2024年部分地区中考试题分类解析汇编(第34章概率初步)

（最新最全）2024年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）三十四章概率初步

34.1随机事务与概率

（2024山东省聊城，3,3分）“抛一枚匀称硬币，落地后正面朝上”这一事务是（）

A.必定事务B.随机事务C.确定事务D.不行能事务

解析：抛一枚匀称硬币，落地后有可能正面朝上、也有可能反面朝上.

答案：B

点评：必定事务与不行能事务属于确定事务，事先可以确定是否发生；而随机事务事先无法

预料能否发生.

（2024四川省资阳市，2,3分）下列事务为必定事务的是

A.小王参与本次数学考试，成果是150分

B.某射击运动员射靶一次，正中靶心

C.打开电视机，CC7V第一套节目正在播放新闻

D.口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球

【解析】必定事务是指确定会发生的事务，A是随机事务，B是随机事务，C是随机事务，

D是必定事务.

【答案】D

【点评】本题考查了必定事务和随机事务的概念.要留意必定事务和随机事务属于可能事务，

还有一类是不行能事务.难度较小.

（2024江苏泰州市，5,3分）有两个事务，事务A：367人中至少有两人生日相同；事务B：

抛掷一枚匀称的骰子，朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是

A.事务A、B都是随机事务

B.事务A、B都是必定事务

C.事务A是随机事务，事务B是必定事务

D.事务A是必定事务，事务B是随机事务

【解析】必定事务是确定会发生的事务，A是必定事务，事务B是随机事务

【答案】D

【点评】本题考杳了必定事务和随机事务的概念.要留意必定事务和随机事务属于可能事务,

还有一类是不行能事务.

（2024年四川省德阳市，第8题、3分.）下列事务中，属于确定事务的个数是

⑴打开电视，正在播广告；

⑵投掷一枚一般的骰子，掷得的点数小于10；

⑶射击运动员射击一次，命中10环；

⑷在一个只装有红球的袋中摸出白球.

A.OB.1C.2D.3

【解析】＜1）和（3）都是不确定事务；（2）是确定会发生的，（4）是确定不会发生的；所

以（2）和（4）是确定事务。

【答案】C.

【点评】必定事务和不行能事务统称为确定事务。确定事务就是100%会发生的事务。而随

机事务是指有确定几率发生，但不确定发生的事务

（2024湖南淅潭，6,3分）“湘潭是我家，爱惜靠大家”.自我市开展整治“六乱”行动以

来，我市学生更加自觉遵守交通规则.某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字

路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为,，遇到黄灯

3

的概率为:，那么他遇到绿灯的概率为

【解析】遇到绿灯的概率为1一,一'=3。

399

【答案】选D。

【点评】此题考查概率的概念。全部状况的概率只和为1,用1减去其它状况的概率就是遇

到绿灯的概率。

（2024湖南益阳,12,4分）有长度分别为20〃，3cm,4cm,7a〃的四条线段，任取其中

三条能组成三角形的概率是.

【解析】以3cm,4cmt7cm四条线段能组成三角形的状况只有一种:2cm,3cm,4cm

而2c〃?，3cm,4cm,四条线段共有4种可能结果，依据概率定义得P（A）=■!"

4

【答案】-

4

【点评】主要考查以2cm,3cm,4az,7cm四条线段能组成三角形的状况有几种，这是关

键；其次是概率的定义：P（A）=-,共有几种可能的垢果，此题和中学的组合学问有点关

m

联，具有承上启下之功效，

（2024贵州铜仁，16,4分一个不透亮的口袋中，装有红球6个，臼球9个，黑球3个，这

些球除颜色不同外没有任何区分，从中随意摸出一个球，则摸到黑球的概率为

【解析】口袋中共有6+9+3=18个球，而黑球有3个，所以依据概率的计算公式，可得

31

P（摸到黑球）=—

6+9+36

【解答】7-

6

【点评】此题考查了概率公式。假如一个事务有n种可能，而且这些事务的可能性相同，其

中事务A出现m种结果，那么事务A的概率P（A）=-

n

34.2用列举法求概率

（2024安徽，8,4分）给甲乙丙三人打电话，若打电话的依次是随意的，则第一个打电话

给甲的概率为（）

解析：第I个打电话给甲、乙、丙（因为次序是随意的）的可能性是相同的，所以第一个打

电话给甲的概率是L.

