第11讲向量的数量积（讲义）原卷版

第11讲向量的数量积知识梳理1、向量的夹角：已知两个非零向量，如果以O为起点作，那么射线的夹角叫做向量与的夹角．的取值范围是．当时，表示向量与方向相同；当时，表示向量与方向相反；当时，表示向量与相互垂直．2、向量的数量积已知两个非零向量与的夹角为（），则把叫做与的数量积，记作．即．（1）两个向量的数量积是一个实数；（2），当且仅当时，；（3）已知两个非零向量与的夹角为，则叫做向量在方向上的投影．显然在方向上的投影等于．（4）的几何意义：等于其中一个向量的模与另一个向量在向量的方向上的投影的乘积．3、向量数量积的运算律①交换律成立：；②对实数的结合律成立：；③分配律成立：．特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到；（3）=0不能得到=或=0．④但是乘法公式成立：；；等等．⑤两个向量垂直的充要条件是：．例题解析思考1类比实数的运算律，向量的数量积是否具有类似的特征？先写出类比后的结论，再判断正误(完成下表)：运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝baa·b＝b·a结合律(ab)c＝a(bc)(a·b)c＝a(b·c)分配律(a＋b)c＝ac＋bc(a＋b)·c＝a·c＋b·c消去律ab＝bc(b≠0)⇒a＝ca·b＝b·c(b≠0)⇒a＝c思考2在上述类比得到的结论中，对向量数量积不再成立的有哪些？试各举一反例说明．例1．（2020·天津市军粮城中学高一月考）设向量，是两个互相垂直的单位向量，且，则（）A． B． C．2 D．4例2．（2021·天津市第八中学高一月考）若，，与的夹角为，则等于（）A． B． C． D．例3．（2021·江苏南通市·启东中学高一月考）在边长为3的等边三角形中，，则（）A． B． C． D．例4．（2021·江苏淮安市·高一月考）已知，且关于的方程有等根，则向量与的夹角是（）A． B． C． D．例5．（2021·江苏苏州市·星海实验中学高一月考）己知向量，满足，且，则___________.例6．（2019·全国福州三中高一期末）已知向量，，则向量在方向上的投影为___________.例7．（2017·瓦房店市高级中学（文））与向量垂直的单位向量为______________________．例8．在△中，三边长分别为AB=7，BC=5，AC=6，则______．例9．（2021·苏州市第三中学校高一月考）已知向量（1）若向量的夹角为，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求的夹角．例10．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学高一月考）已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值例11.已知与夹角为，（1）求；（2），求；（3），求；（4）夹角为锐角，求的取值范围.例12.已知正三角形，点、、分别是所在棱的中点，则当，，且时，数量积的不同数值的个数为.例13.已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为eq\f(π,3)，则实数λ＝________.例14.设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.()A．若θ确定，则|a|唯一确定 B．若θ确定，则|b|唯一确定C．若|a|确定，则θ唯一确定 D．若|b|确定，则θ唯一确定例15.设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A．eq\f(2π,3) B．eq\f(π,3) C．eq\f(π,6) D．0【巩固训练】1.给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．2.设是两个单位向量夹角为，若，（1）求；（2）求；（3）求与夹角；（4）求在的投影.3．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c； ②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|<|a－b|； ④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的序号是________．4．知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)(2a－b)·(a＋3b)；(2)|3a－4b|.5．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？6．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．7．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝________.8．如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为60°，则|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝______.9．如图所示，三个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，记（），则.反思总结反思总结1．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b