2025届河南省鹤壁市高三3月模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河南省鹤壁市2025届高三3月模拟考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题解得，，所以．故选：A.2.若复数在复平面内对应的点位于y轴上，则实数（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因为在复平面内对应的点位于y轴上，所以，．故选：C3.已知向量，，则在上的投影向量的长度为（）A. B. C.10 D.20【答案】B【解析】由题可知在上的投影向量的长度为．故选：B4.如图，曲线是抛物线的一部分，且曲线关于y轴对称，，则点B到C的焦点的距离为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由题可知C的焦点坐标为，又曲线关于y轴对称，且，所以的横坐标为2，代入抛物线方程，，抛物线的准线方程为,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因为到准线的距离为所以点B到C焦点的距离为2．故选：C.5.已知函数的图象关于直线对称，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知，，则，，又，所以，所以．故选：D.6.在直三棱柱中，，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知三棱柱两个底面三角形的外接圆的圆心分别为，的中点，．设外接球的半径为R，则，，所以，解得．侧面旋转后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱，其体积为．故选：B.7.为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当器乐在第三个位置演出时，共有种不同的演出顺序；当器乐在第四个位置演出时，共有种不同的演出顺序；当器乐在第五个位置演出时，共有种不同的演出顺序；当器乐在第六个位置演出时，共有种不同的演出顺序；所以共有种不同的演出顺序，则所求概率为．故选：A8.已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知，因为在区间上单调递增，所以，即，当时，有，得，不成立舍去；当时，有ln(a+2)>0，则显然成立，故.又在区间上单调递增，在时恒成立，所以在时恒成立，因为，则有，即，则得，即，解得或，又，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.有一组样本数据a，b，c，d，其中，由这组数据得到的新样本数据为，，，，则（）A.两组数据的极差一定相等 B.两组数据的平均数一定相等C.两组数据的中位数可能相等 D.两组数据的方差不可能相等【答案】BC【解析】对于A，假设原样本数据为5，4，2，1，极差为，则新样本数据为3，2，4，3，极差为，两组数据的极差不相等，故A错误；对于B，因为，所以两组数据的平均数一定相等，故B正确；对于C，由A中的数据可知两组数据的中位数可能相等，故C正确；对于D，假设原样本数据为4，3，2，1，则新样本数据为2，1，4，3，这两组数据一样，故方差可能相等，故D错误．故选：BC.10.已知，分别是双曲线（）的左、右焦点，斜率为且过点的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且，则（）A.点到C的渐近线的距离为 B.C.C的离心率为2D.分别以，为直径的圆的公共弦长为【答案】ACD【解析】对于A,C，连接，由题意得，故，，由于，所以，又，故，设（），在中，由余弦定理可得，解得（负值舍去），故离心率为2，即，渐近线方程为，点到C的渐近线的距离为，故A，C正确；对于B，设（），则，,在中，由余弦定理可得，解得，故，故B错误；对于D，因为，所以为等腰三角形，过点作于点，易知分别以，为直径的圆的公共弦为，且，故D正确．故选：ACD.11.塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到．常见的塌缩函数有，，设的值域为，的值域为，则下列结论正确的是（）A.B.C.方程的所有实根之和为1D.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A，因为.，所以在上为增函数，且的值域为，又，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，由B可知的图象关于点对称，又的图象也关于点对称，所以两函数图象的交点也关于点对称，则方程的所有实根之和为0，故C错误；对于D，易知为增函数，且，即，则，即，因为，当且仅当时等号成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为________．【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，母线与底面所成的角为．由题可知，则，所以，．故答案为：.13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的平分线交于点E，且，，，则________．【答案】【解析】由面积相等，可得，即，化简得，又，∴．由余弦定理可得，所以.故答案为：14.记表示不超过x的最大整数．若正项数列满足，，则数列的前101项和为________．【答案】10101【解析】因为，所以，因为为正项数列，所以，则，当时，，故，又对于，都有，故，所以，故当时，，又，所以的前101项和为．故答案为：10101四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列满足，，数列的首项为9，且是公比为2的等比数列．（1）求的通项公式；（2）探究的单调性，并求其最值．解：（1）设的公差为d．由题可得，解得，所以，即的通项公式为；（2）由（1）可得，故，则，所以，当时，，当时，，所以，故先单调递减后单调递增，且有最小值，为，无最大值．16.