提优点14　圆锥曲线中的二级结论

板块六平面解析几何提优点14圆锥曲线中的二级结论知识拓展精准强化练类型一椭圆、双曲线焦点三角形的面积类型二焦半径的数量关系类型三抛物线中二级结论的应用类型突破类型四圆锥曲线的切线、切点弦问题类型一椭圆、双曲线焦点三角形的面积例1√设△F1PF2的内切圆的半径为r，因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，1.要注意结论中∠F1PF2＝θ.2.不要混淆椭圆与双曲线中焦点三角形的面积公式.易错提醒训练1√设|PF1|＝m，|PF2|＝n，当线段PF1的中点落到y轴上时，又O为F1F2的中点，所以PF2∥y轴，即PF2⊥x轴.类型二焦半径的数量关系例2如图，令|F2B|＝t，则|AF2|＝2t，∴|AB|＝3t，|F1B|＝3t，又|F1B|－|F2B|＝2a，∴3t－t＝2a，∴t＝a，公式的前提是直线AB过焦点F，焦点F不在直线AB上时，公式不成立.易错提醒则|AB|＝________，cos∠F1AB＝________.训练2由椭圆方程知a＝4，b＝2，|AF2|＝2，类型三抛物线中二级结论的应用已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为A.16 B.14 C.12

D.10例3√当且仅当sin2θ＝cos2θ，即sinθ＝cosθ，易错提醒训练3延长AF交抛物线于点D，易知B，D关于x轴对称.设O为坐标原点，直线AF的倾斜角为α，所以∠BFO＝∠DFO＝∠AFx＝α，又∠AFB＝60°，所以α＝60°，分别过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A1，B1，类型四圆锥曲线的切线、切点弦问题(多选)设A，B为抛物线C：y＝x2上两个不同的点，且直线AB过抛物线C的焦点F，分别以A，B为切点作抛物线C的切线，两条切线交于点P.则下列结论正确的有A.点P一定在抛物线C的准线上B.AP⊥BPC.PF⊥ABD.△PAB的面积有最大值无最小值例4√√√设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线AP的方程为y1＋y＝2xx1，切线BP的方程为y＋y2＝2x2x，所以点P在准线上，故A正确；由A可知，直线AP的斜率为2x1，直线BP的斜率为2x2，2x1·2x2＝4x1x2＝－1，所以AP⊥BP，B正确；当k＝0时，S△PAB有最小值，无最大值，故D错误，故选ABC.开口向上或向下的抛物线在某点处的切线方程可通过求导的方法来解决.规律方法训练4√【精准强化练】√1.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为√易知当点P位于椭圆的左顶点或右顶点时，∠F1PF2最大，√3.(2024·泉州调研)已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为C上一点，若|MF|＝8，则△MOF的面积为法一抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝－2.设M(x0，y0)，由抛物线的定义可知，点M到焦点F(2，0)的距离等于其到准线x＝－2的距离，所以|MF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6.因为点M(x0，y0)在抛物线C：y2＝8x上，法二因为抛物线C：y2＝8x关于x轴对称，所以不妨设点M在x轴上方，直线FM的倾斜角为θ，√作出图形如图所示，√且曲线l过抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，设直线FA的倾斜角为θ，即∠AFx＝θ，所以∠OFB＝θ，所以直线FB的倾斜角为π－θ，又∠AFB＝π－2θ，√√√√∴选项B正确；若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，即C上存在四个点P使得△PF1F2的面积为b2，若|PF1|≤2b恒成立，∴a＋c≤2b，∴a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，∴5e2＋2e－3≤0，y2＝2x∴p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x.如图.设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，因为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F(c，0)，10.如图所示，已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)过点(2，4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0.过圆心C2的直线l与抛物线C1和圆C2分别交于P，Q，M，N，则|PM|＋4|QN|的最小值为________.13由题设知，16＝2p×2，则2p＝8，故抛物线的标准方程为y2＝8x，则焦点F(2，0)，由直线PQ过抛物线的焦点，