，，于是.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记为等差数列前项和，已知，则（）A.的公差为3 B.C.有最小值 D.数列为递增数列【答案】BC【解析】对于A，由题意可得，解得，故A错误；对于B，，故，故B正确；对于C，，所以当时，取到最小值，故C正确；对于D，，且，故D错误.故选：BC.10.已知为圆上的动点，点满足，记的轨迹为，则（）A.始终关于原点对称B.圆与关于原点对称C.与上的点的最小距离为6D.与上的点的最大距离为12【答案】BC【解析】圆的圆心为，半径为2，对于A，设，由，得，则关于原点不一定对称，A错误；对于B，由在圆上，则，化简得到，是以为圆心，2为半径的圆，圆与关于原点对称，B正确；对于C，由选项B知，两圆的圆心距离为，即两圆外离，与上的点的最小距离是的圆心距离再减去两圆半径和的差，即，C正确；对于D，与上的点的最大距离是的圆心距离再加上两圆半径和，即，D错误.故选：BC11.中，，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对于，因，故，故是锐角三角形.由，于是，故A正确；对于，由可知，故，故B正确；对于C，设函数，则，故在区间上单调递增，故当时，，即.于是，故，故C正确；对于D，当时，，此时，又因为，此时，故D错误.故选：ABC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的实轴长与焦距之积为__________.【答案】【解析】由知双曲线的焦点在轴上，且，故其焦距为，故双曲线实轴长与焦距之积为.故答案为：.13.已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________.【答案】【解析】解法一：由题意可得，而恒成立，故仅有时满足题意.解法二：令，由复合函数单调性可知外层函数在上单调递增，故内层函数在上也要单调递增，故时满足，其他情况均不满足，故的取值范围为.故答案为：.14.已知某圆锥的顶点和底面圆周上的点均在球的表面上，且球的表面积与体积相等，则该圆锥侧面积的最大值为__________.【答案】【解析】由可知，故球半径为3，由题意可知，为使该圆锥侧面积取得最大值，此时球心在该圆锥的高上，作出该圆锥的轴截面，如图其中，分别表示该圆锥的母线长，底面圆半径，球心到底面圆的距离，球心可能在圆锥内或圆锥外，故，，故圆锥侧面积，记函数，则.当时，单调递增；当时，单调递减.故，于是.故答案为:.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.为了调查小鼠的日均睡眠时长（单位：小时），某科研团队随机抽取了90只小鼠的日均睡眠时长作为样本，整理数据如下表.已知抽取的90只小鼠的样本极差为5.现从日均睡眠时长在的小鼠中抽取5只进行药物测试，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为.日均睡眠时长56789小鼠数量61925168（1）求；（2）求参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的方差；（3）从参与药物测试的小鼠中随机抽取2只，求其日均睡眠时长之差的绝对值的分布列.解：（1）因为样本极差为，.（2）求得参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的平均数为，所以方差.（3）因为抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为，故可能值为.则的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长均为7，的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长分别为6，8，故，，，故的分布列为01216.如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点.（1）证明：平面平面;（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：如图，因为四边形是等腰梯形，点G为的中点，点H为的中点，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，取BE的中点M，连接，则四边形是边长为2的菱形，所以，又，所以，因为且都在面内，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，两两垂直，以H为原点，所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，得，设直线与平面所成的角为θ，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.设函数.（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；（2）若存在零点且与极值点相等，求的最小值.解：（1）因为，所以，.当时，，且，.故曲线在原点处的切线方程为，即.（2）设既是的零点，也是的极值点，则有，，解方程，解得或.①当时，，解得，又，故；②当时，，且易知，又，故只有，结合，同①解得.综上，，当时，取最小值，经检验，符合题意.18.已知动点在椭圆上，且的左、右焦点分别为.设直线为上不重合的两点.（1）求的离心率；（2）已知；（i）证明：点在轴的异侧；（ii）证明：当的面积取最小值时，存在常数使得，并求的值.解：（1）由题设，.则，即，且，即.则的离心率为.（2）（i）由（1）可得，设.则由，得，即0.故必存在一点在第一象限，另一点在第四象限，即点在轴的异侧.（ii）记的面积为，点到的距离为，则.要使最小，则必须使与同时达到最小值.显然当运动至的右顶点时最小，此时，而，当且仅当或时取等号，最小值为.此时.且，故，解得.19.若正整数数列满足：存在连续项之和为正整数，则称数列为“—和数列”.已知项数为的正整数数列对于任意整数，有.（1），写出一个满足条件的2—和数列；（2）时，证明：是4—和数列；（3）对于任意，证明：是既为—和数列，也为—和数列.（1）解：取满足题意.（2）证明：记为的前项和，则有，另一方面，要考虑存在两个不相等的，使得，则对于，有：，则与是1到39中的40个整数，因此其必存在两个数相同，又，则必存在，使得，因此，即，因此是4—和数列.（3）证明：①记为的前项和，则有，对于，有：，则与是1到中的个整数，因此其必存在两个数相同，又，则必存在，使得，因此，即，因此是—和数列.②若存在的倍数，由于，则存在必为，则是—和数列，若其中没有的倍数，则必然是除以余的数，其中共有种不同的可能，而是个不同的数，因此必存在，使得除以的余数相同，因此存在，使得是的倍数，又，则，则，故为—和数列.广东省部分学校2025届高三下学期2月联考数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为集合，得.故选：C.2.已知函数为偶函数，则（）A.4 B.5 C.6 D.1【答案】C【解析】由题意可知函数的定义域为，因为是偶函数，所以，整理得，故，得.故选：C.3.