3

解答：故选B.

点评：概率的计算一般是利用树状图或列表把全部等可能性的状况列出，然后再计算某一事

务的概率.其关键是找出仝部的等可能性的结果，本题不要受“打电话次序是随意的”影响，

而排列打电话的依次，把问题困难化.

（2024浙江丽水3分，6题）分别写有数字0,-1,-2,1,3的五张卡片，除数字不同外其

他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（）

3

【解析】：五张卡片中，有2张卡片是负数，故P（抽到负数）=1.

5

【答案】:C

【点评】：等可能性事务的概率的计算公式：P（A）=2,其中m是总的结果数，n是该

m

事务成立包含的结果数.

（2024山东省临沂市，6,3分）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角

形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是（）

【解析】♦・♦四张完全相同的卡片中只有圆和菱形是中心对称图形，二共4种等可能的结果，

所以产生卡片上的图形是中心对称图形的概率是2+4=」.

2

【答案】B

【点评】此题考查了概率公式的应用.留意用到的学问点为：概率=所求状况数与总状况数

之比.

（2024山东泰安，15,3分）一个不透亮的布袋中有分别标着数字I、2、3、4的四个乒乓

球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（）

1234

【解析】可用列表或画树状图的方法求概率，共有9种状况，之和大于51\345

312354

有3种状况，所以，P（和大于5）二-二一。\

93345\7

【答案】B.4567\

【点评】列表和画树状图是求概率常用的方法需驾驭，留意本题是摸出球

不放回问题。

5.（2024山东泰安，5,3分）从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形是中心对称图形

的概率为（）

岫画也回

311

A.0B.—C.—D.一

424

【解析】依据在同一平面内，假如把一个图形绕某一点旋转180°,旋转后的图形能和原图

形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，四张卡片中只有第四张为中心对称图形，

所以任取一张是中心对称图形的概率是

4

【答案】D

【点评】轴对称图形、中心对称图形是历年来各地必考的考点，判定图形是否是中心对称图

形，实质就是看图形能否绕某一点旋转180度后与本身重合，若重合，则是；否则不是中心

对称图形.

4.（2024连云港，3,3分）向如图所示的正三角形区域扔沙包（区域中每一个小正三角形

除颜色外完全相同），假设沙包击中每一个小正三角形是等可能的，扔沙包一次，击中阴影

区域的概率等于

【解析】只要找出图中阴影部分的面积占整个图形面积的比即可;

【答案】击中阴影区域的概率为一二二，答案为C。

168

【点评】本题用到的学问点为：概率=所求状况数与总状况数之比.

9.（2024浙江省义乌市，9,3分）义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译,其中一

名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译.若从中随机选择两名

组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是（）

【解析】全部可能性为：（阿拉伯，英语1）（阿拉伯，英语2）（阿拉伯，英语3）（阿

拉伯，阿拉伯英语）（英语1,英语2）（英语1,英语3）（英语1,阿拉伯语英语）；（英

语2,英语3）（英语2,阿拉伯语英语）（英语3,阿拉伯语英语），该组能够翻译上述两

7

种语言的概率是正

【答案】B

【点评】此题考查概率的计算，可用列表法或树状图列出全部可能的结果，然后得出结论.

16.（2024山东省聊城，16,3分）我市初中毕业男生体育测试成果有四项，其中“立定跳

远”“100米跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项为“引体向上”和“推铅球”中选择

一项测试.小亮、小明和大刚从“引体向上”和“推铅球”中选择同一个项目的概率是.

解析：首先分别用A,B代表“引体向上”与“推铅球”，然后依据题意画树状图，继而求

得全部等可能的结果与小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项

目的状况，利用概率公式即可求得答案.

