2025届江苏省泰州市高三下学期适应性调研测试（1.5模）数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1江苏省泰州市2025届高三下学期适应性调研测试（1.5模）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a，b为实数，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，可得且，则由“”可得“”，但是不能由“”得到“”，因为b可能为0，则“”是“”的必要不充分条件．故选：B.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得,所以，又表示奇数集合，故选：C.3.若复数z满足，则（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】因为则所以故选:B.4.若展开式中的常数项为60，则常数a的值为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】A【解析】展开式的通项公式为，令，求得，可得它的常数项为，.故选：A.5.已知直线与圆相交于A，B两点，若，则实数k的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圆的圆心坐标为，半径为，当弦长时，弦心距，若，则，即，解得，故选：C.6.我国数学名著《九章算术》第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.问积几何?”意思是：现有圆台形的建筑物，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为1丈，则它的体积单位：立方丈是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，下底半径丈，上底半径(丈)，高丈，所以它的体积立方丈故选：7.在平面内，画出一个四边形的任何一条边所在直线，如果整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个四边形叫做平面凸四边形.在平面凸四边形ABCD中，若，，则该四边形的面积为（）A. B.4 C. D.5【答案】A【解析】由题意，得，，，设与夹角为，则，可得，可得该四边形的面积为故选：A．8.函数的定义域为R，其图象是一条不间断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（）A.为奇函数 B.不一定存在零点C.4是的一个周期 D.【答案】D【解析】因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，所以则，即可得，即①，用代替x，则②，由①得，代入②可得：，化简得，所以4不是周期，C选项错误;由，用代，得，结合，可得，即，所以不是奇函数，A选项错误；由，令得，令得，所以中一定既有正值也有负值，又因为的图象是一条不间断的曲线，所以当x变化时，一定存在使得，B选项错误；由，，则，所以，由，令，，即，所以，D选项正确.故选：D．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回.则下列说法正确的是（）A.第二次摸出红球的概率为B.第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为C.第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为D.第三次摸出黄球的概率为【答案】ABD【解析】对于A、第二次摸出红球分两种情况：第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为，可得第二次摸出红球的概率为：，所以选项A正确；对于B、设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件，由选项A的分析可知，，根据条件概率公式，所以选项B正确；对于C、由选项A可知，第一次摸出黄球且第一次摸出红球的概率为，所以选项C错误；对于D、因为袋子里共有个球，其中黄球有7个，所以每次摸出黄球的概率都是，即第三次摸出黄球的概率为，所以选项D正确.故选：ABD.10.已知函数甲：函数的最小值是；乙：函数的周期是；丙：函数的图象关于对称;丁：，若甲、乙、丙、丁中有且只有一个是错误的，则下列结论正确的是（）A.的值唯一确定B.函数在区间上单调递增C.函数在区间上的最小值是D.函数的图象向右平移个单位长度得到的图象关于对称【答案】ACD【解析】假设甲错误，由乙：函数的周期，可得，由丙：函数的图象关于对称，则，即，即，即，，得，又因为，此时无解，所以假设不成立.假设乙错误，由甲：函数的最小值是，可得由丙：函数的图象关于对称，则，即，即，①由丁：，即，即，②②-①得：，即，即，，，因为，所以把代入①得：，，，又因为，所以，则，所以的值唯一确定，故A正确；当时，，所以函数在区间上单调递减，故B错误；由B可得函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最小值是，故C正确；函数图象向右平移个单位长度，得到y的图象，其关于对称，故D正确.故选：ACD.11.已知正项数列满足，，，则下列说法正确的是（）A.是递增数列 B.C.存在，使得 D.【答案】BC【解析】由，展开可得，移项得到，两边同时除以因为是正项数列，，则，即，所以是等差数列.已知，设，则，设的公差为d，因为，所以，易知，所以，即，所以，即，解得，所以，所以，所以是递减数列，故A错误；，故B正确；，所以，令，得，解得，故C正确；设，则，所以在上单调递增，所以，所以当时，，即，所以，所以，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数为__________.【答案】480【解析】根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，有

