2025届黑龙江省大庆市高三第二次教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1黑龙江省大庆市2025届高三第二次教学质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数为纯虚数，则a的值为（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由题，，又为纯虚数，.故选：A．2.已知幂函数的图象经过点，则的值为（）A. B. C.3 D.9【答案】B【解析】设，则即，故选：B．3.已知等比数列中，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由等比数列性质，得，所以.故选：D4.已知是两个平面，m，n是两条直线，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】对于A选项，若，则m，n可能平行或异面，所以A错误；对于B选项，若，则m垂直于内的任意直线，，所以B正确；对于C选项，若，则m，n可能平行或相交或异面，所以C错误；对于D选项，若，则或，所以D错误.故选：B5.设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设，则由已知得化简得，故选：C．6.若锐角满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】且平方得，又，故选：A．7.已知定义域为的函数为奇函数，对任意的,,，都有，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设,由为奇函数可知为偶函数因为任意的,,，都有所以时,单调递减,由对称性可知在上单调递增．因为，所以若,则化为,即,由单调性可知．若，则化为，即，由单调性可得．综上,．故选:C8.已知数列为等差数列，且公差，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径，设数列公差为d，则直线可化为，即．令，解得，可知直线过定点，当时，弦长最小，此时最小．又因为，则，可知，则．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设是两个非零向量，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.在方向上的投影向量的模为【答案】ACD【解析】对于选项A，由可知，当时，，所以．所以选项A正确，对于选项B，由可知，与共线，不一定是．所以选项B错误，对于选项C，由，得，即，所以，所以选项C正确，对于选项D，由投影向量定义可知，在方向上的投影向量为，所以其模长为，故选项D正确．故选：ACD．10.已知函数，其中，且．若函数在区间内无零点，则下列说法正确是（）A.的图象关于对称B.在上单调递增C.直线是的一条切线D.若在区间上的图象与直线有且只有三个交点，则实数m的取值范围为【答案】AC【解析】由且，都有同号可知，,又，由得，由知关于对称，故A正确．当时，，此时先增后减，故B错误．．令得或，其中，时在处得切线为，故C正确．由得．由正弦函数图象知道，得．故D错误．故选：AC．11.广东汕头海湾大桥被誉为“中国第一座大跨度现代悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，其方程为（为参数，）．当时，该方程是双曲余弦函数，类似的函数还有双曲正弦函数，则下列说法正确的是（）A.，B.当时，函数有最小值C.，D.，【答案】BCD【解析】对于A选项，，，A错；对于B选项，，当时，，则，则，所以，，所以，当时，函数有最小值，B对；对于C选项．设，则，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，函数上单调递增，则，即，又，当时，，所以，在上单调递增，所以，．故C正确；对于D选项．当时，则，则在上单调递增．当时，，则函数在上单调递减．设，可在上单调递增，因为，，则，所以，存在，使得，即存在，使得，故D正确故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，则的所有元素之和为________．【答案】【解析】,即,的所有元素之和为．故答案为：.13.设双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于M，N两点，且．若四边形的周长为，则C的离心率为________．【答案】【解析】由双曲线的对称性，可知四边形为平行四边形，又，则四边形为矩形，设，则，两个方程平方后相加得，在直角三角形中，所以，化简得，由得．故答案为：14.在正四棱台中，，则该正四棱台的高为________；若点P在四边形ABCD内运动，且，则点P的轨迹长度为________．【答案】①.②.【解析】取正方形的中心为，正方形ABCD的中心为O，连接，则平面ABCD．过点作于点H，则，所以平面ABCD，且四边形为矩形，，．在中，，即该正四棱台的高为．连接PH，在中，，点P的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD内的部分，即．