2025届河南省焦作市普通高中高三第二次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河南省焦作市普通高中2025届高三第二次模拟考试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得，所以，由，得，解得，所以，所以.故选：A.2.若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因为在复平面内对应的点位于轴上，所以，此时满足题设.故选：C.3.已知向量，则在上的投影向量的长度为（）A. B. C.10 D.20【答案】B【解析】由题可知，，则在上的投影向量的长度为.故选：B4.如图.曲线是抛物线的一部分，且曲线关于轴对称，，则点到的焦点的距离为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由题可知的焦点坐标为，点，所以点到的焦点的距离为2.故选：C.5.已知函数的图像关于直线对称，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知，则，又，所以，所以.故选：D.6.在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知三棱柱两个底面三角形的外接圆的圆心分别为的中点，.设外接球的半径为，则，所以，解得.侧面旋转后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱，其体积为.故选：B7.为了抒写乡村发展故事､展望乡村振兴图景､演绎民众身边日常､唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈､歌曲､戏曲､小品､器乐､非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】六个节目总的排序有，当器乐在第三个位置演出时，共有种不同的演出顺序，当器乐在第四个位置演出时，共有种不同的演出顺序，当器乐在第五个位置演出时，共有种不同的演出顺序，当器乐在第六个位置演出时，共有种不同的演出顺序，所以共有种不同的演出顺序，则所求概率为.故选：A8.已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知，因为在区间上单调递增，所以，即，当时，有，即，不成立，当时，有，则成立，所以；又在区间上都单调递增，所以在，时恒成立，所以在时恒成立，因为，所以，所以或，又，所以，故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合是目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有一组样本数据，其中，由这组数据得到的新样本数据为，则（）A.两组数据的极差一定相等B.两组数据的平均数一定相等C.两组数据的中位数可能相等D.两组数据的方差不可能相等【答案】BC【解析】对于A，假设原样本数据为，则新样本数据为，两组数据的极差不相等，错误；对于B，因为，所以两组数据的平均数一定相等，正确；对于C，由A中的数据可知两组数据的中位数可能相等，正确；对于D，假设原样本数据为，则新样本数据为，这两组数据一样，故方差可能相等，错误.故选：BC10.已知分别是双曲线的左、右焦点，斜率为且过点的直线交的右支于两点，在第一象限，且，则（）A.点到的渐近线的距离为B.C.的离心率为2D.分别以为直径的圆的公共弦长为【答案】ACD【解析】双曲线，则，对于，连接，由题意得，为锐角，所以，解得，由于，所以，又，故，设，在中，由余弦定理可得，即，解得（负值舍去），故离心率为，点到的渐近线的距离，即，故A，C正确；对于B，设，则，在中，由余弦定理可得，解得，故，故B错误；对于D，因为，所以为等腰三角形，过点作于点，因为，所以为中点，易知分别以，为直径的圆的公共弦为，且，故D正确.故选：ACD.11.塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有，设的值域为的值域为，则下列结论正确的是（）A.B.C.方程的所有实根之和为1D.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以在上为增函数，且的值域为，又，所以，故正确；对于B，因为，所以，故正确；对于C，因为，所以，由B知图象关于点对称，又图象也关于点对称，所以两函数图象的交点也关于点对称，则方程的所有实根之和为0，故错误；对于D，易知为增函数，由题得，即，而，当且仅当时等号成立，所以，解得，综上，实数的取值范围是，故正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为__________.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，母线与底面所成的角为.由题可知，则，所以，因为，所以，故答案为：.13.在中，内角的对边分别为，若的平分线交于点，且，则__________.【答案】【解析】由面积相等，可得，即，化简得，又.由余弦定理可得.故答案为：.14.记表示不超过的最大整数.若正项数列满足，则数列的前101项和为__________.【答案】【解析】因为，所以，因为正项数列，所以，则，当时，，故，又对于，都有，故，所以，故当时，，又，所以的前101项和为.故答案为：10101四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足，数列的首项为，且是公比为的等比数列.（1）求的通项公式；（2）探究的单调性，并求其最值.解：（1）设数列的公差为，由题可得，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）因为，所以，又，由题知，得到，所以，当时，，当时，，所以，故数列先单调递减后单调递增，且数列有最小值，最小值为，无最大值.16.