小升初复习知识点19鸡兔同笼问题

第十九节：典型应用题（四）鸡兔同笼问题列表法和画图法【例1】鸡兔同笼，有10个头，26条腿，笑笑用取中列表法在下面填了一次就找出答案了。你怎么样使用表格法，求出鸡、兔各多少只呢？请解答。鸡的只数兔的只数腿的总条数55思路引导一只鸡有2条腿，一只兔子4条腿。已知鸡和兔子一共有10只，根据“鸡的只数×2＋兔的只数×4＝腿的总条数”用列表法计算。表中已经列出腿的总条数是30条，比26条多4条。把一只鸡当作兔子，腿数就多算了2条。4÷2＝2（只），则鸡的只数需要加上2，兔的只数减去2，这样腿的总条数就是26条。正确解答：鸡的只数兔只数腿的总条数55737×2＋3×4＝26答：鸡有7只，兔有3只。本题考查鸡兔同笼问题。要理解“把一只鸡当作兔子，腿数就多算了2条”，从而得出多算的4条腿是把2只鸡当作兔来算。【变式1】（2021五下·浙江丽水）1.五年级1班48名同学去公园划船，每条大船限坐6人，每条小船限坐4人，他们一共租了10条船，每条船都坐满。大船租了几条？小船租了几条？（用列表法解决）总人数大船小船【答案】大船4条，小船6条；见详解【解析】【分析】根据每条大船限坐人数×大船的条数＋每条小船限坐人数×小船的条数＝总人数，列表解答即可。【详解】（1）0＋4×10＝40（人）（2）6×1＋4×9＝6＋36＝42（人）（3）6×2＋4×8＝12＋32＝44（人）（4）6×3＋4×7＝18＋28＝46（人）（5）6×4＋4×6＝24＋24＝48（人）总人数大船小船400104219442846374846答：大船租了4条，小船租了6条。【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是根据题意进行分析，填写表格进而得出结论。【例2】鸡、兔关同一笼子里，共有10个头，28条腿，笼里有几只鸡几只兔？（用画图法）思路引导我们用“○”表示头，画10个“○”；用“|”表示腿，鸡有两条腿，兔子有四条腿，鸡的腿数比兔子的少。先全画成鸡：从图中可以看出，10只鸡只有20条腿，而条件说“共有28条腿”，显然少了28﹣20﹦8（条）腿，这样，在鸡图上一只加两条腿，把它变成兔子，8条腿添改4次即可。正确解答：由图可知，有6只鸡，4只兔答：笼里有6只鸡，4只兔。数据较小时，可以用画图法解答，画图时一定要注意结合题意，及时调整。【变式2】（2022六下·山西临汾）2.一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子．车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个．问自行车几辆，三轮车几辆？【答案】共有6辆三轮车，4辆自行车。【解析】【分析】按照鸡兔同笼问题解答．【详解】发挥想像力和创造力，你可以画一个简图代表车身，见图（1）、（2）、（3）．①先画10个车身：②在每个车身下配上两个轮子，它就成了自行车：③数一数共20个车轮，比题中给出的轮子数少2620=6个轮子，在自行车下面添轮子，每添一个轮子，这个自行车就成了三轮车．边添边凑数，凑出26个轮子出来．最后数一数，共有6辆三轮车，4辆自行车．注意，用这种画图凑数法解题，很直观，也比较快，为了使解题速度更快，可以把三个步骤合起来，就能得出答案．假设法【例3】鸡兔同关在一只笼里，共48个头，100只脚。问：鸡有多少只？兔有多少只？思路引导假设全是兔子，那么就有48×4＝192只脚，这就比已知的100只脚多出了192－100＝92只脚，因为1只兔比1只鸡多4－2＝2只脚，由此即可求得鸡的只数，进而求得兔的只数。