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响．（1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；（2）设甲击中目标的次数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件，则，所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为．（2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以X的分布列为X0123P所以．17.已知函数．（1）当时，证明：；（2）当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数取值范围．（1）证明：要证，即证．当时，，所以，可以考虑证明，令，，则，易知在上单调递增，且，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴是的极小值点，也是最小值点，故当时，，即，因此，当时，．（2）解：由题可知，则．若，当时，，，∴，则在区间上单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去．若，设，则在区间上恒成立，∴在区间上单调递增，即在区间上单调递增，又，，∴在区间有唯一的零点，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴在区间内有唯一的极值点，符合题意．综上，实数a的取值范围是．18.已知椭圆（）的离心率为，短轴长为．（1）求C的方程．（2）若C上的两点满足，则称点为C上的一对伴点，设A为C上位于第一象限的一点，且点A的横坐标为1．（ⅰ）证明：点AC上共有两个伴点；（ⅱ）设（ⅰ）中的两个伴点分别为G，H，若斜率为的动直线l与C交于点M，N，点G，H，M，N组成四边形，求四边形的面积的最大值．解：（1）设C的半焦距为c（）．由题可知解得所以C的方程为．（2）（ⅰ）由题可知点A的坐标为．设点A在C上的伴点的坐标为，则，即，所以点A在C上的伴点在直线上．联立方程得解得或所以点A在C上所有伴点的坐标分别为，，即点A在C上共有两个伴点．（ⅱ）设，则两式相减得．由题可知，则，所以线段的中点在直线上，则线段被直线平分．由（ⅰ）可知直线的方程为．设点到直线的距离为，则四边形的面积．又，所以．设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，取得最大值．由可得（*），令，解得．故的最大值为直线和直线（或）的距离，即为，所以，即四边形的面积的最大值为．19.球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.（1）若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值.（2）在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为.（i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值；（ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长.解：（1）因为球面三角形的三条边长均为，所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体.取的中点，连接，则，且，则为二面角的平面角.由余弦定理可得.所以此球面三角形一个内角的余弦值为.（2）因为平面，所以.设，则，所以.由勾股定理的逆定理可得，又，所以平面，又平面，所以，因为直线与平面所成的角为，所以.易知在和中，斜边的中点到点的距离相等，即为球的直径，所以.以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（i）由题可知，则.设与都垂直的向量为，则令，则，所以线段长度的最小值为.（ii）设，由题可知，则.设平面的一个法向量为，则取，可得.设平面的一个法向量为，则取，可得.设平面与平面的夹角为.因为，令，则，可得，当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值，故.河南省鹤壁市2025届高三3月模拟考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题解得，，所以．故选：A.2.若复数在复平面内对应的点位于y轴上，则实数（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因为在复平面内对应的点位于y轴上，所以，．故选：C3.已知向量，，则在上的投影向量的长度为（）A. B. C.10 D.20【答案】B【解析】由题可知在上的投影向量的长度为．故选：B4.如图，曲线是抛物线的一部分，且曲线关于y轴对称，，则点B到C的焦点的距离为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由题可知C的焦点坐标为，又曲线关于y轴对称，且，所以的横坐标为2，代入抛物线方程，，抛物线的准线方程为,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因为到准线的距离为所以点B到C焦点的距离为2．故选：C.5.已知函数的图象关于直线对称，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知，，则，，又，所以，所以．故选：D.6.在直三棱柱中，，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知三棱柱两个底面三角形的外接圆的圆心分别为，的中点，．设外接球的半径为R，则，，所以，解得．侧面旋转后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱，其体积为．故选：B.7.为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当器乐在第三个位置演出时，共有种不同的演出顺序；当器乐在第四个位置演出时，共有种不同的演出顺序；当器乐在第五个位置演出时，共有种不同的演出顺序；当器乐在第六个位置演出时，共有种不同的演出顺序；所以共有种不同的演出顺序，则所求概率为．