微专题35　最值、范围问题

板块六平面解析几何微专题35最值、范围问题高考定位解析几何中的最值与范围问题是解析几何中的典型问题，是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究，而且要从代数角度进行函数等相关运算.【难点突破】抛物线的焦点为F(1，0).由题意知直线MN的斜率不可能为0，∴设MN的方程为x＝my＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴Δ＝16m2＋16t>0，即m2＋t>0，由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t，高考真题∴(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝0，即(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(my1＋t－1)(my2＋t－1)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋m(t－1)(y1＋y2)＋(t－1)2＝(m2＋1)(－4t)＋m(t－1)·4m＋(t－1)2＝0，即－4m2t－4t＋4m2t－4m2＋t2－2t＋1＝0，即4m2＝t2－6t＋1.∵4m2＝t2－6t＋1≥0，样题1所以F1(－1，0)，F2(1，0)，当直线l的斜率为0时，|AB|＝2a＝4，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，易得Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)>0，因为m2≥0，所以3m2＋4≥4，综上，3≤|AB|≤4，即|AB|的取值范围是[3，4].(2024·温州模拟)已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，抛物线上的点A(x0，y0)处的切线为l.(1)求l的方程(用x0，y0表示)；样题2(2)若直线l与y轴交于点B，直线AF与抛物线交于点C，若∠ACB为钝角，求y0的取值范围.易知F(0，1)，B(0，－y0).设直线AF：y＝kx＋1，C(x1，y1)，代入抛物线方程得x2－4kx－4＝0，样题3由c2＝a2＋b2，解得b＝4，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为x＝my＋3，消去x，得(4m2－1)y2＋24my＋20＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线AP，AQ的斜率分别为kAP，kAQ，(2)过点D分别作直线AP，AQ的垂线，垂足分别为M，N，记△ADM，△ADN的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值.设直线AP的方程为y＝k(x＋2)，求解范围、最值问题的常见方法(1)利用判别式来构造不等关系.(2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系.(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式.(4)利用基本不等式.规律方法(2024·南昌模拟)已知点F(1，0)，P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.(1)求C的方程；训练化简得y2＝4x，所以C的方程为y2＝4x.(2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时，求l的方程.由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的倾斜角为θ，则|AM|＝|AF||tanθ|，|BN|＝|BF||tanθ|，所以|AM|＋|BN|＝|AF||tanθ|＋|BF||tanθ|＝|AB||tanθ|＝|AB||k|.四边形MANB的面积S＝S△ABM＋S△ABN设t＝|k|>0，【精准强化练】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又M(0，m)，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.∵Δ＝(8km)2－4×(4k2＋1)×(4m2－4)>0，即64k2－16m2＋16>0，∴4k2－m2＋1>0，即16k2m2－4k2＋m2－1＝0，设PD中点M(x0，y0)，则D(2x0＋1，2y0)，因为点Q在线段AB上，所以点D只能在右半椭圆上运动，所以0<2x0＋1≤a，设直线CD的方程为y＝k(x＋1)，|k|<1，C(x1，y1)，D(x2，y2).(2)记直线AC，AD的斜率分别为k1，k2，求k1－k2的最小值.得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4(k2－1)＝0，(1)求椭圆C的方程；设点A(x0，y0)，当直线AB，AD的斜率都存在时，设直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，(2)求椭圆C的外切矩形ABCD的面积S的最大值.设过点A且斜率存在的直线的方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx＋(y0－kx0)，可得(4k2＋1)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－4＝0，则Δ＝64k2(y0－kx0)2－16(4k2＋1)[(y0－kx0)2－1]＝0，整理可得(y0－kx0)2－4k2－1＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2＝5，由对称性可知，矩形ABCD的四个顶点都在圆x2＋y2＝5上，由基本不等式可得20＝|AB|2＋|AD|2≥2|AB|·|AD|，即|AB|·|AD|≤10，故S＝|AB|·|AD|≤10，即矩形ABCD的面积的最大值为10.设椭圆C的焦距为2c，由题意得c＝1.如图，因为F(1，0)，(2)若线段AB的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P，Q，M为线段AB的中