提优点12　概率与函数、导数

板块五概率与统计提优点12概率与函数、导数知识拓展概率与函数、导数的综合问题主要涉及概率、均值的最值，解题的关键是搞清各数据、各事件之间的联系，建立相应的数学模型，利用函数、导数或不等式求解.精准强化练类型一利用函数、导数求最值类型二利用作商法求概率的最值类型突破类型一利用函数、导数求最值(2024·台州模拟)台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费xi(单位：百万元)和年销售量yi(单位：百分辆)关系如图所示.令vi＝lnxi(i＝1，2，…，5)，数据经过初步处理得例1设模型①和②的相关系数分别为r1，r2.所以|r1|<|r2|，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.(2)根据(1)的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的经验回归方程，并预测年广告费为6(百万元)时，产品的年销售量是多少？因此当年广告费为6(百万元)时，产品的销售量大概是13(百万辆).(3)该公司生产的电动车毛利润为每辆200元(不含广告费、研发经费).该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量ξ影响，设随机变量ξ服从正态分布N(600，σ2)，且满足P(ξ>800)＝0.3.在(2)的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000(百万元)的概率.(年净利润＝毛利润×年销售量－年广告费－年研发经费－随机变量).净利润为200×(5lnx＋4)－200x－ξ(x>0)，令g(x)＝200×(5lnx＋4)－200x－ξ，可得y＝g(x)在(0，5)上为增函数，在(5，＋∞)上为减函数.所以g(x)max＝g(5)＝200×(5ln5＋4－5)－ξ≈1400－ξ，由题意得1400－ξ>1000，即ξ<400，P(ξ<400)＝P(ξ>800)＝0.3，即该公司年净利润大于1000(百万元)的概率为0.3.构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制.易错提醒(2024·汕头模拟)2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.训练1假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴(不妨设n颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)颗番石榴，自第k＋1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设k＝tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为p.(1)若n＝4，k＝2，求p；当n＝4，k＝2时，依题意，4颗番石榴的位置从第1个到第4个排序，有以下两种情况：当1≤i≤k时，最大的番石榴在前k颗中，不会被摘到，此时P(A|Bi)＝0；当k＋1≤i≤n时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前i－1颗番石榴中的最大一个在前k颗之中时，类型二利用作商法求概率的最值(2024·抚顺模拟)某市共有教师1000名，为了解老师们的寒假研修情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习”APP学习的时长数据(单位：小时)：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35，学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”.(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有2名教师是研修先进个人的概率.例2设“抽取的3名教师中恰有2名教师是研修先进个人”为事件A.(2)若该市所有教师的学习时长X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ＝10，μ为抽取的10名教师学习时长的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数(结果四舍五入到整数)；所以0.84135×1000≈841，所以，估计学习时长不低于50小时的教师人数为841.②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在[50，70]内，则n为何值时，P(ξ＝10)的值最大？附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.每名教师的学习时长在[50，70]内的概率为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，由题意可知ξ～B(n，0.6827)，所以当n≤13时，f(n＋1)>f(n)，所以当n≥14时，f(n＋1)<f(n)，所以当n＝14时，f(n)最大，即使P(ξ＝10)最大的n的值为14.求概率的最值，利用函数或导数不易求其最值时，可利用作商法判断概率表达式的单调性，从而求出其最值.规律方法某家畜研究机构发现每头成年牛感染H型疾病的概率是p(0<p<1)，且每头成年牛是否感染H型疾病相互独立.(1)记10头成年牛中恰有3头感染H型疾病的概率是f(p)，求当概率p取何值时，f(p)有最大值？训练2依题意，10头成年牛中恰有3头感染H型疾病的概率是令f′(p)＝0，结合0<p<1，解得p＝0.3.则当p∈(0，0.3)时，f′(p)>0；当p∈(0.3，1)时，f′(p)<0.即函数f(p)在(0，0.3)上单调递增，在(0.3，1)上单调递减，故当概率p＝0.3时，f(p)有最大值.(2)若以(1)中确定的p值作为感染H型疾病的概率，设10头成年牛中恰有k头感染H型疾病的概率是g(k)，求当k为何值时，g(k)有最大值？10头成年牛中恰有k头感染H型疾病的概率是当3.3－k<0，即k>3.3(k≤10，且k∈N)时，g(k)<g(k－1)，于是g(0)<g(1)<g(2)<g(3)，g(3)>g(4)>…>g(10)，所以当k＝3时，g(k)有最大值.【精准强化练】1.(2024·邵阳模拟)为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试)，共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.∵10×(0.012＋0.026＋0.032＋a＋0.010)＝1，∴a＝0.02.(1)根据频率分布直方图，求a的值及样本平均数的估计值；样本平均数的估计值为50×0.12＋60×0.26＋70×0.32＋80×0.2＋90×0.1＝69.∵μ＝69，σ＝10.5，(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ为样本平均数的估计值，σ＝10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；∴能参加复试的人数约为40000×0.02275＝910(人).2.(2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.

某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立. (1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；设A1＝“甲、乙所在队进入第二阶段”，则P(A1)＝1－(1－0.4)3＝0.784.设A2＝“乙在第二阶段至少得5分”，则P(A2)＝1－(1－0.5)3＝0.875.设A3＝“甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分”，则P(A3)＝P(A1)·P(A2)＝0.686.设甲参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P甲，(2)假设0<p<q.①为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？则P甲＝[1－(1－p)3]·q3＝pq3·(3－3p＋p2).设乙参加第一阶段比赛时甲、乙所在队得15分的概率为P乙，则P乙＝[1－(1－q)3]·p3＝qp3·(3－3q＋q2).则P甲－P乙＝pq(3q2－3pq2＋p2q2－3p2＋3p2q－p2q2)＝3pq(q－p)·(p＋q－pq)，由0<p<q≤1，得q－p>0，p＋q－pq＝p＋q(1－p)>0，所以P甲－P乙>0，即P甲>P乙.故应该由甲参加第一阶段比赛.②为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？若甲参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15.P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3，所以E(X)＝[1－(1－p)3]·[15q(1－q)2＋30q2·(1－q)＋15q3]＝[1－(1－p)3]·15q＝15pq(p2－3p＋3).若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，