故选：A8.已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知，因为在区间上单调递增，所以，即，当时，有，得，不成立舍去；当时，有ln(a+2)>0，则显然成立，故.又在区间上单调递增，在时恒成立，所以在时恒成立，因为，则有，即，则得，即，解得或，又，所以.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.有一组样本数据a，b，c，d，其中，由这组数据得到的新样本数据为，，，，则（）A.两组数据的极差一定相等 B.两组数据的平均数一定相等C.两组数据的中位数可能相等 D.两组数据的方差不可能相等【答案】BC【解析】对于A，假设原样本数据为5，4，2，1，极差为，则新样本数据为3，2，4，3，极差为，两组数据的极差不相等，故A错误；对于B，因为，所以两组数据的平均数一定相等，故B正确；对于C，由A中的数据可知两组数据的中位数可能相等，故C正确；对于D，假设原样本数据为4，3，2，1，则新样本数据为2，1，4，3，这两组数据一样，故方差可能相等，故D错误．故选：BC.10.已知，分别是双曲线（）的左、右焦点，斜率为且过点的直线交C的右支于A，B两点，A在第一象限，且，则（）A.点到C的渐近线的距离为 B.C.C的离心率为2D.分别以，为直径的圆的公共弦长为【答案】ACD【解析】对于A,C，连接，由题意得，故，，由于，所以，又，故，设（），在中，由余弦定理可得，解得（负值舍去），故离心率为2，即，渐近线方程为，点到C的渐近线的距离为，故A，C正确；对于B，设（），则，,在中，由余弦定理可得，解得，故，故B错误；对于D，因为，所以为等腰三角形，过点作于点，易知分别以，为直径的圆的公共弦为，且，故D正确．故选：ACD.11.塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到．常见的塌缩函数有，，设的值域为，的值域为，则下列结论正确的是（）A.B.C.方程的所有实根之和为1D.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A，因为.，所以在上为增函数，且的值域为，又，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，由B可知的图象关于点对称，又的图象也关于点对称，所以两函数图象的交点也关于点对称，则方程的所有实根之和为0，故C错误；对于D，易知为增函数，且，即，则，即，因为，当且仅当时等号成立，所以，解得，所以实数的取值范围是，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为________．【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，母线与底面所成的角为．由题可知，则，所以，．故答案为：.13.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若的平分线交于点E，且，，，则________．【答案】【解析】由面积相等，可得，即，化简得，又，∴．由余弦定理可得，所以.故答案为：14.记表示不超过x的最大整数．若正项数列满足，，则数列的前101项和为________．【答案】10101【解析】因为，所以，因为为正项数列，所以，则，当时，，故，又对于，都有，故，所以，故当时，，又，所以的前101项和为．故答案为：10101四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列满足，，数列的首项为9，且是公比为2的等比数列．（1）求的通项公式；（2）探究的单调性，并求其最值．解：（1）设的公差为d．由题可得，解得，所以，即的通项公式为；（2）由（1）可得，故，则，所以，当时，，当时，，所以，故先单调递减后单调递增，且有最小值，为，无最大值．16.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响．（1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；（2）设甲击中目标的次数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件，则，所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为．（2）由题可知X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以X的分布列为X0123P所以．17.已知函数．（1）当时，证明：；（2）当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数取值范围．（1）证明：要证，即证．当时，，所以，可以考虑证明，令，，则，易知在上单调递增，且，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴是的极小值点，也是最小值点，故当时，，即，因此，当时，．（2）解：由题可知，则．若，当时，，，∴，则在区间上单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去．若，设，则在区间上恒成立，∴在区间上单调递增，即在区间上单调递增，又，，∴在区间有唯一的零点，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴在区间内有唯一的极值点，符合题意．综上，实数a的取值范围是．18.已知椭圆（）的离心率为，短轴长为．（1）求C的方程．（2）若C上的两点满足，则称点为C上的一对伴点，设A为C上位于第一象限的一点，且点A的横坐标为1．（ⅰ）证明：点AC上共有两个伴点；（ⅱ）设（ⅰ）中的两个伴点分别为G，H，若斜率为的动直线l与C交于点M，N，点G，H，M，N组成四边形，求四边形的面积的最大值．解：（1）设C的半焦距为c（）．由题可知解得所以C的方程为．（2）（ⅰ）由题可知点A的坐标为．设点A在C上的