种排法，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，有

种情况，则有个符合题意的六位数.故答案为：.13.如图，点为椭圆：的左焦点，直线分别与椭圆交于、两点，且满足，为坐标原点，，则椭圆的离心率______．【答案】【解析】如图，设椭圆的另一个焦点为，连接，根据椭圆的对称性可得，为平行四边形，由FA⊥AB，在中,∠ABF＝∠AFO，，得，在中有，,得，，，由椭圆的定义有：，在中：，即化简整理得:,两边同时除以化为：，解得：.所以椭圆的离心率为：故答案为：.14.，，则实数a的取值范围为__________.【答案】【解析】，，变形为，即，显然若，当时，，不等式不成立，故，从而，此时，若，则，故不等式恒成立，故只需考虑的情况.令，则，因，所以，则在上递增，又时，，，而即，从而时，恒成立，也即时，恒成立，令，则，当时，，在上递增，当时，，上递减，则有最大值为，所以，即.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）在中，已知，若最长边的长为，求最短边的长.（2）在中，，点D在BC的延长线上，，，，求AD的长.解：（1）因为，所以，又，所以，所以，，所以，，故c为最长边，即因为，且A，B为锐角，所以A为最小角，故a为最短边，由得，且，所以由正弦定理得，即最短边的长为；（2）在中，由正弦定理得，因为，所以，在中，由余弦定理得，即AD的长为16.某校随机调查了100名同学的日运动时间分钟，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该100名同学的平均日运动时间;（2）为进一步调查运动方式，采用分层抽样从日运动时间在内同学中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到日运动时间在内的调查人数X的分布列和数学期望.解：（1）由题意得，所以所以该100名同学的平均日运动时间为：分钟，（2）日运动时间在内的同学人数分别为2，4，4，所以X可取0，1，2，

，，，，所以X的分布列为X0123P数学期望17.如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，点F在线段AP上，（1）求二面角的余弦值;（2）为线段EF上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为，求线段FQ的长.解：（1）由四边形PDCE为正方形得，因为平面平面ABCD，平面平面，平面PDCE，，所以平面ABCD，又DA，DC在平面ABCD内，所以，，由得，以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面PBC的一个法向量为，则即取，则，设平面ABP的一个法向量为，则即取，则，所以，因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为（2）设，则，因为BQ与平面BCP所成角的正弦值为，所以，解得或，因为，所以，故18.已知双曲线的左，右顶点分别为A，B，点在双曲线上.直线QA，QB的斜率分别为，，（1）求双曲线C的方程;（2）若点P为直线上的一点点P不在x轴上，直线PA与双曲线C交于另一点(i)记，的面积分别为，，若，求点P的坐标;(ⅱ)若直线PB与双曲线C交于另一点N，点G是直线MN上一点，，其中O为坐标原点，求线段OG的最大值.解：（1）由题意得，所以，，所以双曲线C的方程为（2）设，则直线PA的方程为，由，得，当时，有，此时直线PA与双曲线的渐近线平行，故直线PA与双曲线只有一个交点，舍去.当时，有，所以，所以，(i)因为，，由，得，所以，即点P的坐标为；(ⅱ)直线PB的方程为，由，得，因为，所以，即，所以，当时，有，所以MN的方程为；当时，直线MN的斜率，所以直线MN的方程为，即，所以直线MN恒过定点，又，所以点G在以HO为直径的圆上，所以当MN垂直于x轴时，点G与点H重合，所以，所以线段OG的最大值为.19.已知函数（1）当时，求函数的极值;（2）对于任意的正整数(ⅰ)不等式恒成立，求整数M的最小值;(ⅱ)证明：为自然对数的底数解：（1）当时，，则，由得，x2-0+↘极小值↗因此，当时，有极小值，无极大值.（2）(ⅰ)当时，，，则，由得，当时，，所以上单调递增;当时，，所以在上单调递减;所以即，当且仅当时取等号.所以，所以，所以，当时，，所以所以整数M的最小值为(ⅱ)设，，则，所以在上单调递增，所以，即，，由(ⅰ)知，，所以，，令，得，所以，所以.江苏省泰州市2025届高三下学期适应性调研测试（1.5模）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知a，b为实数，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，可得且，则由“”可得“”，但是不能由“”得到“”，因为b可能为0，则“”是“”的必要不充分条件．故选：B.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得,所以，又表示奇数集合，故选：C.3.若复数z满足，则（）A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】因为则所以故选:B.4.若展开式中的常数项为60，则常数a的值为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】A【解析】展开式的通项公式为，令，求得，可得它的常数项为，.故选：A.5.已知直线与圆相交于A，B两点，若，则实数k的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】圆的圆心坐标为，半径为，当弦长时，弦心距，若，则，即，解得，故选：C.6.我国数学名著《九章算术》第五卷《商功》中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.问积几何?”意思是：现有圆台形的建筑物，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为1丈，则它的体积单位：立方丈是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，下底半径丈，上底半径(丈)，高丈，所以它的体积立方丈故选：7.在平面内，画出一个四边形的任何一条边所在直线，如果整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个四边形叫做平面凸四边形.在平面凸四边形ABCD中，若，，则该四边形的面积为（）A. B.4 C. D.5【答案】A【解析】由题意，得，，，设与夹角为，则，可得，可得该四边形的面积为故选：A．8.函数的定义域为R，其图象是一条不间断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（）A.为奇函数 B.不一定存在零点C.4是的一个周期 D.【答案】D【解析】因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，所以则，即可得，即①，用代替x，则②，由①得，代入②可得：，化简得，所以4不是周期，C选项错误;由，用代，得，结合，可得，即，所以不是奇函数，A选项错误；由，令得，令得，所以中一定既有正值也有负值，又因为的图象是一条不间断的曲线，所以当x变化时，一定存在使得，B选项错误；由，，则，所以，由，令，，即，所以，D选项正确.故选：D．二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.一个袋子里装有3个红球，7个黄球，每次随机的摸出一个球，摸出的球不再放回.则下列说法正确的是（）A.第二次摸出红球的概率为B.第一次摸出黄球的条件下，第二次摸出红球的概率为C.第一次摸出黄球且第二次摸出红球的概率为D.第三次摸出黄球的概率为【答案】ABD【解析】对于A、第二次摸出红球分两种情况：第一次摸出黄球，第二次摸出红球，其概率为第一次摸出红球，第二次摸出红球，其概率为，可得第二次摸出红球的概率为：，所以选项A正确；对于B、设“第一次摸出黄球”为事件A，“第二次摸出红球”为事件，由选项A的分析可知，，根据条件概率公式，所以选项B正确；对于C、由选项A可知，第一次摸出黄球且第一次摸出红球的概率为，所以选项C错误；对于D、因为袋子里共有个球，其中黄球有7个，所以每次摸出黄球的概率都是，即第三次摸出黄球的概率为，所以选项D正确.故选：ABD.10.已知函数甲：函数的最小值是；乙：函数的周期是；丙：函数的图象关于对称;丁：，若甲、乙、丙、丁中有且只有一个是错误的，则下列结论正确的是（）A.的值唯一确定B.函数在区间上单调递增C.函数在区间上的最小值是D.函数的图象向右平移个单位长度得到的图象关于对称【答案】ACD【解析】假设甲错误，由乙：函数的周期，可得，由丙：函数的图象关于对称，则，即，即，即，，得，又因为，此时无解，所以假设不成立.假设乙错误，由甲：函数的最小值是，可得由丙：函数的图象关于对称，则，即，即，①由丁：，即，即，②②-①得：，即，即，，，因为，所以把代入①得：，，，又因为，所以，则，所以的值唯一确定，故A正确；当时，，所以函数在区间上单调递减，故B错误；由B可得函数在区间上单调递减，所以函数在区间上的最小值是，故C正确；函数图象向右平移个单位长度，得到y的图象，其关于对称，故D正确.故选：ACD.11.已知正项数列满足，，，则下列说法正确的是（）A.是递增数列 B.C.存在，使得 D.【答案】BC【解析】由，展开可得，移项得到，两边同时除以因为是正项数列，，则，即，所以是等差数列.已知，设，则，设的公差为d，因为，所以，易知，所以，即，所以，即，解得，所以，所以，所以是递减数列，故A错误；，故B正确；，所以，令，得，解得，故C正确；设，则，所以在上单调递增，所以，所以当时，，即，所以，所以，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数为__________.【答案】480【解析】根据题意，分2步进行分析：①，将2、4、5、6四个数全排列，有