解：分别用A,B代表“引体向上”与“推铅球”，画梃状图得：

•••共有8种等可能的结果，小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测

试项目的有2种状况，

・•・小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是：-

4

开始

AB

/\/\

ABAB

AAAA

ABABABAB

点评：此题考查了树状图法求概率的学问.留意树状图法可以不重复不遗漏的列出全部可能

的结果，适合两步或两步以上完成的事务；留意概率二所求状况数与总状况数之比.

13.（2024江苏盐城，13,3分）小勇第一次抛一枚质地匀称的硬币时正面对上，他其次次

再抛这枚硬币时，正面对上的概率是.

【解析】本题考会了概率的定义及计算方法.驾驭求概率的公式是关键.求解时只要分清事务

发生的可能结果，运用概率的定义即得.

【答案】其次次再抛这枚硬币时，正面对上的概率是L.

2

【点评】本题考查简洁事务概率计算.一般地，假如某个试验共有n种可能出现结果，某种

m

事务A包含的结果共有m种，那么事务A发生概率P（A）=-（OWP（A）W1）.这是新课

n

标新增内容.

13.（2024四川省南充市,13,4分）如图，把一个圆形转盘按1:2:3:4的比例分成A、B、C、

D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为.

（第13题出）

解析：：因为圆被等分成10份，其中B区域占2份，所以落在B区域的概率:2已=0.2.

10

答案：0.2

点评：本题考查几何概率的求法：首先依据题意将各部分面积的比例，转化为待求区域

的面积在总面积中占的比例，即得到该事务发生的概率。

12.(2024福州，12,4分，)一个袋子中装有3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外都

相同，从袋子中随机摸出一个球，则摸到红球的概率为o

解析：一共5个球，随机摸出一个球，其中每个球出现的概率相等，均为有3个红球,

5

13

故摸到红球的概率为《'3二子

答案：-

5

点评：本题设计以摸球的模型，让学生感受不确定事务中事务的发生可能性及考查学生求概

率的基本方法，难度较小，

(2024江苏泰州市，21,本题满分8分)小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤

子，其中2条为蓝色、1条为棕色.小明随意拿出1件上衣和1条裤子穿上.请用画树状图

的方法列出全部可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率.

【解析】分2步试验列举出全部状况即可；看小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的状况数占

总状况数的多少即可.总状况6种，小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色占2种，所以小明

穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率是

3

【答案】

3

【点评】考查概率的求法；用到的学问点为：概率=所求状况数与总状况数之比：得到所求

的状况数是解决本题的易错点.

(2024连云港，21,10分)现有5根小木棒，长度分别为:2,3,4,5,7(单位：cm),从中随意

取出3根。

(1)列出所选的3根小木棒的全部可能状况；

(2)假如用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率。

【解析】不要遗漏或重复可能的状况，只有较小的两条线段的和,最大的线段的三条线段才

能组成三角形

【答案】(1)选的3根小木棒的全部可能状况有全部取出的可能是(2,3,4)(2,3,5)(2,3,7)

(,3,4,5)(3,4,7)(4,5,2)(4,5,7)(5,7,2)(5,7,3)(5,7,2)共10种状况。

(2)由三角形三边关系可知只有(3,4,5)(2,3,4)(4.5,2)(4,5,7)(5,7,3)这5

种能构成三角形

所以能构成三角形的概率是▲二!。

102

【点评】确定三角形的三条边时，可以先确定其中的两条，再确定第三条，依据三边从小到

大的依次来确定.留意要做到不重不漏，主要检验是否满意三边关系定理确定能否组成三角

形.

(2024四川成都，23,4分)有七张正面分别标有数字-3,-2,-1,0,1,2,3的卡片，

它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上

的数字为。，则使关于X的一元二次方程£-2(l)x+-3)=()有两个不相等的实数

根，且以X为自变量的二次函数丁=/一(/+]"一。+2的图象不绘建点(1,0)的概率是

解析：“方程有两个不相等的是实数根”等价于“△>()"，于是可得到关于a的不等式，解

不等式可求出a的取值范围结合上面的卡片上的数字，可求出a的可能的值为

“0,1,2,3”；然后用“且以工为自变量的二次函数y=/—(/+l)x—。+2的图象不经

过点(1,0)”进行解除，即可得到a的可能值为“023”，最终再计算其所占概率等于之。

•7

3

答案：填一

7

点评：本题考查了概率计算、一元二次方程的根的状况的相关学问、函数的相关学问，是一

道综合题，其思维实力要求较高。属于一道难度较大的题目。

(2024浙江省绍兴，13,5分)箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红

球，4个人依次从箱子中随意摸出一个球，不放回，则其次个人摸出红球且第三个人摸出白

球的概率是一▲.

