北京理工大大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

2025北京理工大附中高一（下）期中数学考试时间90分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在范围内，与角终边相同的角是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，求出结果．【详解】与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，令k＝1，可得与角终边相同的角是，故选A．【点睛】本题考查终边相同的角的定义和表示方法，得到与角终边相同的角是2kπ+（），k∈z，是解题的关键2.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（）A. B.C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根据给定的图形，求出，再利用数量积的定义求解即得.【详解】观察图形知，，所以故选：A3.已知角终边上一点，若，则的值为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦函数的定义列式计算即得.【详解】由角终边上一点，得，因此，解得，所以的值为.故选：D4.下列各式的值等于的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】运用二倍角公式、同角三角函数的基本关系、特殊角的三角函数值判断即可.【详解】对于A,,故A错误；对于B,由特殊角的三角函数值可知,故B错误;对于C,由同角三角函数的基本关系可知,故C错误；对于D,,故D正确.故选：D.5.已知平面向量与的夹角为，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果.【详解】.故选：B6.已知满足，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角的正切公式计算即得.【详解】在中，，，则，所以.故选：A7.设函数f(x)＝2sin(x＋)．若对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为（）A.4 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】是函数最小值，是函数最大值，因此的最小值为周期的一半，由此可得．【详解】由题意f(x)的周期，对任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则是函数最小值，是函数最大值，因此的最小值为周期的一半，∴|x1－x2|min＝2.故选：B．8.已知函数，则“”是“为偶函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用正余弦函数性质，充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】当时，，为偶函数；反之，为偶函数，则或，所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.故选：A9.若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，结合诱导公式和二倍角的余弦公式，计算即可得到所求值.【详解】由于，所以，故选：B10.函数是A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为2C.奇函数，且最大值为 D.偶函数，且最大值为【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.11.下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A.f(x)=│cos2x│ B.f(x)=│sin2x│C.f(x)=cos│x│ D.f(x)=sin│x│【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．【点睛】利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；12.如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（）A.0 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】以为轴，以为原点，建立坐标系，设，，根据平面向量基本定理的坐标运算可得：，再利用三角函数的有界性，即可得到答案；【详解】解：以为轴，以为原点，建立坐标系，如图，设，，则，，，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴当时，，即的最小值为．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.13.已知扇形的周长为9cm，圆心角为，则该扇形的面积为___________.【答案】【解析】【分析】由扇形的弧长及面积公式求解可得答案.【详解】设扇形的半径为，圆心角为，弧长为，则由题意可得，解得，所以扇形的面积，故答案为：.14.__________；_____________.【答案】①.##0.5②.-3【解析】【分析】直接根据指数与对数的运算法则及基本性质进行化简求值.【详解】（1）原式（2）原式.故答案为：15.如图，边长为2的正方形ABCD中，点满足，则_______；若点H是线段AP上的动点，则的取值范围是_________．【答案】①.②.[1，2]【解析】【分析】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设，由可求出点坐标；点H是线段AP上的动点，设，由数量积的坐标运算结合的范围即可求出的取值范围.【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，所以，由，可得：，所以，所以，故，点H是线段AP上的动点，所以，则,，，，因为，，所以.故的取值范围是[1，2].故答案：；[1，2].16.已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】结合正弦型函数的图象与性质计算即可得.【详解】令，则，当时，，由题意可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.17.声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论错误的序号是______；①的一个周期为；②的最大值为；③的图象关于直线对称；④在区间上有3个零点．【答案】①②③【解析】【分析】对于①，代入周期的定义，即可判断；对于②，分别比较两个函数取得最大值的值，即可判断；对于③，代入对称性的公式，即可求解；对于④，根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】对于①，，故①错误；对于②，，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故②错误；对于③，，所以函数的图象不关于直线对称，故③错误；对于④，，即，，即或，解得：或或，所以函数在区间上有3个零点，故④正确.故答案为：①②③.三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．18.已知向量.（1）当时，求实数的值；（2）当时，求向量与的夹角的余弦值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解；（2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得.【小问1详解】由题意可得，因为，所以.【小问2详解】，因为，所以，所以，所以，即向量与的夹角的余弦值为.19.在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为．（1）求和的值；（2）求的值；（3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标．【答案】（1）；（2）10（3）【解析】【分析】（1）根据单位圆中正弦和余弦的定义，同角三角函数的平方关系，两角差的正切公式及二倍角公式即可求解；（2）根据诱导公式化简得齐次式，再根据同角三角函数的商数关系及即可求解；（3）根据两角和的正弦余弦公式即可求解．【小问1详解】由锐角，，得点，都在第一象限，而点纵坐标为，点的横坐标为，所以，则点的横坐标为，点的纵坐标为，因此；，．【小问2详解】由（1）知，．【小问3详解】依题意，点在角的终边上，且，由（1）知，则点的横坐标为，点的纵坐标为，所以点的坐标为．20.已知函数的一段图象如图所示：（1）求函数的表达式和单调递减区间；（2）若函数在的值域是，求的取值范围；（3）若，，求的值．【答案】（1），单调递减区间为（2）（3）【解析】【分析】（1）根据图象即可求得的表达式，令，求解即可得出单调减区间；（2）根据正弦函数的性质即可求解；（3）根据诱导公式，正弦函数的单调性及同角三角函数的平方关系即可求解．【小问1详解】由图象可知，，所以，又，故，由，得，又，故，于是，由，解得，所以函数的单调递减区间为．【小问2详解】因，所以，又，所以，由正弦函数的性质得，，所以．【小问3详解】，即，，由，得，又，所以，则，于是．21.设函数的定义域为.若存在常数，，使得对于任意，成立，则称函数具有性质.（1）判断函数和是否具有性质？(结论不要求证明)（2）若函数具有性质，且其对应的，.已知当时，，求函数在区间上的最大值；（3）若函数具有性质，且直线为其图象的一条对称轴，证明：为周期函数.【答案】（1）函数不具有性质，具有性质.（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据性质的定义可得；（2）根据题意时，，进而可得时取最大值；（3）当时，显然成立，当不恒为零时，根据题意，进而根据性质，可得，，进而可