四川省遂宁市安居区2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

安居区高中2025年上期半期考试高2024级数学试题总分：150分时间：120分钟一､选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.1.等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二倍角的正弦公式求解即可.详解】，故选：B2.若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由扇形面积公式即可求解；【详解】，故选：C.3.下列函数中，在既是奇函数且最小正周期为的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的最小正周期的计算公式，可得答案.【详解】对于A，函数的最小正周期，且为奇函数，故A正确；对于B，函数的最小正周期，且为奇函数，故B错误；对于C，函数的最小正周期，且为偶函数，故C错误；对于D，函数的最小正周期，且为偶函数，故D错误.故选：A.4.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求出实数的值.【详解】因为向量，，且，所以，，解得.故选：D5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则边长b等于（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】直接根据正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理可得，，所以故选：C6.在中，点是的中点，设，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的平行四边形法则即可得到结论.【详解】由平行四边形法则知：,且M为线段AD的中点，故,所以,故选：C7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用角的变换，代入两角差的正切公式即可求解.【详解】．故选：B.8.若函数的两个零点分别为和，则（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简，再利用函数零点的意义及正弦函数的性质求得，进而求出，最后利用二倍角的余弦求值.【详解】函数，其中，由，得，而，因此，即，则即，所以.故选：A.【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的.9.下列各组向量中，可以作为基底的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根据不共线的向量可以作基底判断即可.【详解】对于A，因为，所以共线，故A错误；对于B，因为，所以不共线，故B正确；对于C，因为，所以共线，故C错误；对于D，因为，所以不共线，故D正确．故选：BD.10.已知是夹角为的单位向量，且，则下列选项正确的是（）A. B.C.的夹角为 D.在上的投影向量为【答案】BCD【解析】【分析】对A：借助向量模长与数量积的关系计算即可得；对B：借助数量积公式计算即可得；对C：借助向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量的定义计算即可得.【详解】是夹角为的单位向量，，对于，，同理可得，故错误；对于，，故正确；对于，因又，，故C正确；对于，所以在上的投影向量为，故正确.故选：．11.如图所示，则（）A.在上单调递增B.C.若先把的图象左移2个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍得函数的图象，则在的值域为D.若先把图象的横坐标伸长到原来的2倍，再左移2个单位得函数的图象，则是偶函数【答案】AD【解析】【分析】根据“五点法”，结合图形求得，根据正弦函数的图象与性质，结合选项依次计算判断即可.【详解】A：由图可知，，得，又，所以.将代入，得，由解得，所以.由，得，即单调增区间为，故A正确；B：由选项A可知，，，故B错误；C：把的图象左移2个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，得，由，得，所以，所以，故C错误；D：把图象的横坐标伸长到原来的2倍，再左移2个单位，得，则，所以为偶函数，故D正确.故选：AD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置.12.的值为____.【答案】##【解析】【分析】先运用诱导公式化简，再应用两角差余弦公式计算即可.【详解】.故答案为：##.13.在正方形中，，则正方形边长为___________.【答案】5【解析】【分析】利用向量的数量积的定义直接求得.【详解】在正方形中，.设，则，解得：.所以正方形的边长为5.故答案为：5.14.________．【答案】2【解析】【分析】利用余弦二倍角，辅助角公式和诱导公式化简求解即可.【详解】.故答案为：2四､解答题：本题共5小题，15题13分，16-17题每小题15分，18-19题每小题17分，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知，，求：（1）；（2）.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）利用平面向量线性运算的坐标表示式计算即得；（2）先计算出的坐标，再求其模长即得.【小问1详解】因为，，所以；【小问2详解】因为，，则，于是.16.已知角，且.（1）求sin()的值;（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】根据同角三角函数的关系求得，结合诱导公式和两角差的余弦公式分别计算即可求解.【小问1详解】由题意知，，所以；【小问2详解】由（1）知，，所以17.已知向量满足，且的夹角为，（1）求；（2）当向量与垂直时，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据数量积的定义即可求解；（2）向量与垂直，即，利用数量积的运算即可求解.【小问1详解】由已知得.【小问2详解】向量与垂直，，，解得.18.已知函数的图象的相邻两条对称轴的间距为，将函数的图象上的每一个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将三角函数式化简，由图象的相邻两条对称轴的间距为，求出，再由已知图像变换得到的解析式，由正弦函数的单调递增区间，解出函数的单调递增区间；（2）由，解出，通过诱导公式及二倍角公式即可求得的值.【小问1详解】因为，又因为函数的图象的相邻两条对称轴的间距为，所以函数的最小正周期为，即，所以，，又因为将函数的图象上的每一个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，所以令，得所以函数的单调递增区间为：.【小问2详解】因为所以.又因为，又，则，所以.19.如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．（1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度（其中，，，求函数解析式及5min时点P距离地面的高度；（2）当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？【答案】（1），70m（2）0.5min【解析】【分析】（1）根据题意得到振幅，最小正周期，求出，由求出，得到函数解析式，求出；（2）