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响.（1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；（2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望.解：（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件，则，所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.（2）由题可知的所有可能取值为，，，所以的分布列为0123所以.17.已知函数.（1）当时，证明：；（2）当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.证明：（1）要证，即证.当时，，可以考虑证明，令，则，易知在上单调递增，且，则当时，单调递减，当时，单调递增，是的极小值点，也是最小值点，故当时，，即，因此，当时，（2）由题可知，则.若，当时，，则在区间上单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去.若，设，则在区间上恒成立，在区间上单调递增，即在区间上单调递增，又在区间上有唯一的零点，当时，单调递减，当时，单调递增，在区间内有唯一的极值点，符合题意.综上，实数的取值范围是.18.已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求的方程.（2）若上的两点满足，则称点为上的一对伴点.设为上位于第一象限的一点，且点的横坐标为1.（i）证明：点在上共有两个伴点；（ii）设（i）中的两个伴点分别为，若斜率为的动直线与交于点，点组成四边形，求四边形的面积的最大值.解：（1）设的半焦距为.由题可知，解得，所以的方程为.（2）（i）由题可知点的坐标为.如图：设点在上的伴点的坐标为，则，即，所以点在上的伴点在直线上.联立方程得，解得或，所以点在上所有伴点的坐标分别为，即点在上共有两个伴点.（ii）设，则，两式相减得.由题可知，则，所以线段的中点在直线上，则线段被直线平分.由（i）可知直线的方程为.设点到直线的距离为，则四边形的面积.又，所以.设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，取得最大值.由，可得，令，解得.故的最大值为直线和直线（或）的距离，即为，所以，即四边形的面积的最大值为.19.球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.（1）若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值.（2）在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为.（i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值；（ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长.解：（1）因为球面三角形的三条边长均为，所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体.取的中点，连接，则，且，则为二面角的平面角.由余弦定理可得.所以此球面三角形一个内角的余弦值为.（2）因为平面，所以.设，则，所以.由勾股定理的逆定理可得，又，所以平面，又平面，所以，因为直线与平面所成的角为，所以.易知在和中，斜边的中点到点的距离相等，即为球的直径，所以.以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（i）由题可知，则.设与都垂直的向量为，则令，则，所以线段长度最小值为.（ii）设，由题可知，则.设平面的一个法向量为，则取，可得.设平面的一个法向量为，则取，可得.设平面与平面夹角为.因为，令，则，可得，当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值，故.河南省焦作市普通高中2025届高三第二次模拟考试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，解得，所以，由，得，解得，所以，所以.故选：A.2.若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】因为在复平面内对应的点位于轴上，所以，此时满足题设.故选：C.3.已知向量，则在上的投影向量的长度为（）A. B. C.10 D.20【答案】B【解析】由题可知，，则在上的投影向量的长度为.故选：B4.如图.曲线是抛物线的一部分，且曲线关于轴对称，，则点到的焦点的距离为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】由题可知的焦点坐标为，点，所以点到的焦点的距离为2.故选：C.5.已知函数的图像关于直线对称，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知，则，又，所以，所以.故选：D.6.在直三棱柱中，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知三棱柱两个底面三角形的外接圆的圆心分别为的中点，.设外接球的半径为，则，所以，解得.侧面旋转后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱，其体积为.故选：B7.为了抒写乡村发展故事､展望乡村振兴图景､演绎民众身边日常､唱出百姓幸福心声，某地组织了2025年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈､歌曲､戏曲､小品､器乐､非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】六个节目总的排序有，当器乐在第三个位置演出时，共有种不同的演出顺序，当器乐在第四个位置演出时，共有种不同的演出顺序，当器乐在第五个位置演出时，共有种不同的演出顺序，当器乐在第六个位置演出时，共有种不同的演出顺序，所以共有种不同的演出顺序，则所求概率为.