2025届河南省商丘市高三下学期3月教学质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河南省商丘市2025届高三下学期3月教学质量检测数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，，所以，所以.故选：D.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，，则，所以.故选：A3.已知等差数列的前8项和为48；，则的公差为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】依题意，即，假设等差数列的首项为，公差为，则，解得,故选：B.4.下列函数中，是奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，A选项错误；B选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，B选项错误；A选项，函数定义域为，，函数是奇函数，C选项正确；D选项，函数定义域为，不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误.故选：C.5.已知平面向量满足，且，则（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】由，得，则，由，得，因此，所以.故选：A6.把函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，则，由，解得，因此函数的图象的对称轴方程为，取，得，C正确，不存在整数使得ABD成立.故选：C7.甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”，于是，因此，所以.故选：D8.已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若设，，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则，则函数关于点中心对称，令，则，则或，当时，令，则，即，不合题意，舍去.故，则令，即，即函数关于轴对称，，令，则，又∵，∴，则，即函数是周期为的周期函数，∴，∵函数关于点中心对称和轴对称，∴导数关于对称和点中心对称，同理可得，∴，∴切线方程为：，即.故选：D二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记数列的前项和为，则下列条件使一定为等比数列的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】对于A，由等比数列定义知，一定为等比数列，A是；对于B，当时，成立，不成等比数列，B不是；对于C，由，得，不成等比数列，C不是；对于D，由，得，是公比为1的等比数列，D是.故选：AD10.已知是抛物线的焦点，点在圆上，圆在点处的切线与只有一个公共点，动直线，则下列说法正确的是（）A.B.与和圆各恰有一个公共点的直线有6条C.若圆上仅有一个点到的距离为2，则满足条件的的值有4个D.若上一点到的距离为，则的最小值为【答案】ABC【解析】对于A，因为点在圆上，所以，解得，所以圆的方程为，所以圆心，所以直线的斜率，所以圆在点处的切线的斜率，所以切线方程为，即，代入抛物线的方程中，得，由，解得，(舍去），故项正确；对于B，如图所示，在轴右侧，当直线斜率不存在时，有一条直线与和圆各恰有一个公共点，当斜率存在时，有两条这样直线.根据对称，总共有6条直线与和圆各恰有一个公共点，故B正确；对于C，若圆上仅有一个点到的距离为2，则圆心到直线的距离为3或1，当圆心到直线的距离为3时，，解得或；当圆心到直线的距离为1时，，解得或；故项正确；对于D，因为，所以，当点与原点重合时等号成立，此时取得最小值，故D错误．故选：ABC.11.如图，正方体的棱长为1，点分别在棱上（与端点不重合），过点作平面，垂足为，则下列说法正确的是（）A.可能为直角三角形B.若为的外接圆的圆心，则三棱锥为正三棱锥C.若，则四面体的棱与面所成角的正弦值的集合是D.【答案】BCD【解析】对于A，设，其中，所以，由余弦定理得，所以为锐角，同理其它两角也是锐角，故A错误；对于B，因为为的外心，所以，再由平面，结合勾股定理易知，又三个侧面都是直角三角形，易证全等，所以，故三棱锥为正三棱锥，正确；对于C，若棱在面内，则棱与面所成的角为0，正弦值为0；若棱不在面内，考察侧棱与底面所成的角，以为例，（一样），设，则，则的面积为，由等体积，三棱锥的体积,所以，所以，即以为顶点，为底面的三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，以或或为顶点的三棱锥的侧棱与底面所成角,以点例，（或一样），因为平面,所以与平面所成角为，正弦值为1，由线面角的定义可知：为与平面所成角，易知，正弦值为，所以四面体的棱与面所成角的正弦值的集合是故C正确；对于D，若，又，即，所以，则，即，所以，即，D正确；故选：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲同学自进入高三以来，前四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为116，第四次的分数为132，且中位数为120，则甲同学这四次数学考试的平均分为_______．【答案】122【解析】设甲第二、第三次的分数分别为，由中位数为120，得，即，所以甲同学这四次数学考试的平均分为.