过点H作于点E，过H作于点F，则．在中，．同理，，的长度为，故点P的轨迹长度为.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，．（1）求B；（2）求函数在上的最大值．解：（1）在中，由正弦定理得或．又为钝角.（2）由（1）可知．∴当，即时．16.已知函数在处取得极值．（1）求a的值；（2）若存在使得，求实数m的取值范围．解：（1），由已知，又当时，令得，且当时在区间上单调递增，时，在区间上单调递减．在处取得极大值.综上，.（2）问题等价于存在使得．设，则当时，在上单调递减，，故m的范围是．17.设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）证明：当时，．（1）解：由题意得，①，当时，②由①②得：，即．又时，满足.（2）证明：由得，.①当n为偶数时，此时，，故②当n为奇数时，综上，当时，．18.在四棱锥中，底面ABCD为正方形，O是AD中点，平面ABCD，，平面平面．（1）求证：；（2）如图，且，求点M到平面PBC的距离；（3）设四棱锥的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为?若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．（1）证明：四边形ABCD为正方形又平面PCD，平面PCD平面PCD又平面PAB，平面平面（2）解：取BC中点N，连接ON，则平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则．设平面PBC的一个法向量为则，得，取点M到平面PBC的距离为（3）解：存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为，，且平面ABCD为正方形，点Q在平面上的射影是ABCD的中心，可设则，解得．即设，，设平面AEC一个法向量为，则得，取设直线PQ与平面AEC所成的角为化简得，即或（舍）．∴存在点E为PB上靠近点P的三等分点，使得直线PQ与平面AEC所成角的正弦值为．19.已知曲线，点在曲线W上．（1）求曲线W在点Q处的切线方程；（2）如图1，过曲线W外一点A（不在y轴上）作W的两条切线AB，AC，切点为B，C，过曲线W上一点M的切线交AB，AC于点，且，把这样的叫做“外切三角形”．①连接AM交BC于点E，求证：A，M，E三点的纵坐标成等差数列；②如图2，从点A出发做出的第一个外切三角形是再过点分别做出2个“外切三角形”，即和；继续过点分别做出4个“外切三角形”以此类推，依次做出1，2，4，8，…，个外切三角形．设的面积为S，求这些“外切三角形”的面积之和T，并证明．解：（1）由题可得，则，，，故点Q处的切线方程为即．（2）①则由（1）可知直线AB为直线AC为，由A在AB上，同时A在AC，可知直线BC的方程为，即，，又由（1）可知直线斜率为，又，，即，则直线AM为，E点横坐标为，又在BC上，，，即A、M、E三点的纵坐标成等差数列．②由①可知A、M、E三点的纵坐标成等差数列，则，又，则，可得，且相似比为，故，同理可得如图连接BM，CM，因，又，则与在底边BC与底边对应的高相同，又，则，则，则，即第二次所做的“外切三角形”的面积之和是第一次所做“外切三角形”的面积的，同理可知每一次所做“外切三角形”面积之和都是上一次“外切三角形”面积之和的，可得黑龙江省大庆市2025届高三第二次教学质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数为纯虚数，则a的值为（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】由题，，又为纯虚数，.故选：A．2.已知幂函数的图象经过点，则的值为（）A. B. C.3 D.9【答案】B【解析】设，则即，故选：B．3.已知等比数列中，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由等比数列性质，得，所以.故选：D4.已知是两个平面，m，n是两条直线，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】对于A选项，若，则m，n可能平行或异面，所以A错误；对于B选项，若，则m垂直于内的任意直线，，所以B正确；对于C选项，若，则m，n可能平行或相交或异面，所以C错误；对于D选项，若，则或，所以D错误.故选：B5.设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设，则由已知得化简得，故选：C．6.若锐角满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】且平方得，又，故选：A．7.已知定义域为的函数为奇函数，对任意的,,，都有，且，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设,由为奇函数可知为偶函数因为任意的,,，都有所以时,单调递减,由对称性可知在上单调递增．因为，所以若,则化为,即,由单调性可知．