种排法，②，四个数排好后，有5个空位，在5个空位中任选2个，安排1和3，有

种情况，则有个符合题意的六位数.故答案为：.13.如图，点为椭圆：的左焦点，直线分别与椭圆交于、两点，且满足，为坐标原点，，则椭圆的离心率______．【答案】【解析】如图，设椭圆的另一个焦点为，连接，根据椭圆的对称性可得，为平行四边形，由FA⊥AB，在中,∠ABF＝∠AFO，，得，在中有，,得，，，由椭圆的定义有：，在中：，即化简整理得:,两边同时除以化为：，解得：.所以椭圆的离心率为：故答案为：.14.，，则实数a的取值范围为__________.【答案】【解析】，，变形为，即，显然若，当时，，不等式不成立，故，从而，此时，若，则，故不等式恒成立，故只需考虑的情况.令，则，因，所以，则在上递增，又时，，，而即，从而时，恒成立，也即时，恒成立，令，则，当时，，在上递增，当时，，上递减，则有最大值为，所以，即.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（1）在中，已知，若最长边的长为，求最短边的长.（2）在中，，点D在BC的延长线上，，，，求AD的长.解：（1）因为，所以，又，所以，所以，，所以，，故c为最长边，即因为，且A，B为锐角，所以A为最小角，故a为最短边，由得，且，所以由正弦定理得，即最短边的长为；（2）在中，由正弦定理得，因为，所以，在中，由余弦定理得，即AD的长为16.某校随机调查了100名同学的日运动时间分钟，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该100名同学的平均日运动时间;（2）为进一步调查运动方式，采用分层抽样从日运动时间在内同学中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到日运动时间在内的调查人数X的分布列和数学期望.解：（1）由题意得，所以所以该100名同学的平均日运动时间为：分钟，（2）日运动时间在内的同学人数分别为2，4，4，所以X可取0，1，2，

，，，，所以X的分布列为X0123P数学期望17.如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面，，，点F在线段AP上，（1）求二面角的余弦值;（2）为线段EF上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为，求线段FQ的长.解：（1）由四边形PDCE为正方形得，因为平面平面ABCD，平面