山东省济南市莱芜凤城高级中学2023-2024学年高一下学期第四次单元检测数学试题（解析版）

第页，共页凤城高中2023级高一下学期第四次单元检测数学试题（试卷满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡1.在复平面内，对应的点位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则所求复数对应的点为6,8，位于第一象限.故选：A.2.已知向量，若，则实数的值为（）A.7 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直的坐标运算即可求出结果.【详解】因为，又，所以，解得，故选：C.3.已知，，，则（）A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.1【答案】B【解析】【分析】依题意根据计算可得；【详解】解：因为，，则，所以事件与事件不相互独立，．故选：B4.已知四边形是平行四边形，，，记，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.【详解】在中，，，，，所以.故选：A5.在正四面体中，，分别是，中点，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设四面体棱长为2，取取中点，连结，，利用三角形中位线性质作出异面直线所成的角，然后利用余弦定理求解即可.【详解】取中点，连结，，，，设正四面体的棱长为2，因为，分别是，中点，所以，所以或其补角是与所成角.又，是中点，在中，，因为，分别是，中点，所以，又，在中，由余弦定理可知，又，所以.与所成角.故选：B6.若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由体积求出圆锥的底面圆半径和高，母线长，即可计算圆锥的侧面积．详解】设圆锥的底面圆半径为，高为，由轴截面三角形的顶角为，得，所以圆锥的体积为，解得，所以圆锥的母线长为，所以圆锥的侧面积为．故选：C．7.已知，，，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先算，再求与向量同向的单位向量和在上的投影，然后由投影向量定义可得.【详解】由题知，与向量同向的单位向量为因，所以，得所以向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量为.故选：D8.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为８小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（）A.0.96 B.0.94 C.0.79 D.0.75【答案】B【解析】【分析】利用抽样中样本平均数、方差与总体平均数、方差之间的关系式即可算出．【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为：．故选：B．二、多项选择题：本大题共3小题；每小题6分，共18分．每小题给出四个选项，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知、为两个不同平面，、为两条不同的直线，下列结论正确的为（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则【答案】ABD【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A选项；利用线面垂直的性质定理可判断B选项；根据已知条件判断线面位置关系，可判断C选项；利用面面垂直的判定定理可判断D选项.【详解】对于A，若，则取内任意两条相交直线、，使得，，又，则，，由线面垂直的判定定理得，故A正确；对于B，垂直于同一条直线的两个平面平行，故B正确；对于C，若，，则或，故C错误；对于D，若，，则，故D正确.故选：ABD．10.如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（）A. B.C.事件与互斥 D.事件与相互独立【答案】AD【解析】【分析】依题意，计算出与，从而求得对应概率即可判断AB；由判断C；分别计算的值，从而判断D.【详解】对于A，由，得，则，所以，故A正确；对于B，，所以，故B错误；对于C，与不互斥，故C错误；对于D，，，事件A与相互独立，故D正确.故选：AD.11.如图，正方体中，是线段上的动点（不含两端点），则（）A直线与平面相交B.三棱锥的体积不变C.平面平面D.设直线与平面所成的角为，则取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】根据面面平行的判定定理证得平面平面，根据面面平行的性质即可判断A；根据三棱锥体积转化思想分析三棱锥的体积即可判断B；由面面垂直的判断定理证明平面平面即可判断C；利用线面夹角的定义确定的关系式，结合函数确定其取值范围.【详解】对于A，如图连接在正方体中，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，故A不正确；对于B，由A可知平面，又，所以点到平面的距离为定值，在正方体中，可得为等边三角形，其面积为定值，故三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积也为定值，故B正确；对于C，如图，连接在正方体中，四边形为正方形，所以又平面，平面，所以因为平面，所以平面因为平面，所以，同理可得又平面，所以平面因为平面，所以平面平面，故C正确；对于D，如图过作交于，连接因为平面，，所以平面，则为直线与平面所成的角为，则不妨设正方体棱长为，设，则所以，则，所以因为，所以，则，故取值范围为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题；每小题5分，共15分．12.抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm）数据如下：163165161157162165158155164162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是__________.【答案】【解析】【分析】计算，确定从小到大第个数即可.【详解】，第25百分位数是从小到大第个数为.故答案为：13.正边长为2，点满足，则______.【答案】2【解析】【分析】根据基底法进行转化，代入求解即可.【详解】因为，所以，所以.故答案为：214.已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，则四棱锥的体积为______，其外接球表面积为______．【答案】①.②.【解析】【分析】设的中点为，连接，由面面垂直的性质得到平面，从而求出锥体的体积，设外接圆的圆心为，外接球球心为，先分别求得外接圆的半径与，再利用勾股定理求得外接球的半径，从而得解．【详解】设的中点为，连接，，连接，设外接圆的圆心为，半径为，所求外接球球心为，半径为，连接，如图，因为为等边三角形，，所以，且圆的半径，因为为等边三角形，是的中点，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，所以，因为底面是矩形，所以是底面外接圆的圆心，故平面，所以，同理，所以四边形是矩形，所以，所以球的半径，所以外接球的表面积为．故答案为：；．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或步骤．15.某高校承办了2024年上海帆船公开赛的志愿志选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．（1）求、的值，并估计这100名候选者面试成绩的平均数；（2）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．【答案】（1），平均数为69.5（2）【解析】【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，；根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解.（2）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可．【小问1详解】因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以，解得，所以前两组的频率之和为，即，所以；平均数为，【小问2详解】第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，这5人中选出2人，所有情况有，，，，，．，，，，共有10种情况，其中选出的两人来自同一组的有，，，，，共6种情况，故选出的两人来自同一组的概率为．16.在中，已知角的对边分别是，且．（1）求角的大小；（2）若边上的中线为，求的值；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析可得，即可得结果；（2）先利用余弦定理可得，再根据向量分析可得，进而可得，即可得结果.【小问1详解】因为，由正弦定理可得：，又因为，即，可得在中，，则，可得，且，所以.【小问2详解】在中，由余弦定理可得，即，因为边上的中线为，则，可得，即，可得，所以.17.如图，在正三棱柱中，是中点．（1）证明：平面；（2）若，，求到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可得结论；（2）利用体积桥可构造方程求得结果.【小问1详解】连接，交于点，连接，四边形为平行四边形，为中点，又为中点，，又平面，平面，平面【小问2详解】设，到平面的距离为，，，，又为中点，，又为等边三角形，，解得：，，，，解得：，即到平面的距离为.18.甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.【小问1详解】设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，.【小问2详解】设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”，所以，则，由事件的独立性与互斥性，得，故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为．19.如图1，在四边形中，，，.为中点，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的几何体.（1）证明：平面；（2）若为上靠近点的三等分点，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）根据中位线等图形关系得到四边形为平行四边形，得到，根据线面垂直得到，结合，再转化后结合线面垂直的判定定理即可证明；（2）根据图形关系作出所求二面角的平面角，根据三角形面积相等得到，在直角三角形中运算即可求解角的余弦值.【小问1详解】如图，取的中点，连接，又因为为的中点，所以．因为，故，且，所以四边形为平行四边形，则，因为面，所以平面．因为平面，所