若，则化为，即，由单调性可得．综上,．故选:C8.已知数列为等差数列，且公差，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径，设数列公差为d，则直线可化为，即．令，解得，可知直线过定点，当时，弦长最小，此时最小．又因为，则，可知，则．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设是两个非零向量，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.在方向上的投影向量的模为【答案】ACD【解析】对于选项A，由可知，当时，，所以．所以选项A正确，对于选项B，由可知，与共线，不一定是．所以选项B错误，对于选项C，由，得，即，所以，所以选项C正确，对于选项D，由投影向量定义可知，在方向上的投影向量为，所以其模长为，故选项D正确．故选：ACD．10.已知函数，其中，且．若函数在区间内无零点，则下列说法正确是（）A.的图象关于对称B.在上单调递增C.直线是的一条切线D.若在区间上的图象与直线有且只有三个交点，则实数m的取值范围为【答案】AC【解析】由且，都有同号可知，,又，由得，由知关于对称，故A正确．当时，，此时先增后减，故B错误．．令得或，其中，时在处得切线为，故C正确．由得．由正弦函数图象知道，得．故D错误．故选：AC．11.广东汕头海湾大桥被誉为“中国第一座大跨度现代悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，其方程为（为参数，）．当时，该方程是双曲余弦函数，类似的函数还有双曲正弦函数，则下列说法正确的是（）A.，B.当时，函数有最小值C.，D.，【答案】BCD【解析】对于A选项，，，A错；对于B选项，，当时，，则，则，所以，，所以，当时，函数有最小值，B对；对于C选项．设，则，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，函数上单调递增，则，即，又，当时，，所以，在上单调递增，所以，．故C正确；对于D选项．当时，则，则在上单调递增．当时，，则函数在上单调递减．设，可在上单调递增，因为，，则，所以，存在，使得，即存在，使得，故D正确故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，则的所有元素之和为________．【答案】【解析】,即,的所有元素之和为．故答案为：.13.设双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于M，N两点，且．若四边形的周长为，则C的离心率为________．【答案】【解析】由双曲线的对称性，可知四边形为平行四边形，又，则四边形为矩形，设，则，两个方程平方后相加得，在直角三角形中，所以，化简得，由得．故答案为：14.在正四棱台中，，则该正四棱台的高为________；若点P在四边形ABCD内运动，且，则点P的轨迹长度为________．【答案】①.②.【解析】取正方形的中心为，正方形ABCD的中心为O，连接，则平面ABCD．过点作于点H，则，所以平面ABCD，且四边形为矩形，，．在中，，即该正四棱台的高为．连接PH，在中，，点P的轨迹为以H为圆心，为半径的圆在正方形ABCD内的部分，即．过点H作于点E，过H作于点F，则．在中，．同理，，的长度为，故点P的轨迹长度为.故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，．（1）求B；（2）求函数在上的最大值．解：（1）在中，由正弦定理得或．又为钝角.（2）由（1）可知．∴当，即时．16.已知函数在处取得极值．（1）求a的值；（2）若存在使得，求实数m的取值范围．解：（1），由已知，又当时，令得，且当时在区间上单调递增，时，在区间上单调递减．在处取得极大值.综上，.（2）问题等价于存在使得．设，则当时，在上单调递减，，故m的范围是．17.设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）证明：当时，．（1）解：由题意得，①，当时，②由①②得：，即．又时，满足.（2）证明：由得，.①当n为偶数时，此时，，故②当n为奇数时，综上，当时，．18.在四棱锥中，底面ABCD为正方形，O是AD中点，平面ABCD，，平面平面．（1）求证：；（2）如图，且，求点M到平面PBC的距离；（3）设四棱锥的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为?若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．（1）证明：四边形ABCD为正方形又平面PCD，平面PCD平面PCD又平面PAB，平面平面（2）解：取BC中点N，连接ON，则平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD∴以O为原点，OA，ON，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则．设平面PBC的一个法向量为则，得，取点M到平面PBC的距离