第04讲直线与圆圆与圆的位置关系精讲（原卷版）

第04讲直线与圆、圆与圆的位置关系目录TOC\o"12"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高考真题回归 5第三部分：高频考点一遍过 6高频考点一：直线与圆位置关系判定 6高频考点二：由直线与圆的位置关系求参数 6高频考点三：直线与圆的位置关系求距离最值 7高频考点四：圆的切线问题 8高频考点五：圆的弦长和中点弦 9高频考点六：已知圆的弦长求参数 10高频考点七：直线与圆的实际应用 11高频考点八：圆与圆的位置关系 13高频考点九：圆的公共弦 14高频考点十：圆的公切线 14第四部分：数学文化题 15第一部分：知识点必背知识点一：直线与圆的位置关系1、直线与圆的三种位置关系直线与圆的位置关系的图象直线与圆的位置关系相交相切相离2、判断直线与圆的位置关系的两种方法几何法（优先推荐）图象位置关系相交相切相离判定方法；。圆心到直线的距离：。圆与直线相交。；。圆心到直线的距离：。圆与直线相切。；。圆心到直线的距离：。圆与直线相离。代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数①直线与圆相交②直线与圆相切③直线与圆相离知识点二：圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.图象位置关系图象位置关系外离外切相交内切内含2、圆与圆的位置关系的判定几何法设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.①当时，两圆相交；②当时，两圆外切；③当时，两圆外离；④当时，两圆内切；⑤当时，两圆内含.代数法设::联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其①与设设相交②与设设相切（内切或外切）③与设设相离（内含或外离）知识点三：直线与圆相交记直线被圆截得的弦长为的常用方法1、几何法（优先推荐）①弦心距（圆心到直线的距离）②弦长公式：2、代数法直线：；圆联立消去“”得到关于“”的一元二次函数弦长公式：知识点四：圆与圆的公共弦1、圆与圆的公共弦圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程设::联立作差得到：即为两圆共线方程知识点五：圆上点到直线的最大（小）距离设圆心到直线的距离为，圆的半径为①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：，最小距离为：；第二部分：高考真题回归1．（2023·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．2．（2023·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．3．（2022·天津·统考高考真题）若直线与圆相交所得的弦长为，则．4．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：直线与圆位置关系判定典型例题例题1．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）直线与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定例题2．（2023·全国·高三专题练习）直线与圆的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定例题3．（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）圆与直线的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）设，则直线：与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相交2．（2023·全国·高一专题练习）圆与直线的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定3．（2023·河南周口·高二扶沟县高级中学校考阶段练习）已知点在圆内部，则直线与圆的公共点有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个高频考点二：由直线与圆的位置关系求参数典型例题例题1．（2023秋·北京西城·高二统考期末）若直线与圆相离，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例题2．（2023·全国·高一专题练习）设为实数,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则的值是（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·山西长治·高二统考期末）已知直线与圆存在公共点，则的取值范围为.练透核心考点1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）“”是“直线与圆相切”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）满足直线：与圆：有公共点的一个整数．3．（2023·全国·高三专题练习）若直线l：与圆C：有两个公共点，则k的取值范围为．高频考点三：直线与圆的位置关系求距离最值典型例题例题1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知直线和圆，则圆心到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．例题2．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）直线与圆交于两点，则弦长的最小值是.例题3．（2023·全国·校联考三模）已知点为圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为.练透核心考点1．（2023秋·天津·高二校联考期末）圆上的点到直线的最大距离是（

）．A．36 B． C．18 D．2．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知直线与圆有公共点，且与直线交于点，则的最小值是．3．（2023·全国·高三专题练习）圆上的点到直线的距离的最小值是．高频考点四：圆的切线问题典型例题例题1．（2023春·河南南阳·高二统考期末）过坐标原点作圆的两条切线，切点分别为，，则（

）A． B． C． D．2例题2．（2023秋·高一单元测试）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（

