提优点17　解析几何中的同构技巧

板块六平面解析几何提优点17解析几何中的同构技巧知识拓展1.数学中的同构式是指变量不同，但结构相同的两个表达式.解析几何中，常有一些点、直线、方程具有相同的特征，将这些“形”的共性坐标化.根据式子结构的相似性，对其进行代数变形的统一构造处理，就是同构.2.解析几何中的同构主要有：(1)点、直线的同构，(2)方程的同构.3.同构的关键在于发现代数式子结构的相似性.精准强化练类型一一次式同构类型二二次同构类型突破类型一一次式同构如图，设点P(x0，y0)在直线x＝m(y≠±m，0<m<1)上，过点P作双曲线x2－y2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB过某一个定点.例1设A(x1，y1)，B(x2，y2)，PA的斜率为k，x2－[kx＋(－kx1＋y1)]2＝1，整理可得(1－k2)x2－2k(y1－kx1)x－(y1－kx1)2－1＝0，∵PA与双曲线相切，∴Δ＝4k2(y1－kx1)2＋4(1－k2)(y1－kx1)2＋4(1－k2)＝0，∴4(y1－kx1)2＋4(1－k2)＝0，∵P(m，y0)在切线PA，PB上，∴A，B满足直线方程y0y＝mx－1，是两点唯一确定的一条直线，∴AB：y0y＝mx－1，规律方法(2024·金华调研改编)已知抛物线C：x2＝4y(p>0)，与圆M：x2＋(y＋4)2＝1.若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.训练1设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，同理，可知直线PB的方程为x2x－2y2－2y＝0.由于点P为这两条直线的公共点，所以点A，B的坐标满足方程x0x－2y－2y0＝0，所以直线AB的方程为x0x－2y－2y0＝0.可得x2－2x0x＋4y0＝0，则x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，－5≤y0≤－3，类型二二次同构(2024·安阳模拟)已知集合Q＝{(x，y)|0<ax2－by2<1(a>0，b>0)}，双曲线C上的所有点构成集合P＝{(x，y)|ax2－by2＝1(a>0，b>0)}，坐标平面内任意点N(x0，y0)，直线l：ax0x－by0y＝1称为点N关于双曲线C的“相关直线”.(1)若N∈P，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；例2直线l与双曲线C相切.理由如下：∴直线l与双曲线C相切.(2)若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：N∈Q；∵直线l与双曲线C的一支有2个交点，代入双曲线C：ax2－by2＝1，又M在l上，即ax0x1－by0y1＝1，1.若出现两个结构相同的一元二次方程时，说明此两方程的未知数是对应的一元二次方程的两根.2.根据两同构方程未知数(即元)的意义，常见的二次方程同构有两点坐标同构、两直线斜率同构、截距同构、定比分点同构等.规律方法训练2由|AP|·S2＝|BP|·S1，因此sin∠APQ＝sin∠BPQ，而∠APQ＋∠BPQ＝∠ABP∈(0，π)，有∠APQ＝∠BPQ，于是PQ平分∠APB，直线AP，BP的斜率kAP，kBP互为相反数，即kAP＋kBP＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0，由①－②得2x0(x2－x1)＝4y0(y2－y1)，【精准强化练】1.如图，已知抛物线C：x2＝4y，P(1，－2)为抛物线外一点，过点P向抛物线引两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程.化简可得AP：x1x－2y－2y1＝0，同理可得直线BP：x2x－2y－2y2＝0，又因为P(1，－2)在直线PA，PB上，故直线AB的方程为x－2y＋4＝0.2.过坐标原点O作圆C：(x＋2)2＋y2＝3的两条切线，设切点为P，Q，直线PQ恰为抛物线E：y2＝2px