正确解答：假设全是兔子，则鸡的只数：（48×4－100）÷（4－2）＝92÷2＝46（只）兔子的只数：48－46＝2（只）答：鸡有46只，兔子有2只。解决这类问题的关键：理解假设之后，多出脚数与对应的鸡（或兔）的只数关系。此类题目可以假设全是鸡也可以假设全是兔。当假设全是鸡时，兔的只数＝（总腿数－总头数×2）÷2，鸡的只数＝总头数－兔的只数；当假设全是兔时，鸡的只数＝（4×总头数－总腿数）÷2，兔的只数＝总头数－鸡的只数。【变式3】3.张洪正好用20元钱买了2元的邮票和5角的邮票，一共16张，问这两种邮票各有多少张？【答案】2元的邮票8张；5角的邮票8张【解析】【分析】先根据进率：1元＝10角，把5角换算成0.5元；已知2元的邮票和5角的邮票，一共16张，设2元的邮票有张，则0.5元的邮票有（16－）张；根据“单价×数量＝总价”可得等量关系：每张2元的邮票×张数＋每张0.5元的邮票×张数＝买2元的邮票和5角的邮票的总价钱，据此列出方程，并求解。【详解】5角＝0.5元解：设2元的邮票有张，则0.5元的邮票有（16－）张。2＋0.5（16－）＝202＋8－0.5＝201.5＋8＝201.5＋8－8＝20－81.5＝121.5÷1.5＝12÷1.5＝816－8＝8（张）答：2元的邮票有8张，5角的邮票有8张。【点睛】本题考查列方程解决问题，根据单价、数量、总价之间关系得出等量关系，按等量关系列出方程。方程法【例4】鸡兔同笼，鸡比兔多10只，但鸡脚却比兔脚少60只，问鸡兔各多少只？思路引导解设兔有x只，则鸡有（10＋x）只，根据等量关系：兔的脚数－鸡的脚数＝60只，列方程解答即可。正确解答：解：设兔有x只，则鸡有（10＋x）只，4x－2（10＋x）＝604x－20－2x＝602x＝80x＝4040＋10＝50（只）答：鸡有50只，兔有40只。解决此类问题关键是找到等量关系：兔的脚数－鸡的脚数＝60只，再根据等量关系列方程。【变式4】（2022六下·四川眉山）4.现在有相同只数的鸡、兔同笼，已知兔脚比鸡脚多56只，问鸡、兔各有多少只？【答案】鸡28只；兔28只【解析】【分析】根据题意，鸡、兔的只数相同，设鸡、兔各有只；等量关系：每只兔的脚数×兔的只数－每只鸡的脚数×鸡的只数＝兔脚比鸡脚多的只数，据此列出方程，并求解。【详解】解：设鸡、兔各有只。4－2＝562＝562÷2＝56÷2＝28答：鸡、兔各有28只。【点睛】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。一、选择题5.鸡兔同笼，有7个头，20条腿，鸡、兔各有几只？笑笑的弟弟采用猜测法，列表解决，从一只鸡开始尝试，一只一只增加，他一共要尝试（）次才能得到正确答案。鸡只数兔只数腿条数1626………………A.3 B.4 C.5 D.7【答案】B【解析】【分析】假设鸡有1只，兔有6只，共有2＋6×4＝26条腿，比20条腿多，那么就要增加鸡的只数，减少兔的只数，直至得到正确的鸡和兔的只数。【详解】鸡只数兔只数腿条数1626252434224320故答案为：B【点睛】解答此题的关键是根据假设法分析、调整进而得出正确答案。6.鸡兔同笼，有20个头，70条腿，鸡与兔的只数比是（）。A.3∶1 B.3∶2 C.1∶3 D.2∶3【答案】C【解析】【分析】假设全是鸡，则有腿（2×20）条，比实际少了（70－2×20）条，而每只兔有4条腿，少算了2条，然后用除法求出兔的只数，再求出鸡的只数，再根据比的意义，用鸡的只数∶兔的只数，即可解答。【详解】兔子：（70－2×20）÷（4－2）＝（70－40）÷2＝30÷2＝15（只）鸡：20－15＝5（只）5∶15＝（5÷5）∶（15÷5）＝1∶3故答案为：C【点睛】本题的关键是求出鸡与兔的只数，然后将比进行化简。7.