已知小明和小王从5张编号为的卡牌中依次不放回各抽取2张卡牌，设甲：小明手中的两张卡牌编号和为3，乙：小王手中的两张卡牌编号均不小于3，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A【解析】由小明手中的两张卡牌编号和为3，可知小明手中的两张卡牌编号分别为1，2，根据题意此时小王手中的两张卡牌编号可能为中的两个，均满足编号不小于3，充分性成立，若小王手中的两张卡牌编号均不小于3，例如3，4，此时小明手中的卡牌编号可能有5，不满足小明手中的两张卡牌编号和为3，故必要性不成立，故甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选:A.4.已知，则的最小值为（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】设，则，而.故由可解得，故，于是，故的最小值为1.故选：A.5.人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革战略性技术，AI技术加持的电脑（以下简称AI电脑）也在全国各地逐渐热销起来.下表为市统计的2024年10月至2025年2月这5个月该市AI电脑的月销量，其中为月份代号，（单位：万台）代表AI电脑该月销量.月份2024年10月2024年11月2024年12月2025年1月2025年2月月份代号12345月销量万台0.50.911.21.4经过分析，与线性相关，且其线性回归方程为，则预测2025年3月该市AI电脑的月销量约为（）A.1.63万台 B.1.57万台 C.1.61万台 D.1.72万台【答案】A【解析】因为.所以，所以关于的线性回归方程为，令，故此时万台.故选：A.6.已知抛物线，点，直线，记关于的对称点为，且在上，则的准线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，因为的斜率为，所以直线的斜率为，故直线的方程为4，将直线的方程与联立，设两直线的交点为，则，所以，解得，将的坐标代入的方程，有，解得，故的准线方程为.故选:B.7.中，点满足，且，则（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】由题意可得，，，因为，所以，即，故，于是.故选：C.8.已知函数在区间上单调，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的定义域为，时，，结合正切函数的单调性可知，解得，由可知，由可知，即，即，而，故只能为0或1，时，结合可知；时，，于是.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记为等差数列前项和，已知，则（）A.的公差为3 B.C.有最小值 D.数列为递增数列【答案】BC【解析】对于A，由题意可得，解得，故A错误；对于B，，故，故B正确；对于C，，所以当时，取到最小值，故C正确；对于D，，且，故D错误.故选：BC.10.已知为圆上的动点，点满足，记的轨迹为，则（）A.始终关于原点对称B.圆与关于原点对称C.与上的点的最小距离为6D.与上的点的最大距离为12【答案】BC【解析】圆的圆心为，半径为2，对于A，设，由，得，则关于原点不一定对称，A错误；对于B，由在圆上，则，化简得到，是以为圆心，2为半径的圆，圆与关于原点对称，B正确；对于C，由选项B知，两圆的圆心距离为，即两圆外离，与上的点的最小距离是的圆心距离再减去两圆半径和的差，即，C正确；对于D，与上的点的最大距离是的圆心距离再加上两圆半径和，即，D错误.故选：BC11.中，，则（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对于，因，故，故是锐角三角形.由，于是，故A正确；对于，由可知，故，故B正确；对于C，设函数，则，故在区间上单调递增，故当时，，即.于是，故，故C正确；对于D，当时，，此时，又因为，此时，故D错误.故选：ABC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的实轴长与焦距之积为__________.【答案】【解析】由知双曲线的焦点在轴上，且，故其焦距为，故双曲线实轴长与焦距之积为.故答案为：.13.已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________.【答案】【解析】解法一：由题意可得，而恒成立，故仅有时满足题意.解法二：令，由复合函数单调性可知外层函数在上单调递增，故内层函数在上也要单调递增，故时满足，其他情况均不满足，故的取值范围为.故答案为：.14.已知某圆锥的顶点和底面圆周上的点均在球的表面上，且球的表面积与体积相等，则该圆锥侧面积的最大值为__________.【答案】【解析】由可知，故球半径为3，由题意可知，为使该圆锥侧面积取得最大值，此时球心在该圆锥的高上，作出该圆锥的轴截面，如图其中，分别表示该圆锥的母线长，底面圆半径，球心到底面圆的距离，球心可能在圆锥内或圆锥外，故，，故圆锥侧面积，记函数，则.当时，单调递增；当时，单调递减.故，于是.故答案为:.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.为了调查小鼠的日均睡眠时长（单位：小时），某科研团队随机抽取了90只小鼠的日均睡眠时长作为样本，整理数据如下表.已知抽取的90只小鼠的样本极差为5.现从日均睡眠时长在的小鼠中抽取5只进行药物测试，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为.日均睡眠时长56789小鼠数量61925168（1）求；（2）求参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的方差；（3）从参与药物测试的小鼠中随机抽取2只，求其日均睡眠时长之差的绝对值的分布列.解：（1）因为样本极差为，.（2）求得参与药物测试的小鼠的日均睡眠时长的平均数为，所以方差.（3）因为抽取所得的小鼠的日均睡眠时长分别为，故可能值为.则的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长均为7，的情况下，抽取到的两只小鼠日均睡眠时长分别为6，8，故，，，故的分布列为01216.如图，在几何体中，互相平行，四边形与四边形是全等的等腰梯形，平面平面，，点分别为的中点.（1）证明：平面平面;（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：如图，因为四边形是等腰梯形，点G为的中点，点H为的中点，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，取BE的中点M，连接，则四边形是边长为2的菱形，所以，又，所以，因为且都在面内，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，两两垂直，以H为原点，所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，得，设直线与平面所成的角为θ，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.设函数.（1）当时，求曲线在原点处的切线方程；（2）若存在零点且与极值点相等，求的最小值.