【解析】由袋子中装有2个红球和2个白球，第一个人随机摸出一个球后，剩下3个球，其

次个人摸出红球且第三个人摸出白球的概是,.

3

【答案】《

3

【点评】此题考查概率的求法：假如一个事务有n种可能，而且这些事务的可能性相同，其

中事务A出现m种结果，那么事务A的概率P(A)考.

(2024四川内江，15,5分)如图7所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个

格点，在格点中随意放置点C,恰好能使aABC的面积为I的概率是.

【解析】依据三角形面积公式可知，欲使4ABC的面积为I,且顶点C也在网格格点

上，那么，此三角形的底边、高的值应当分别为2、1或&、V2,结合题目所给图形，可

以找到全部符合条件的点如图所示:

图形中有36个格点，其中有8个可以使AABC的面积为1,所以P（Z\ABC的面积为

1I、）=­8=—2

369

【答案】:

【点评】以网格为背景，将三角形与概率学问综合考查，意蕴丰富.简易概率求法公式:

P（A）=-,其中OWP（A）<1.此题简洁漏解，或者选取了不在网格格点上的点作为点

n

C造成错解.

（2024山东省荷泽市，12,3）口袋内装有大小、质量和材质都相同的红色1号、红色2号、

黄色1号、黄色2号、黄色3号的5个小球，从中摸出两球:这两球都是红色的概率是

【解析】由于是从口袋中摸两个球，用表格或树状图来表示事务全部发生的可能

红色1号红色2号黄色1号黄色2号黄色3号

红色1号红1,红2红1,黄1红1,黄2红1,黄3

红色2号红2,红1红2,黄1红2,黄2红2,黄3

黄色1号黄1,红1黄1,红2黄1,黄2黄1,黄3

黄色2号黄2,红1黄2,红2黄2,黄1黄2,黄3

黄色3号黄3,红1黄3,红2黄3,黄1黄3,黄2

共20种状况，其中两次都是红球有2种，所以概率为P（两个都是红球）

10

【答案】—

10

【点评】】本题考查了简洁随机事务的概率.一般地，假如在一次试验中，有〃种可能的结

果，并且它们发生的可能性相等，事务A包含其中的用种结果，那么事务A发生的概率

P（>4）=—,对于两次或两次以上的随机事务，采纳树状图或列表的方式来表示全部可能的状

N

况.

（2024湖南湘潭，23,8分）节约能源，从我做起.为响应长株潭“两型社会”建设要求，

小李确定将家里的4只白炽灯全部换成节能灯;商场有功率为10卬和5卬两种型号的节能灯

若干个可供选择.

（1）列出选购4只节能灯的全部可能方案，并求出买到的节能灯都为同一型号的概率；

（2）若要求选购的4只节能灯的总功率不超过3（）w,求买到两种型号的节能灯数量相等

的概率.

【解析】用树状图或列表找出全部可能方案，干脆看出买到的节能灯都为同一型号的概率为

9

买到两种型号的节能灯数量相等的是2只10W和2只5W的，总功率不超过30卬，其概

5

率为

【答案】

4只

（1）选购4只节能灯的全部可能方案：4只5Ml只10W和3只5W；2只5W和2只10W；3

2

只10W和1只5W；4只IGWo买到的节能灯都为同一型号的概率为一。

（2）买到两种型号的节能灯数量相等的是2只10W和2只5W的，总功率不超过30卬，其

概率为L

5

【点评】本题考查了等能事务概率求法，在解题要留意把全部可能结果都列出。假如一个事

务有〃种可能，而且这些事务的可能性相同，其中事务A出现，〃种结果，那么事务4的概

率P（A）券.