在池塘边，有几只青蛙正和鸭子们一起玩耍。数一数，共有15个头，48只脚，那么一共有（）只青蛙。A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】假设青蛙有x只，则鸭子有（15－x）只，一只青蛙有4只脚，一只鸭子有2只脚，根据等量关系：青蛙的只数×一只青蛙的脚数＋鸭子的只数×一只鸭子的脚数＝48只，列方程解答即可。【详解】解：设青蛙有x只，则鸭子有（15－x）只，x×4＋（15－x）×2＝484x＋15×2－2x＝482x＋30＝482x＋30－30＝48－302x＝182x÷2＝18÷2x＝9即青蛙有9只。故答案为：B【点睛】解决此类问题关键是找到等量关系：青蛙的脚数＋鸭子的脚数＝48只，再根据等量关系列方程。二、填空题8.“鸡兔同笼”问题出自唐代的《孙子算经》，是我国古代的数学名题之一。书中：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”下面是六年级三位同学展示的不同方法：你理解他们的想法吗？（1）小军选择列表的方法：先假设鸡和兔的只数，再调整。请你根据小军的想法补充表格，完成解答。鸡的只数兔的只数脚的总个数和94个脚比较171834＋72＝106（2）小强选择列方程：首先设鸡有x只，那么兔有（35－x）只。请你帮他列出方程：（）（只列方程不解答）（3）小梅选择假设的策略：假设35只全是鸡。（请你帮她写出剩下的算式）。第一步：35×2＝70（个）94－70＝24（个）第二步：（）第三步：（）答：鸡有（）只，兔有（）只。【答案】（1）见详解；（2）2x＋（35－x）×4＝94；（3）24÷（4－2）＝12（只）；35－12＝23（只）；23；12【解析】【分析】（1）运用列表方法，调整鸡和兔的只数，据此填表即可；（2）设鸡有x只，那么兔有（35－x）只，根据“鸡的只数×每只鸡的脚数＋兔的只数×每只兔的脚数＝总脚数”列出方程即可；（3）运用假设法，假设35只全是鸡，则应有2×35＝70（个）脚，实际只有94个。这个差值是因为实际上不全是鸡，每只鸡比兔少2个脚，因此用除法求出假设比实际少的个数里面有多少个2，就是有多少只兔。用总只数减去兔的只数就是鸡的只数。【详解】（1）鸡的只数兔的只数脚的总个数和94个脚比较171834＋72＝106大于231246＋48＝94等于（2）小强选择列方程：首先设鸡有x只，那么兔有（35－x）只。列出方程：2x＋（35－x）×4＝94（3）小梅选择假设的策略：假设35只全是鸡。第一步：35×2＝70（个）94－70＝24（个）第二步：24÷（4－2）＝12（只）第三步：35－12＝23（只）答：鸡有23只，兔有12只。【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题的关键是用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用列表或方程进行解答。9.鸡兔同笼，有头15个，脚50只．鸡（）兔（）．解决这个问题我运用了（）策略．【答案】①.5②.10③.假设法（答案不唯一）【解析】【分析】假设笼中的全是鸡，则应有脚15×2=30只，实际有50只，实际就比假设多了5030=20只脚，这是因为每只兔子比鸡多了42=2只脚。据此求出兔的只数。用15减去兔的只数，就是鸡的只数。据此解答【详解】（5015×2）÷（42）=20÷2=10（只）1510=5（只）答：鸡有5只，兔有10只。解决这个问题我运用了假设法的策略。故答案为：5；10；假设法。【点睛】本题考查了数学广角中的鸡兔同笼问题，除了假设法还可以用列表法进行解答。10.