）A． B． C． D．例题3．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知为抛物线的焦点，为抛物线上第一象限的点，且.(1)求点的坐标；(2)求过点且与圆相切的直线方程.练透核心考点1．（2023春·广东江门·高二统考期末）若直线与圆相切，则（

）A．9 B．8 C．7 D．62．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则．高频考点五：圆的弦长和中点弦典型例题例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二统考期末）已知圆，则直线被圆截得的弦的长度为（

）A．2 B．7 C． D．例题2．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（

）A． B． C． D．例题3．（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）已知圆内有一点，为过点且倾斜角为的弦（1）当时，求弦长；（2）当弦被点平分时，求直线的方程.练透核心考点1．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）直线被圆所截得弦长的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2023春·贵州黔南·高二统考期末）若直线与圆相交于两点，则弦的长为．3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C:,直线(1)求证:无论取什么实数，直线恒过第一象限；(2)求直线被圆C截得的弦长最短时的值以及最短长度；(3)设直线与圆C相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程.高频考点六：已知圆的弦长求参数典型例题例题1．（2023春·江苏镇江·高二江苏省镇江第一中学校考期末）直线与圆：相交于，两点，若，则．例题2．（2023·广东广州·统考三模）写出经过点且被圆截得的弦长为的一条直线的方程．例题3．（2023·全国·高三专题练习）若过定点的直线截圆C：所得弦长小于3，则该直线斜率的取值范围为练透核心考点1．（2023·广东深圳·校考二模）过点且被圆所截得的弦长为的直线的方程为.2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知圆满足：圆心在直线上，轴或轴被圆所截得的弦长为4，则圆的一个标准方程为.3．（2023秋·贵州铜仁·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆.设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)设垂直于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.高频考点七：直线与圆的实际应用典型例题例题1．（2023春·广东·高二统考阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（

）A． B．C． D．例题2．（2023秋·湖北·高二武汉市第二十三中学校联考期末）如图，某海面上有、、三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆经过、、三点．(1)求圆的标准方程；(2)若圆区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？练透核心考点1．（2023·全国·校联考一模）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球的位置为（0，0），目标球的位置为，要使目标球向处运动，则母球的球心运动的直线方程为．2．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东的A处出发，径直驶向位于海监船正北的B处岛屿，速度是，问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间为多长？高频考点八：圆与圆的位置关系典型例题例题1．（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）圆：与圆C:的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切例题2．（2023秋·高二课时练习）若两圆和圆相交，则的取值范围是（

）A． B．或C． D．或例题3．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考期中）已知圆与圆只有一个公共点，则（

）A．1 B．4 C．9 D．1或9例题4．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切练透核心考点1．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）若圆与圆外切，则实数（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．42．（2023春·江苏扬州·高二江苏省江都中学校考开学考试）圆与圆的位置关系为（

）．A．相交 B．内切 C．外切 D．外离3．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（

）A． B． C． D．4．（2023春·广西·高二校联考期中）已知圆心在原点的单位圆和圆外切，．高频考点九：圆的公共弦典型例题例题1．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）圆与圆的公共弦长为（

）A．1 B．2 C．4 D．8例题2．（2023春·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）圆与圆的公共弦长为．例题3．（2023秋·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）已知圆，圆.(1)求两圆公共弦所在直线的方程；(2)求公共弦长.练透核心考点1．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为.2．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为．3．（2023·高二课时练习）求圆和圆公共弦所在直线方程，并求弦长．高频考点十：圆的公切线典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例题2．（2023·全国·高三专题练习）若圆与圆有且仅有3条公切线，则=（

）A．14 B．28 C．9 D．例题3．（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例题4．（2023·全国·高三专题练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程.练透核心考点1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条2．（2023秋·河北保定·高二统考期末）若圆与圆恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（

）A． B． C． D．3．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程.4．（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：．第四部分：数学文化题1．（多选）（2023春·浙江·高二校联考期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