吉林省松原市2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷(含详解)

2024~2025学年度高一下学期期中考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数满足，则（）A． B． C． D．2．已知向量，，若，则（）A． B． C． D．13．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为6，那么的面积为（）A． B． C． D．4．已知平面，且，，则直线，的关系为（）A．不可能相交 B．一定异面C．一定平行 D．相交、平行或异面都有可能5．已知圆锥的母线长为2，轴截面面积为，则圆锥的侧面积为（）A． B．或 C． D．或6．在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，则此三角形（）A．无解 B．有一解 C．解的个数不确定 D．有两解7．如图，为了测量河对面，两建筑物之间的距离，小胡同学在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两建筑物之间的距离为（）A．米 B．米C．米 D．米8．如图所示，在正方体中，，分别为，上的中点，且，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为（）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法正确的是（）A．复数在复平面中对应的点在第三象限 B．的虚部为C． D．10．下列说法不正确的是（）A．若直线平面，则与内任何直线都平行B．若直线，不共面，则，为异面直线C．若直线平面，平面平面，则D．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等11．在中，角，，的对边分别为，，，，角的角平分线交于点，，，则下列说法正确的是（）A． B．C．的面积为 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知平面向量，，满足，，且，则________．13．将一实心铁球放入圆柱形容器中（厚度忽略不计），铁球恰好与圆柱的内壁相切，且铁球的最高点与圆柱上底面在同一平面内，则铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为________．14．拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”．在中，已知，且，现以，，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的面积的最大值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分）已知复数，且为纯虚数．（1）求复数；（2）若复数，求复数的模．16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，交于点，点是棱上的一点，且平面．（1）求证：点是的中点；（2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由．17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，，，．（1）若，求实数，的值；（2）若，求实数的值．18．（本小题满分17分）如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点，．（1）若，求的值；（2）若，，求的最小值．19．（本小题满分17分）在中，设角，，所对的边分别为，，，已知，且三角形的外接圆半径为．（1）求的大小；（2）若的面积为，求的值；（3）设的外接圆圆心为，且满足，求的值．

参考答案、提示及评分细则题号12345678答案BDAABDDA题号91011答案ACACDAC一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】由题意，，则，故选B．2．【答案】D【解析】，，∵，∴，即，∴．故选D．3．【答案】A【解析】由，则，如图，作出还原后，则，故，所以．故选A．4．【答案】A【解析】由平面，且，可知直线，没有公共点，故它们一定不相交，即可能是平行或异面．故选A．5．【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则，且，解得或，所以圆锥的侧面积为或，故选B．6．【答案】D【解析】由正弦定理，得，解得．因为，所以．又因为，所以或，故此三角形有两解．故选D．7．【答案】D【解析】由题意知，，，所以，在中，由正弦定理，得，解得，又，，所以，，又，在中，由余弦定理，得，解得，所以，两建筑物之间的距离为米．故选D．8．【答案】A【解析】如图所示，作交于点，作交于点，连接，∵，，，∴平面平面，又∵点是正方形内的动点，∴点在线段上，即轨迹．故选A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】AC【解析】，在复平面中对应的点在第三象限，故A正确；的虚部为5，故B错误；，故C正确；虚数不能比较大小．故D错误，故选AC．10．【答案】ACD11．【答案】AC【解析】由余弦定理得，即，所以，又，所以，，解得．在中，，故A正确；在中，，解得．故B错误；，故C正确；，解得，故D错误，故选AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】【解析】依题意，，而，．且，则，所以．13．【答案】【解析】设铁球的半径为，则圆柱的高为，所以铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为．14．【答案】【解析】设的三个内角，，的对边分别为，，．由题设得，，∴，，故．在中，由余弦定理可得，，即，又．∴，即（等号当时成立），故．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意得，2分∵是纯虚数，∴，，4分∴，∴；6分（2），9分∴，∴，11分∴．13分16．【答案】（1）详见解析（2）存在点，使得平面平面，此时，证明见解析【解析】（1）因为四边形是平行四边形，则点是的中点，因为平面，平面平面，平面，所以，4分所以，所以点是的中点；7分（2）存在点，使得平面平面，此时，9分因为点是的中点，所以，所以，又四边形是平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面．11分在中，点是的中点，，所以，又平面，平面，所以平面，13分又，平面，所以平面平面．15分17．【答案】（1），（2）1【解析】（1）由，有，2分有4分解得故，；7分（2）由，9分，11分又由，有，解得，故．15分18．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以．2分因为是线段的中点，所以，4分设．则有，5分因为，，三点共线，所以，6分解得，即，所以，所以；8分（2）因为，同理可得，由（1）可知，，所以，因为，，三点共线，所以，即，12分所以，14分当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．17