从大量的等可能事务的结果中求任一事务发生的概率是计算概率的基本题型之一，也是中

考考查的重要内容之一.在计算概率时，关键是确定全部可能的结果数和可能出现的结果数,

确定要把全部存在的状况找到，且每种状况结果出现的可能性相等，再用某个事务的可能出

现的结果数除以全部可能出现的结果数。

21.（2024广州市，21,12分）甲、乙两个袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片,

甲袋中的三张卡片上所标的数值分别为-7,—1,3,乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为一

2,1,6.先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取

出一张卡片，用y表示取出的卡片上标的数值，把x、y分别作为点A的横坐标、纵坐标。

（1）用适当的方法写出点A（x,y）的全部状况；

（2）求点A落在第三象限的概率。

【解析】用列举法（包括画表格或画树状图）求等可能事务的概率是中考必考的内容之一,

而本题将概率与点的坐标，考查的学问综合性强，作为试卷的中档题的确不错.

【答案】解：（1）用列表法:

-7-13

-2(-7,-1)(-1,-2)(3,—2)

1(-7,1)(-1,1)(3,1)

6(-7,6)(—1,6)(3,6)

可知，点A共有9种状况。

（2）由1知点A的坐标共有9种等可能的状况，点A落在第三象限（事务A）共有（一7,

2

一1）、（-1,-2）2种状况。所以P（A）=一。

9

【点评】本题易错点，一是在列举时，会将全部等可能的结果遗漏导致计算出错；二是在点

的坐标的处理上对横纵坐标表示有误；三是解题时不太规范而丢分.

（2024江苏盐城，21,8分）现有形态、大小和颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数

字“1”、“2”，“3”，第一次从这三张卡片中随机抽取一张，登记数字后放回，其次次再从这

三张卡片中随机抽取一张并登记数字，请用列表或画树状图的方法表示出上述试验全部可能

的结果，并求其次次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.

【解析】本题考查了概率的概念及意义.驾驭概率的计算方法是关键.由于是放回再抽，所

以第一次抽到某张卡片后，其次次都有三种状况，所以共有9种等可能的结果.然后看看其

次次抽取的数字大于第一次抽取的数字有多少种，就可以求出概率了.

【答案】树状图如图列表如下:

起先123

1

-1、

1(1,1)(1,2)(1,3)

1次23

2(2,1)(2,2)(2,3)

2次123123123

3(3,1)(3,2)(3,3)

由树状图或表格可知，共有9种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同，其次次抽取的

数字大于第一次抽取的数字有3种，所以P（其次次抽取的数字大于第一次抽取的数字有多

少种）=

93

【点评】为了找出全部等可能的结果，通常所用的方法是列表法、画树状图法或枚举法。本

题主要考行利用树状图列出全部等可能的结果，再求出概率，这里要留意分清两次是''有放

回”还是“无放回”.

（2024四川省南充市，16,6分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为

1、2、3、4,随机地摸取一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事务的概率:

（1）两次取得小球的标号相同；

（2）两次取得小球的标号的和等于4.

解析：（1）依据题意画出数形图，两次取的小球的标号相同的状况有4种，再计算概率；

（2）先画树状图展示全部16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占

3种，然后依据概率的概念计算即可.

答案：全部状况如下表所示：

结果1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

或如下图所示:

开始

（1）由上表知，共有16种结果，且每种结果发生的可能性相同.其中两次取出的标号

41

相同的有4次.所以两次取出的标号相同的概率是一二一.

164

（2）由上表知，共有16种结果，且每种结果发生的可能性相同.其中两次取的小球的

3

标号的和等于4的有3次所以次取的小球的标号的和等于4的概率是士.