故答案为：12213.过双曲线的右焦点作直线的垂线，垂足为与的右支交于点，若，则的离心率_____．【答案】【解析】设双曲线的半焦距为c，，，设，由，得是线段的中点，过作于，则∽，，因此，解得，由点在双曲线上，得，即，所以.故答案为：14.记，若，则实数_______．【答案】8【解析】当均不为0时，由，得，由，因此，即，所以.故答案为：8四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值．解：（1）在中，由及正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（2）在中，由余弦定理得，则，即，当且仅当时取等号，此时，所以的最大值为8，.16.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且是正三角形，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）在四棱锥中，连接，由四边形是边长为2的菱形，，得是正三角形，又为的中点，则，而是正三角形，则，于是，，又平面，所以平面（2）由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，，所以二面角的正弦值为.17.口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．（1）从口袋中任取3个小球，求取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率；（2）从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为，求的分布列及期望．解：（1）从口袋中任取3个小球有种方法，编号全为奇数的取法有种，全为偶数的取法有种，因此编号既有奇数又有偶数的取法种数为，所以取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率为.（2）依题意，的所有可能值为1，2，3，4，5，6，从口袋中任取5个小球有种取法，，，，，，，所以的分布列为123456期望.18.已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点．（1）求的方程；（2）证明：的面积为定值；（3）若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值．解：（1）由椭圆的离心率为，得，即，由点在上，得，联立解得，所以的方程为.（2）设，则，由消去并整理得，，，，所以△的面积为定值.（3）由点在直线的右侧，得，设直线与轴的交点为，当时，点中有一个点与椭圆的上顶点重合，此时即为的上顶点，，当时，由共线，得，即，整理得，而，当且仅当时取等号，，所以直线在轴上的截距的最小值为.19.若函数的图象上存在三点，且，使得直线与的图象在点处的切线平行，则称为在区间上的“中值点”．（1）若函数在区间上的中值点为，证明：成等差数列．（2）已知函数，存在，使得．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）当时，记在区间上所有可能的中值点之和为，证明：．解：（1）由题意知.因为，又，所以，即，所以成等差数列.（2）（i），设，则，当时，单调递增，当时，单调递减.故，且当时，，当时，.若，则恒有，所以在上单调递减，不符合题意；若，则在和上分别存在一个零点，记为，当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，故存在，满足.所以的取值范围是.（ii）因为，所以中值点满足，由（i）知当时，即有两个零点，所以在区间上所有可能的中值点即.先证明：由，得.要证，即证.设，则设，当时，，所以在上单调递增，所以，所以当时，，所以在上单调递减.所以当时，，即.因为，所以，即，又，再结合在上单调递减，可得，从而.令，得，所以.河南省商丘市2025届高三下学期3月教学质量检测数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，，所以，所以.故选：D.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，，则，所以.故选：A3.已知等差数列的前8项和为48；，则的公差为（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】依题意，即，假设等差数列的首项为，公差为，则，解得,故选：B.4.下列函数中，是奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】A选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，A选项错误；B选项，函数定义域为，，函数不是奇函数，B选项错误；A选项，函数定义域为，，函数是奇函数，C选项正确；D选项，函数定义域为，不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误.故选：C.5.已知平面向量满足，且，则（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】由，得，则，由，得，因此，所以.故选：A6.把函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的图象的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意，，则，由，解得，因此函数的图象的对称轴方程为，取，得，C正确，不存在整数使得ABD成立.