创新点6　解析几何中的融合创新问题

板块六平面解析几何创新点6解析几何中的融合创新问题高考定位解析几何创新问题的表现形式有：(1)与其他数学知识融合，如立体几何、导数等；(2)定义新的解析几何概念，如距离、曲线等.解决解析几何创新题理解新定义是基础、计算是关键.精准强化练题型一解析几何与数列、立体几何高度融合题型二曲率与曲率半径问题题型三解析几何新定义问题题型突破题型一解析几何与数列、立体几何高度融合例1(2024·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0<k<1.按照如下公式依次构造点Pn(n＝2，3，…)：过点Pn－1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn－1，令Pn为Qn－1关于y轴的对称点.记Pn的坐标为(xn，yn).本题考查的是对解析几何和数列知识的综合应用，第(2)问利用固定斜率的直线与双曲线交点的性质得出结论，第(3)问将面积相等问题转化为两条直线的平行问题.规律方法训练1即平面A′F1F2⊥平面F1F2B′，交线为F1F2，A′O⊂平面A′F1F2，所以A′O⊥平面F1F2B′，因为F2B′⊂平面F1F2B′，所以A′O⊥F2B′.②求平面A′F1F2和平面A′B′F2所成角的余弦值；以O为坐标原点，折叠后的y轴负半轴为x轴，原x轴为y轴，原y轴正半轴为z轴，建立空间直角坐标系，设折叠前A(x1，y1)，B(x2，y2)，折叠后对应的A′(x1，y1，0)，B′(x2，0，－y2)，设直线l方程为my＝x＋1，

题型二曲率与曲率半径问题例2(2024·温州二模)如图，对于曲线Γ，存在圆C满足如下条件：①圆C与曲线Γ有公共点A，且圆心在曲线Γ凹的一侧；②圆C与曲线Γ在点A处有相同的切线；(1)求抛物线y＝x2在原点处的曲率圆的方程；记f(x)＝x2，设抛物线y＝x2在原点处的曲率圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，其中b为曲率半径.设曲线y＝f(x)在(x0，y0)的曲率半径为r，则(3)若曲线y＝ex在(x1，ex1)和(x2，ex2)(x1≠x2)处有相同的曲率半径，求证：x1＋x2<－ln2.规律方法训练2题型三解析几何新定义问题例3(2024·石家庄调研)在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的“距离”为|AB|＝|x2－x1|＋|y2－y1|，我们把到两定点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)的“距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫“椭圆”.(1)求“椭圆”的方程；设“椭圆”上任意一点为P(x，y)，则|PF1|＋|PF2|＝2a，即|x＋c|＋|y|＋|x－c|＋|y|＝2a，即|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a(a>c>0)，所以“椭圆”的方程为|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a(a>c>0).(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；由方程|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a，得2|y|＝2a－|x＋c|－|x－c|，因为|y|≥0，所以2a－|x＋c|－|x－c|≥0，即2a≥|x＋c|＋|x－c|，将点(x，－y)代入得，|x＋c|＋|x－c|＋2|－y|＝2a，即|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a，方程不变，所以“椭圆”关于x轴对称，将点(－x，－y)代入得，|－x＋c|＋|－x－c|＋2|－y|＝2a，即|x＋c|＋|x－c|＋2|y|＝2a，方程不变，所以“椭圆”关于原点对称，所以“椭圆”关于x轴，y轴，原点对称.(3)设c＝1，a＝2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C，C的左顶点为A，过F2作直线交C于M，N两点，△AMN的外心为Q，求证：直线OQ与MN的斜率之积为定值.1.题干中定义“椭圆”的距离：|AB|＝|x2－x1|＋|y2－y1|称为曼哈顿距离，平面内到一个定点的曼哈顿距离等于定值的点的轨迹是一个正方形，到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹是一个六边形.2.解决与曼哈顿距离有关的问题一般要利用绝对值的意义求解.规律方法训练3(2024·长沙二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x＝ty＋1表示过点(1，0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆C1：x2＋y2＝1是直线族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包络曲线，求m，n满足的关系式；

(2)若点P(x0，y0)不在直线族Ω：(2a－4)x＋4y＋(a－2)2＝0(a∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族Ω的包络曲线E；点P(x0，y0)不在直线族Ω：(2a－4)x＋4y＋(a－2)2＝0(a∈R)的任意一条直线上，所以无论a取何值时，(2a－4)x0＋4y0＋(a－2)2＝0无解.将(2a－4)x0＋4y0＋(a－2)2＝0整理成关于a的一元二次方程，即a2＋(2x0－4)a＋(4＋4y0－4x0)＝0.(3)在(2)的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线l1，l2，其交点为P.已知点C(0，1)，若A，B，C三点不共线，探究∠PCA＝∠PCB是否成立？请说明理由.得到PA′＝PC，即∠PA′A＝∠PCA.同理可知∠PB′B＝∠PCB，PB′＝PC，所以PA′＝PC＝PB′，即∠PA′B′＝∠PB′A′.则∠PA′A＝∠PA′B′＋90°＝∠PB′A′＋90°＝∠PB′B，所以∠PCA＝∠PCB成立.【精准强化练】(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d(M，N).①若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当△PAB的面积最大时，求d(M，N)；当l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m，②若d(M，N)，d(N，M)均存在，记两者中的较大者为H(M，N).已知H(X，Y)，H(Y，Z)，H(X，Z)均存在，证明：H(X，Z)＋H(Y，Z)≥H(X，Y).因为H(X，Y)，H(Y，Z)，H(X，Z)均存在，设点X1，X2∈X，Y1，Y2∈Y，Z1，Z2∈Z，且

H(X，Z)＝|X1Z1|，H(Y，Z)＝|Y1Z2|，H(X，Y)＝|X2Y2|，设Y2是集合Y中到X2的最近点，根据对称性，不妨设H(X，Y)＝d(X，Y)＝|X2Y2|，令点X2到集合Z的最近点为Z3，点Z3到集合Y的最近点为Y3，因为|X1Z1|是集合X中所有点到集合Z最近点距离的最大值，则|X1Z1|≥|X2Z3|，因为|Y1Z2|是集合Y中所有点到集合Z最近点距离的最大值，则|Y1Z2|≥|Y3Z3|，因此H(X，Z)＋H(Y，Z)＝|X1Z1|＋|Y1Z2|≥|X2Z3|＋|Y3Z3|，而在坐标平面中，|X2Z3|＋|Y3Z3|≥|X2Y3|，又点Y2是集合Y中到点X2的最近点，则|X2Y3|≥|X2Y2|，所以H(X，Z)＋H(Y，Z)≥H(X，Y).2.(2024·沈阳三模)设抛物线C：x2＝2py(p>0)，过点M(0，4)的直线与C交于A，B两点，且OA⊥OB.若抛物线C的焦点为F，记△AOB，△AOF的面积分别为S△AOB，S△AOF. (1)求S△AOB＋2S△AOF的最小值.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k1x＋4，(2)设点D(1，－4)，直线AD与抛物线C的另一交点为E，求证：直线BE过定点.于是x1＋x3＋16＝x1x3，又x1x2＝－16，联立消去x1，得x2x3＋16(x2＋x3)－16＝0，设直线BE：y＝k2x＋m，

整理得x2－4k2x－4m＝0，x2x3＝－4m，x2＋x3＝4k2，因此－4m＋64k2－16＝0，m＝16k2－4，直线y＝k2x＋16k2－4恒过定点(－16，－4).(3)我国古代南北朝数学家祖暅所提出的祖暅原理是“幂势既同，则积不容异”，即：