16

点评；本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示全部等可能的结果数

n,再找出某事务所占有的结果数m,然后利用概率的概念求得这个事务的概率

n

18.（2024四川省资阳市，18,7分）（本小题满分7分）为了确定谁将获得仅有的一张科普

报告入场券，甲和乙设计了如下的一个嬉戏：口袋中有编号分别为I、2、3的红球三个和编

号为4的白球一个，四个球除了颜色或编号不同外，没有任何别的区分，摸球之前将小球搅

匀，摸球的人都蒙上眼睛.先甲摸两次，每次摸出一个球；把甲摸出的两个球放回口袋后,

乙再摸，乙只摸一个球.假如甲摸出的两个球都是红色，甲得I分，否则，甲得0分；假如

乙摸出的球是白色，乙得I分，否则，乙得。分；得分高的获得入场券，假如得分相同，

嬉戏重来.

（1）（4分）运用列表或画树状图求甲得1分的概率；

（2）（3分）这个嬉戏是否公允？请说明理由.

【解析】（1）列表或树状图如下：....................................................3

分

开始

得\第2

1234

第2次234134124123

I1分I分。分得分110110110000

21分1分。分

31分1分。分

40分0分0分

P（甲得1

八61

分）=77=7........................................................4分

122

（2）不公

允.....................................................................5分

•・・P（乙得1分户’.............................................................6

4

分

，P（甲得1分）（乙得I分），，不公允.......................................7分

【答案】（1）P（甲得1分户9...................................................................................4分

122

（2）不公

允.....................................................................5分

【点评】当一次试验涉及到两个因素时，用列表法较简便，当一次试验涉及到三个或更多的

因素时，用树形图较简便，本题两种方法均可选用.与摸球有关的概率问题要留意首次摸出

的球是否放回对所求概率的影响，而对于本题中每人摸两次可理解为先摸一次不放回再摸一

次.难度较小.

（2024四川成都，19,10分）某校将举办“心，怀感恩•孝敬父母”的活动,为此,校学生

会就全校1000名同学暑假期间平均每天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调

（1）本次调查抽取的人数为______，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时

间在40分钟以上（含40分钟）的人数为______；

（2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校

汇报.请用树状图或列表法表示出全部可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学

的概率.

解析：抽查的人数就是各组人数之和，时间在40分钟以上（含40分钟）的人数就是最终两组

的人数之和。本题中，因为事务由两个因素构成，所以，可以用树状图法也可以用列

表法，用列表法时，要留意不要出现重复的状况。

答案：（1）50：16：

（2）列表给出全部可能的结果：

其次人

甲乙丙T

甲甲、乙甲、丙甲、丁

乙乙、甲乙、丙乙、丁

丙丙、甲丙、乙丙、丁

T丁、甲丁、乙丁、丙

共12种；其中恰好抽到甲、乙两名同学的状况有2种,

所以恰好抽到甲、乙两名同学的概率是一。

6

点评：在本题中，给出了方法“请用树状图或列表法表示出全部可能的结果”，这样能够较

好地实现所列状况不重不漏。列表时，要留意条例性，要工整美观，这样有利于自己

后面统计各种状况出现的次数。

22.（2024湖北随州，22,9分）（本小题满分9分）如图所示，一个大正方形地面上，

编号为123,4的地块，是四个全等的等腰直角三角形空地，中间是小正方形绿色草坪，一

名训练有素的跳伞运动员，每次跳伞都落在大正方形底面上。

（1）求跳伞运动员一次跳伞落在草坪上的概率；

（2）求跳伞运动员两次跳伞都落在草坪上的概率。

第22题图

解析：（1）将大正方形分成8块等腰直角三角形，则一次跳伞落在草坪上的概率是

4I

（2）由于每次落在8个等腰直角三角形中的可能性是相等的，所以共有64中可能,

82

用树状图可分析出两次跳伞都落在草坪上的概率。

答案：（1）一次跳伞落在草坪上的概率P（一次跳伞落在草坪上）=?4=_1!_（将大正方形

82

分成8块等腰直角三角形）

（2）每次跳伞落在8个等腰直角三角形的可能性是相等的，

用树状图

共有8X8=64个不同结果

其中两次落在草坪上有：

共有4X4=16个不同结果.

4x41

所以两次跳伞都落在草坪上的概率为P（两次跳伞都落在草坪上）=-L—=-.