故选：A8.已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可知，因为在区间上单调递增，所以，即，当时，有，即，不成立，当时，有，则成立，所以；又在区间上都单调递增，所以在，时恒成立，所以在时恒成立，因为，所以，所以或，又，所以，故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合是目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有一组样本数据，其中，由这组数据得到的新样本数据为，则（）A.两组数据的极差一定相等B.两组数据的平均数一定相等C.两组数据的中位数可能相等D.两组数据的方差不可能相等【答案】BC【解析】对于A，假设原样本数据为，则新样本数据为，两组数据的极差不相等，错误；对于B，因为，所以两组数据的平均数一定相等，正确；对于C，由A中的数据可知两组数据的中位数可能相等，正确；对于D，假设原样本数据为，则新样本数据为，这两组数据一样，故方差可能相等，错误.故选：BC10.已知分别是双曲线的左、右焦点，斜率为且过点的直线交的右支于两点，在第一象限，且，则（）A.点到的渐近线的距离为B.C.的离心率为2D.分别以为直径的圆的公共弦长为【答案】ACD【解析】双曲线，则，对于，连接，由题意得，为锐角，所以，解得，由于，所以，又，故，设，在中，由余弦定理可得，即，解得（负值舍去），故离心率为，点到的渐近线的距离，即，故A，C正确；对于B，设，则，在中，由余弦定理可得，解得，故，故B错误；对于D，因为，所以为等腰三角形，过点作于点，因为，所以为中点，易知分别以，为直径的圆的公共弦为，且，故D正确.故选：ACD.11.塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到.常见的塌缩函数有，设的值域为的值域为，则下列结论正确的是（）A.B.C.方程的所有实根之和为1D.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以在上为增函数，且的值域为，又，所以，故正确；对于B，因为，所以，故正确；对于C，因为，所以，由B知图象关于点对称，又图象也关于点对称，所以两函数图象的交点也关于点对称，则方程的所有实根之和为0，故错误；对于D，易知为增函数，由题得，即，而，当且仅当时等号成立，所以，解得，综上，实数的取值范围是，故正确.故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一圆锥的表面积与底面积的比值为3，则该圆锥的母线与底面所成的角为__________.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，母线与底面所成的角为.由题可知，则，所以，因为，所以，故答案为：.13.在中，内角的对边分别为，若的平分线交于点，且，则__________.【答案】【解析】由面积相等，可得，即，化简得，又.由余弦定理可得.故答案为：.14.记表示不超过的最大整数.若正项数列满足，则数列的前101项和为__________.【答案】【解析】因为，所以，因为正项数列，所以，则，当时，，故，又对于，都有，故，所以，故当时，，又，所以的前101项和为.故答案为：10101四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足，数列的首项为，且是公比为的等比数列.（1）求的通项公式；（2）探究的单调性，并求其最值.解：（1）设数列的公差为，由题可得，解得，所以，即数列的通项公式为.（2）因为，所以，又，由题知，得到，所以，当时，，当时，，所以，故数列先单调递减后单调递增，且数列有最小值，最小值为，无最大值.16.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响.（1）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率；（2）设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望.解：（1）设甲恰好比乙多击中目标2次为事件，甲击中目标2次且乙击中目标0次为事件，甲击中目标3次且乙击中目标1次为事件，则，所以甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.（2）由题可知的所有可能取值为，，，所以的分布列为0123所以.17.已知函数.（1）当时，证明：；（2）当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围.证明：（1）要证，即证.当时，，可以考虑证明，令，则，易知在上单调递增，且，则当时，单调递减，当时，单调递增，是的极小值点，也是最小值点，故当时，，即，因此，当时，（2）由题可知，则.若，当时，，则在区间上单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去.若，设，则在区间上恒成立，在区间上单调递增，即在区间上单调递增，又在区间上有唯一的零点，当时，单调递减，当时，单调递增，在区间内有唯一的极值点，符合题意.综上，实数的取值范围是.18.已知椭圆的离心率为，短轴长为.（1）求的方程.（2）若上的两点满足，则称点为上的一对伴点.设为上位于第一象限的一点，且点的横坐标为1.（i）证明：点在上共有两个伴点；（ii）设（i）中的两个伴点分别为，若斜率为的动直线与交于点，点组成四边形，求四边形的面积的最大值.解：（1）设的半焦距为.由题可知，解得，所以的方程为.（2）（i）由题可知点的坐标为.如图：设点在上的伴点的坐标为，则，即，所以点在上的伴点在直线上.联立方程得，解得或，所以点