2024-2025学年重庆市南岸区南坪中学高一（下）5月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市南岸区南坪中学高一（下）5月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=11+i，则复数z共轭复数的虚部为(

)A.−1 B.1 C.−12 2.已知|a|=2，|b|=3，|a+b|=A.π3 B.π6 C.2π33.钝角△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知a=1，b=3，A=30°，则C=(

)A.30° B.45° C.60° D.30°或90°4.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论不正确的是(

)A.圆柱的侧面积为4πR2 B.三个几何体的表面积中，球的表面积最小

C.圆锥的侧面积为55.如果θ角的终边经过点(−35,45A.−43 B.43 C.36.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为3(a2+A.π2 B.π3 C.π47.在△ABC中，BC=3BD，CF=2FA，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若AP=mA.37 B.47 C.678.在三棱锥S−ABC中，底面△ABC为斜边AC=22的等腰直角三角形，顶点S在底面ABC上的射影为AC的中点.若SA=2，E为线段AB上的一个动点，则SE+CE的最小值为(

)A.6+2 B.23二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设α，β为两个平面，m、n为两条直线，且α∩β=m.下述四个命题为真命题的有(

)A.若m//n，则n//α且n//βB.若m//n，则n平行于平面α内的无数条直线

C.若n//α且n//β，则m//nD.若n在平面β外，则m与n平行或异面10.下列命题中正确的是(

)A.函数f(x)=ax−4+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(4,2)

B.命题：“∀x≥0，x2≥0”的否定是“∃x<0，x2<0”

C.函数y=x211.已知锐角△ABC，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，下列命题正确的是(

)A.“sinA>cosB”是“A+B>π2”的必要不充分条件

B.若a2tanB=b2tanA，则△ABC是等腰三角形

C.若a2=b2+bc三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知lg3=a，则lg30=______.(用a表示)13.四面体ABCD中，AC=22,BD=2，M、N分别为BC、AD的中点，MN=1，则异面直线AC与BD14.如图所示，有一块三角形的空地，∠ABC=7π12，BC=42千米，AB=4千米，则∠ACB=______；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B，D，E，其中D，E为AC边上的点，若使∠DBE=π6四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知z1=2−i是一元二次方程x2−px+q=0的一个复数根．

(1)求p−2q的值；

(2)若z216.(本小题15分)

由直四棱柱ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥C1−B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点．

(1)求证：A1O//平面B1CD117.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA=35．

(1)若△ABC的面积为3，求AB⋅AC的值；

(2)设m=(2sinB2,1)18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，点E为线段PD的中点．

(1)求证：PB//平面AEC；

(2)求证：AE⊥平面PCD；

(3)求三棱锥E−PAC的体积．19.(本小题17分)

如图，△ABC中，AB=2，AC=1，点D在线段BC上，△ABE为等边三角形．

(1)若CD=2DB，∠CAB=120°，求线段AD的长度；

(2)若CD=2DB，求线段DE的最大值；

(3)若AD平分∠BAC，求△ACD

参考答案1.D

2.A

3.A

4.B

5.B

6.D

7.A

8.A

9.BC

10.ACD

11.BCD

12.a+1

13.π414.π6

8(15.解：(1)由题意，(2−i)2−p(2−i)+q=0，即3−2p+q+(p−4)i=0，解得p=4，q=5，

所以p−2q=−6；

(2)由题意，a2−5a+4=0且a−4≠0，解得a=1，z2=−3i，

则z1z2=(2−i)(−3i)=−3−6i．

16.证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，

∵ABCD−A1B1C1D1是直四棱柱，

∴A1O1//OC且A1O1=OC，

∴四边形A1OCO1为平行四边形，

∴A1O//O1C，

又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，

∴A1O//平面B1CD1．

(2)∵BB1//AA1且BB1=AA1，AA1//DD1且AA1=DD1，

17.解：(1)因为cosA=35，所以sinA=45

则S△ABC=12|AB|⋅|AC|sinA=25|AB|⋅|AC|=3，即|AB|⋅|AC|=152，

又cosA=AB⋅AC|AB|⋅|AC|18.解：(1)证明：如图，设BD∩AC=O，连接EO，

易知O为BD中点，又E为PD的中点，

所以OE//PB，又PB⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，

所以PB//平面AEC；

(2)证明：由点E为线段PD的中点，PA=AD，故AE⊥PD，

由PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD，

又底面ABCD是正方形，故AD⊥CD，

又AD、PA⊂平面PAD，AD∩PA=A，

故CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，

故CD⊥AE，又CD、PD⊂平面PCD，CD∩PD=D，

故AE⊥平面PCD；

(3)因为点E为线段PD的中点，

所以VA−PCE=19.解：(1)因为CD=2DB,∠CAB=120°，

所以AD=AC+CD=AC+23CB=AC+23(AB−AC)=23AB+13AC，

即|AD|2=49|AB|2+49AB⋅AC+19|AC|2，

所以|AD|2=49×4+49×2×1×(−12)+19×1=1