8x84

点评：此题主要考查了概率的求法：概率=所求状况数与总状况数之比.求解概率类问

题，关键是要找准两点：①全部状况的总数；②符合条件的状况数目；二者的比值就是其发

生的概率.运用树状图分析时，确定要做到不重不漏.

34.3嬉戏的公允性

13.（2024浙江省衢州，13,4分）如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的嬉戏.嬉戏

时，双方每次随意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同

手势的概率P=.

第13题图，

【解析】列举出全部状况，让双方出现相同手势的状况数除以总状况数即为所求的概率.

解：将“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势记作1,2,3,则列表得：

(1,3)（2,3）（3,3）

(1,2)（2,2）（3,2）

(1,1)(2,1)(3,1)

可得共有9种状况，两人出现相同手势的有3种状况，

・••双方出现相同手势的概率为士3I.

93

【答案M

3

【点评】本题考查概率的基小计算，明确概率的意义是解答的关键，状况较少可用列举法求

概率，采纳列举法解题的关键是找到全部存在的状况.用到的学问点为：概率等于所求状况

数与总状况数之比.

20.（2024山东德州中考,20,10,）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称

这个数为“伞数现从1,2,3,4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位

数.

（1）请画出树状图并写出全部可能得到的三位数；

（2）甲、乙二人玩一个嬉戏，嬉戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜.你

认为这个嬉戏公允吗？试说明理由.

20.【解析】（I）画树状图要做到有条理，按部就班，不重不漏.（2）数出全部三位数的个

数和其中伞数的个数，则易求出伞数的比例，再和比较即可.

2

解：（1）树状图如下：

1234

Zl\Zl\Zl\Zl\

3Z4卜33z4A卜3A^22vA卜2

全部得到的三位数有24个,分别为：123,12数132,134,142,143,213,214,231,234,

241,243,312,314,321,324,341,342,412„413,421,423,431,432.....（5分）

（2）这个嬉戏不公允.......................（6分）

理由如下:组成的三位数中是“伞数”的有：132,142,143,231,241,243,341,342,

QI

共有8个，所以，甲胜的概率为一=一，..............（8分）

243

而乙胜的概率为一二一，这个嬉戏不公允........................（10分）

243

【点评】对于两步以上概率的求法主要是列表法和树状图.概率经常结合嬉戏的公允性进行

考查.概率基本是中考中的必考问题.

20.（2024贵州贵阳，20,10分）在一个不透亮的口袋里装有分别标注2、4、6的3

个小球（小球除数字外，其余都相同），另有3张背面完全一样、正面分别写有数字6、7、

8的卡片•.现从口袋中随意摸出一个小球，再从这3张背面朝上的卡片中随意摸出一张卡片•.

（1）请你用列表或画树状图的方法，表示出全部可能出现的结果；（5分）

（2）小红和小莉做嬉戏，制定了两个嬉戏规则：

规则1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小红赢；否则，小莉赢.

规则2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢.

小红想要在嬉戏中获胜，她会选择哪一条规则，并说明理由.（5分）

解析：（1）列表（或画树状图）表示出全部可能出现的结果即可；（2）分别求出两种规

则下小红获胜的概率，选择概率较大的规则.

解：（1）列表（或画树状图）如下：

小谕、678

2(2,6)(2,7)(2,8)

4(4,6)(4,7)(4,8)

6(6,6)(5,7)(6,8)

(2,6)(2,7)(2,8X4,6)(4,7)(4,8/6,6)e,7)(6,8)

54

（2）规则1：P（小红赢）:一；规则2：P（小红赢）=

99

•••5士》—4,••・小红选择规则1.

99

点评：本题考查了枚举法以及概率计算。枚举全部可能出现的结果时，要做到不重不漏,

在计算概率时，关键是确定全部可能的结果数和可能出现的结果数，再用某个事务的可能出

现的结果数除以全部可能出现的结果数，列表法只能解决2个事务的问题，画树状图可以解

决2个以上事务的问题.