喜迎建党100周年，随州市某小学举行党史知识竞赛，共30道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案是正确的。每答对一题得4分，答错或者不答每题扣2分。张丽同学最后得分是84分，她答对了（）道题。【答案】24【解析】【分析】答错或者不答每题扣2分，实际上就是从答对题的得分中减去2分。数量关系式：答对题的总分－答错题的总分＝最后得分。可用方程来解。【详解】解：设答对了x道题，则答错了（30－x）道题。4x－2（30－x）＝846x＝144x＝24【点睛】假设好未知数，并能找出数量关系式，这是解决此题的关键。11.体育课上有30个同学在12张乒乓球桌上同时进行乒乓球单打和双打比赛，其中进行单打比赛的乒乓球桌有（）张。【答案】9【解析】【分析】根据题意，每张单打乒乓球桌有2人，每张双打乒乓球桌有4人，等量关系：每张单打乒乓球桌的人数×单打乒乓球桌的数量＋每张双打乒乓球桌的人数×双打乒乓球桌的数量＝总人数，据此列出方程，并求解。【详解】解：设单打比赛的乒乓球桌有张。2＋4（12－）＝302＋48－4＝3048－2＝302＝48－302＝18＝18÷2＝9【点睛】本题考查列方程解决问题，要从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。12.李军参加答题比赛，答对一道题得10分，答错一道题扣5分，不可以不答，共10道题，他最终得70分。李军答对了（）道题。【答案】8【解析】【分析】假设题目全部答对，应该得（10×10）分，实际得分为70分，总分与实际得分的差值就是答错题目比答对题目少得的分值，答错题目的数量＝答错题目的分值÷答错一道题比答对一道题少得的分值，答对题目的数量＝题目的总数量－答错题目的数量，据此解答。【详解】（10×10－70）÷（10＋5）＝（100－70）÷（10＋5）＝30÷15＝2（道）10－2＝8（道）所以，李军答对了8道题。【点睛】利用鸡兔同笼的假设法解决问题是解答题目的关键。13.鸡兔同笼，从上面数有8个头，从下面数有24条腿，问鸡、兔各有多少只？解：设兔有x只，则鸡有（）只。解决问题的方程是：（）＝24。【答案】①.8－x②.2（8－x）＋4x【解析】【分析】把笼子里兔的只数设为未知数，一共有8个头，说明鸡和兔一共8只，鸡的只数＝8－兔的只数，每只鸡有2条腿，每只兔有4条腿，鸡的只数×2＋兔的只数×4＝腿的总数量，据此列方程解答。【详解】解：设兔有x只，则鸡有（8－x）只。2（8－x）＋4x＝242×8－2x＋4x＝2416＋4x－2x＝2416＋（4x－2x）＝2416＋2x＝242x＝24－162x＝8x＝8÷2x＝48－4＝4（只）所以，鸡和兔各有4只。【点睛】本题主要考查列方程解决实际问题，明确题目中存在的等量关系是解答本题的关键。三、解答题14.鸡和猫一共有8只，它们的腿一共有22条。鸡和猫各有多少只？（按照下面的步骤画图找答案）（1）画8个圆，表示一共有8只动物。（2）假设都是鸡，给每只动物画2条腿，画出的腿比22条少（）条。（3）一只猫比一只鸡多2条腿，给其中的（）只动物添上2条腿，画出的腿正好22条。（4）猫有（）只，鸡有（）只。【答案】（1）（2）6；（3）3；（4）3；5【解析】【详解】（1）（2）画出的腿比22条少6条。（3）给其中的3只动物添上2条腿，画出的腿正好22条。（4）由上面的图可以看出：猫有3只，鸡有5只。答：猫有3只，鸡有5只【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此题用假设法进行解答。15.鸡兔同笼，头有12个，腿有34条。鸡和兔各有几只？