故选：C7.甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”，于是，因此，所以.故选：D8.已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若设，，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，则，则函数关于点中心对称，令，则，则或，当时，令，则，即，不合题意，舍去.故，则令，即，即函数关于轴对称，，令，则，又∵，∴，则，即函数是周期为的周期函数，∴，∵函数关于点中心对称和轴对称，∴导数关于对称和点中心对称，同理可得，∴，∴切线方程为：，即.故选：D二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.记数列的前项和为，则下列条件使一定为等比数列的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】对于A，由等比数列定义知，一定为等比数列，A是；对于B，当时，成立，不成等比数列，B不是；对于C，由，得，不成等比数列，C不是；对于D，由，得，是公比为1的等比数列，D是.故选：AD10.已知是抛物线的焦点，点在圆上，圆在点处的切线与只有一个公共点，动直线，则下列说法正确的是（）A.B.与和圆各恰有一个公共点的直线有6条C.若圆上仅有一个点到的距离为2，则满足条件的的值有4个D.若上一点到的距离为，则的最小值为【答案】ABC【解析】对于A，因为点在圆上，所以，解得，所以圆的方程为，所以圆心，所以直线的斜率，所以圆在点处的切线的斜率，所以切线方程为，即，代入抛物线的方程中，得，由，解得，(舍去），故项正确；对于B，如图所示，在轴右侧，当直线斜率不存在时，有一条直线与和圆各恰有一个公共点，当斜率存在时，有两条这样直线.根据对称，总共有6条直线与和圆各恰有一个公共点，故B正确；对于C，若圆上仅有一个点到的距离为2，则圆心到直线的距离为3或1，当圆心到直线的距离为3时，，解得或；当圆心到直线的距离为1时，，解得或；故项正确；对于D，因为，所以，当点与原点重合时等号成立，此时取得最小值，故D错误．故选：ABC.11.如图，正方体的棱长为1，点分别在棱上（与端点不重合），过点作平面，垂足为，则下列说法正确的是（）A.可能为直角三角形B.若为的外接圆的圆心，则三棱锥为正三棱锥C.若，则四面体的棱与面所成角的正弦值的集合是D.【答案】BCD【解析】对于A，设，其中，所以，由余弦定理得，所以为锐角，同理其它两角也是锐角，故A错误；对于B，因为为的外心，所以，再由平面，结合勾股定理易知，又三个侧面都是直角三角形，易证全等，所以，故三棱锥为正三棱锥，正确；对于C，若棱在面内，则棱与面所成的角为0，正弦值为0；若棱不在面内，考察侧棱与底面所成的角，以为例，（一样），设，则，则的面积为，由等体积，三棱锥的体积,所以，所以，即以为顶点，为底面的三棱锥的侧棱与底面所成角的正弦值为，以或或为顶点的三棱锥的侧棱与底面所成角,以点例，（或一样），因为平面,所以与平面所成角为，正弦值为1，由线面角的定义可知：为与平面所成角，易知，正弦值为，所以四面体的棱与面所成角的正弦值的集合是故C正确；对于D，若，又，即，所以，则，即，所以，即，D正确；故选：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲同学自进入高三以来，前四次数学考试的分数逐次递增，第一次的分数为116，第四次的分数为132，且中位数为120，则甲同学这四次数学考试的平均分为_______．【答案】122【解析】设甲第二、第三次的分数分别为，由中位数为120，得，即，所以甲同学这四次数学考试的平均分为.故答案为：12213.过双曲线的右焦点作直线的垂线，垂足为与的右支交于点，若，则的离心率_____．【答案】【解析】设双曲线的半焦距为c，，，设，由，得是线段的中点，过作于，则∽，，因此，解得，由点在双曲线上，得，即，所以.故答案为：14.记，若，则实数_______．【答案】8【解析】当均不为0时，由，得，由，因此，即，所以.故答案为：8四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值．解：（1）在中，由及正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（2）在中，由余弦定理得，则，即，当且仅当时取等号，此时，所以的最大值为8，.16.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且是正三角形，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）在四棱锥中，连接，由四边形是边长为2的菱形，，得是正三角形，又为的中点，则，而是正三角形，则，于是，，又平面，所以平面（2）由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，，所以二面角的正弦值为.17.口袋中有编号分别为1，2，3，…，10的10个小球，所有小球除了编号外无其他差别．（1）从口袋中任取3个小球，求取到的小球编号既有奇数又有偶数的概率；（2）从口袋中任取5个小球，设其中编号的最小值为，求的分布列及期望．解：（1）从口袋中任取3个小球有种方法，编号全为奇数的取法有种，全为偶数的取法有种，因此编号既有奇数又有偶数的