34.4用频率估计概率

5.（2024贵州贵阳，5,3分）一个不透亮的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小

球，其中有6个黄球.每次摸球前先将盒子里的球摇匀，随意摸出一个球登记颜色后再放回

盒子，通过大量重复摸球试验后发觉，摸到黄球的频率稳定在30%,那么可以推算出n人

约是（）

A.6B.10C.18D.20

解析：由已知可估计，摸到黄球的概率是30%,所以n=6+30%=20.

解答：选D.

点评：本题考查了频率与概率的关系，以及几何概率的意义.一般地，对于古典概型，

假如试验的基本领件为n,随机事务A所包含的基本领件数为m,我们就用来描述事务A

出现的可能性大小，称它为事务A的概率，记作P（A）,即有P（A）=-.

n

20.（2024浙江省绍兴，20,8分）一分钟投篮测试规定，得6分及以上为合格，得9分及

以上为优秀。甲、乙两组同学的一次测试成果统计如下：

成果（分）456789

甲组（人）125214

乙组（人）114522

（!）请你依据上述统计数据，把下面的图和表补充完整:

一分钟投篮测试成果统计图

*20«B

一分钟投篮测试成果统计分析表

统计量平均分方差中位教合格率优秀率

甲组▲2.56680.0%26.7%

乙组6.81.76▲86.7%13.3%

第20题表

（2）下面是小明和小聪的一段对话，请你依据（I）中的表，写出两条支持小聪的观点的理

由.

明：我认为，因为甲组的优秀率高于乙组，所以甲组的成果要

好于乙组

小聪：我认为，乙组的成果要好

于甲组。

【解析】（I）由甲、乙两组同学的一次测试成果统计表可知：乙组得7分的有5人，得7分的有2

人.甲组的平均分6.8,乙组中位数7.

（2）可以从方差、合格率、中位数等方面来说明，答案不唯一。

【答案】（1）补全统计图（见右图）.

补全分析表：甲组平均分6.8,乙组中位数7.

（2）不唯•.如：甲乙两组平均数•样，乙组的方差低F甲组，说明

乙组成果比甲组稳定，乂乙组合格率比甲组高，所以乙组成果好于甲组.

【点评】本题考查的是条形统计图和统计表的综合运用.读懂统计图、表，从统计图、表中得到必

要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清晰地表示出每个项目的数据.

（2024江苏泰州市，5,3分）有两个事务，事务A：367人中至少有两人生日相同；事务B：抛掷一

枚匀称的微子，朝上的面点数为偶数.下列说法正确的是

A.事务A、B都是随机事务

B.事务A、B都是必定事务

C.事务A是随机事务，事务B是必定事务

D.事务A是必定事务，事务B是随机事务

【解析】必定事务是确定会发生的事务，A是必定事务，事务B是随机事务

【答案】D

【点评】本题考查了必定事务和随机事务的概念.要留意必定事务和随机事务属于可能事务，还有

一类是不行能事务.

（2024湖南湘潭，6,3分）“湘潭是我家，爱惜靠大家”.自我市开展整治“六乱”行动以来，我

市学生更加自觉遵守交通规则.某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路

口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为工，遇到黄灯的概率为,，那么他遇

39

到绿灯的概率为

【解析】遇到绿灯的概率为】一，一

399

【答案】选D。

【点评】此题考查概率的概念。全部状况的概率只和为1,用1减去其它状况的概率就是遇到绿灯

的概率。

（2024湖南益阳,12,4分）有长度分别为2°〃，3cm,4加,7c/n的四条线段,任取其中三条能组

成三角形的概率是.

【解析】以2cm,3cm,4cmt7cm四条线段能组成三角形的状况只有一种：2cm,3cm,4cm

而2w,3cm,4cm,四条线段共有4种可能结果，依据概率定义得尸（A）=

4

【答案】-

4

【点评】主要考查以25?，3（切，4（7〃，7a〃四条线段能组成三角形的状况有几种，这是关键；其次

是概率的定义：P（A）=-,共有几种可能的结果，此题和中学的组合学问有点关联，具有承上启

m

下之功效C

（2024安徽，8,4分）给甲乙丙三人打电话，若打电话的依次是随意的，则第一个打电话给甲的概

率