方法一：（1）画12个圆，表示12只鸡，并且先给每只鸡添上2条腿。一只鸡比一只兔子少（）条腿，现在一共少了（）条腿，要在其中的（）只鸡上添上一共（）条腿，就有（）只兔，（）只鸡。（2）方法二：先假设鸡和兔子的只数一样多。再根据腿数量的多少进行调整。鸡的只数兔子的只数共有多少条腿与34条腿比较66【答案】方法一：（1）2；10；5；10；5；7（2）方法二：36；多2条7；5；34；正好【解析】【分析】（1）根据题意先画12个圆，每个圆上加2条腿即可。根据实际情况结合所画图示填空即可；（2）方法二主要是用枚举法当腿的条数是34条时即可。【详解】（1）画图如下：4－2＝2（条）一只鸡比一只兔子少2条腿，34－2×12＝10（条）现在一共少了10条腿，10÷2＝5（只）要在其中的5只鸡上添上一共10条腿，就有5只兔，12－5＝7只鸡。（2）鸡的只数兔子的只数共有多少条腿与34条腿比较6636多2条7534正好【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，用了画图法和枚举法根据题目要求填空即可。16.《镜花缘》是清代李汝珍所著的长篇小说，书中出现了一些有趣的数学问题。下面的题目是根据其中一个问题改编的，你能解决吗？楼上灯有两种：甲种灯下一个大球，下缀两个小球；乙种灯下一个大球，下缀四个小球。大球共三十六个，小球共一百二十个。问甲乙两种灯各有多少盏？【答案】甲12盏；乙24盏【解析】【分析】假设都是甲种灯，那么小球就有36×2＝72（个），比实际少了120－72＝48（个）每盏甲种灯比每盏乙种灯少4－2＝2（个），乙种灯的数量就是：48÷（4－2）＝24（盏）；甲种灯是36－24＝12（盏）；据此列式解答。【详解】（120－36×2）÷（4－2）＝（120－72）÷（4－2）＝48÷2＝24（盏）36－24＝12（盏）答：甲种灯有12盏，乙种灯有24盏。【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，用假设法解答。17.古诗中，五言绝句和七言绝句都是四句诗，五言绝句每句都是五个字，七言绝句每句都是七个字。磨头小学在诵读经典活动中，给每位同学选定了一些诗，已知五言绝句和七言绝句共20首，五言绝句和七言绝句共464个字（题目除外），请你算一算两种诗各多少首？【答案】五言绝句有12首，七言绝句有8首【解析】【分析】由题意可知：五言绝句每首诗是4×5＝20个字，七言绝句每首诗是4×7＝28个字；假设均是五言绝句，则应有20×20＝400个字，比实际少464－400＝64个字，少的字数是将七言绝句的每首诗看成20个字来计算，每首诗比实际少算28－20＝8个字，所以七言绝句有64÷8＝8首，五言绝句有20－8＝12首；据此解答。【详解】4×5＝20（个）4×7＝28（个）七言绝句：（464－20×20）÷（28－20）＝（464－400）÷8＝64÷8＝8（首）20－8＝12（首）答：五言绝句有12首，七言绝句有8首。【点睛】本题主要考查鸡兔同笼问题，解题时通常采用假设法进行解答。18.“夕阳红”活动中心有象棋和跳棋共24副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，正好可以供100人进行活动。“夕阳红”活动中心的象棋和跳棋各有多少副？【答案】11副；13副【解析】【分析】设象棋有x副，则跳棋有（24－x）副，根据象棋数量×玩的人数＋跳棋数量×玩的人数＝总人数，列出方程求出x的值是象棋数量，总数量－象棋数量＝跳棋数量。【详解】解：设象棋有x副。2x＋6（24－x）＝1002x＋144－6x＝1004x÷4＝44÷4x＝1124－11＝13（副）答：“夕