提优点16　圆锥曲线的切线与光学性质

板块六平面解析几何提优点16圆锥曲线的切线与光学性质高考定位1.抛物线的光学性质(1)如图1所示，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线；反之，平行于抛物线对称轴的一系列光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点.抛物线这种聚焦特性成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择.例如探照灯、卫星通讯像碗一样接收或发射天线，太阳能热水器.(2)如图2所示，设抛物线在P处的切线l交对称轴于点Q，PM⊥切线l交对称轴于点M，则焦点F是QM的中点.精准强化练类型一解决反射与入射问题类型二解决距离之和的最值或范围类型三解决与切线相关的问题类型突破类型一解决反射与入射问题(2024·杭州调研)设抛物线C：y2＝x，一光线从点A(5，2)射出，平行C的对称轴，射在C上的P点，经过反射后，又射到C上的Q点，则P点的坐标为__________，Q点的坐标为___________.例1如图，直线AP平行于对称轴且A(5，2)，(4，2)1.解决反射与入射问题都要抓住光线过焦点这个性质.2.涉及线段长度问题要注意利用圆锥曲线的定义.规律方法训练120因为A(3，0)为该椭圆的一个焦点，所以自A(3，0)射出的光线AB反射后，反射光线BC定过另一个焦点A′(－3，0)，故△ABC的周长为|AB|＋|BA′|＋|A′C|＋|CA|＝4a＝4×5＝20.类型二解决距离之和的最值或范围例2法一|PF1|＋|PQ|＝2a－|PF2|＋|PQ|＝10＋(|PQ|－|PF2|)，即问题转化为求|PQ|－|PF2|的最大值与最小值，因为两边之差小于第三边，因此当P，Q，F三点一线时，取得|PQ|－|PF2|的最大值与最小值，即在P1处取得最小值，P2处取得最大值，法二根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从F1射出被椭圆反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的.这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射(如图，光线从F1→P1→Q)，二是被下半椭圆反射(如图，光线从F1→P2→F2→Q)1.注意利用圆锥曲线的定义解题；2.要考虑全面，不要漏掉其中一种情况(如例2中光的两种反射路线).易错提醒训练2根据双曲线的光学性质，如图，连接F1Q，交双曲线的右支于点P，类型三解决与切线相关的问题例3l的距离为________.如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点A1，O1，B1，由光学性质可知MN平分∠AMB，∠B1MB＝∠A1MA，则∠A1AM＝∠AMN＝∠BMN＝∠B1BM，规律方法训练3如图，延长PF2交F1M延长线于点N，2由题意可得△PF1M≌△PNM，所以|PN|＝|PF1|，且M为F1N的中点，又点O为F1F2的中点，且|PF1|－|PF2|＝2a＝4，【精准强化练】√不妨设双曲线的标准方程为x2－y2＝1，设|PF2|＝m，则|PF1|＝2＋m(m>0).√设抛物线方程为y2＝2px，所以抛物线方程为y2＝4x，焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由题意可得，直线AB的方程为可得y2＋3y－4＝0，√3.(2024·成都诊断)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P(m，n)(n2<4m)射入，经过抛物线上的点A(x1，y1)反射后，再经抛物线上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，则直线l1与l2间的距离最小值为 A.2

B.4 C.8 D.16由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点F(1，0)，设直线AB的方程为x＝ty＋1，将直线AB的方程代入y2＝4x中，得y2－4ty－4＝0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，当t＝0时，d取最小值4，故选B.√连接AF1，BF1，由题意可知A，D，F1三点共线，B，C，F1三点共线，即|AB|∶|AF1|∶|BF1|＝4∶3∶5，可设|AB|＝4k，|AF1|＝3k，|BF1|＝5k，由|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，则4k＋3k＋5k＝4a，即3k＝a，|AF2|＝2a－|AF1|＝3k，在Rt△AF1F2中，√如图，由椭圆的光学性质可得M，A，F1三点共线.设|BF2|＝x，则|BF1|＝2a－x，|MF1|＝|AF1|＋|MA|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋x.√√√对于B，若m⊥n，则∠F1PF2＝90°.因为P在双曲线右支上，所以|F1P|－|F2P|＝4.由勾股定理得|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2.设左、右顶点分别为A，B.7.(2024·青岛模拟)抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于x轴的光线l1从点M射入，经过抛物线C：y2＝8x上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线l2射出，经过点N，则√√√A.若l1的方程为y＝2，则|PQ|＝8B.若l1的方程为y＝2，∠PQM＝∠MQN，则M(13，2)C.延长PO，与NQ交于点D，则点D在C的准线上D.抛物线C在点P处的切线分别与直线FP，l1所成角相等对于A，B，若l1的方程为y＝2，直线l2的方程为y＝－8，若∠PQM＝∠MQN，则点M在∠PQN的平分线上，点M到直线PQ和到直线l2的距离相等，由a>0，解得a＝13，所以M(13，2)，B正确；对于C，抛物线C：y2＝8x，焦点坐标F(2，0)，准线方程x＝－2，由y1≠y2，得y1y2＝－16，即点D横坐标为－2，所以点D在C的准线上，C正确；对于D，设抛物线C在点P处的切线为l，且l与x轴交于点T，在l上的P点右侧取一点S(如图)，由抛物线的光学性质可得∠SPM＝∠TPF，即抛物线C在P处的切线分别与PF，l1所成角相等，D正确.8.(2024·石家庄调研)根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的对称轴，已知抛物线y2＝2x，若从点Q(3，2)发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则|AB|

＝________.由条件可知AQ与x轴平行，令yA＝2，可得xA＝2，故A点坐标为(2，2)，得8x2－17x＋2＝0，8如图，根据题意，小球从点A出发，经椭圆反射经过点B继续前行，碰到点Q后回到点A，根据椭圆的定义，小球所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，因为a2＝4⇒a＝2，所以小球经过的路程为4×2＝8.[7，47]根据椭圆定义得|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|MN|＋|MF1|＝|MN|－|MF2|＋2a≤|NF2|＋2a，因为|MN|＋|MF1|的最大值为6，右焦点F2(1，0)关于直线的对称点P(x1，y1)，设切点为A，由椭圆的光学性质可得P，A，F1三点共线，所以|F1P|＝