2.5 指数与指数函数 课件-2025届高三数学三轮专项复习

2.5指数与指数函数考点指数与指数函数1.指数幂的运算(1)根式n次方根概念如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N*性质当n是奇数时,a的n次方根为x=

当n是偶数时,正数a的n次方根为x=±

,负数没有偶次方根0的任何次方根都是0,记作

=0根式概念式子

叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数性质当n为奇数时,

=a当n为偶数时,

=|a|=

(2)分数指数幂及指数幂的运算性质分数指数幂正分数指数幂:

=

a>0,m,n∈N*,n>1负分数指数幂:

=

=

0的正分数指数幂等于0,0的负分

数指数幂没有意义指数幂的运算性质ar·as=ar+sa>0,b>0,r,s∈R(ar)s=ars(ab)r=arbr2.指数函数的图象与性质(1)指数函数的概念函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.提醒

形如y=kax,y=ax+k(k∈R且k≠0,a>0且a≠1)的函数叫做指数型函数,不是指数函数.(2)指数函数的图象与性质

a>10<a<1图象

定义域R值域(0,+∞)性质过定点(0,1),即当x=0时,y=1当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数提示

1.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a),

,依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象.2.函数y=ax与y=

(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.3.在直线x=1的右侧,指数函数的图象越高,其底数的值越大.如图所示,其中0<d<c<1<b<

a.

即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)

=(

)n=a.

(

)(2)若函数f(x)是指数函数,且f(1)>1,则f(x)是增函数.

(

)(3)指数函数的图象一定在x轴上方.

(

)2.若函数f(x)=(a2-1)·ax为指数函数,则a=

.3.若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=

.4.若a>0且a≠1,则函数f(x)=ax+1-1的图象恒过点的坐标为

.×√√2或(-1,0)题型一指数函数的图象及应用典例1已知指数函数y=

的图象如图所示,则一次函数y=ax+b的图象可能是

(

)

C解析

由指数函数的图象可知0<

<1,排除选项B,若a,b均为正数,则a>b>0,根据一次函数的性质得此时函数y=ax+b的图象过第一、二、三象限,即C符合题意,D不符合题意;若a,b均

为负数,则a<b<0,此时函数y=ax+b的图象过第二、三、四象限,选项A不符合题意.故选

C.变式训练1-1

(条件结论变式)函数f(x)=|2x-1|的图象与直线y=m有两个不同的交点,则m

的取值范围为

.(0,1)解析

作出f(x)的图象与直线y=m,如图所示.由图可知,若直线y=m与f(x)的图象有两个不同的

交点,则m∈(0,1).

归纳总结

对于指数(型)函数的问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平

移、伸缩、对称变换得到所求函数的图象.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应

注意分类讨论.题型二指数函数的性质及应用角度1比较指数式的大小

典例2比较下列两组数的大小:(1)(-2.5

和(-2.5

;(2)0.4-2.5,2-0.2,2.51.6.解析

(1)(-2.5

=2.

,(-2.5

=

,∵y=2.5x在R上为增函数,且

>

,∴2.

>2.

,即(-2.5

>(-2.5

.(2)∵0.4-2.5=2.52.5,y=2.5x在R上为增函数,且2.5>1.6>0,∴2.52.5>2.51.6>1,又2-0.2<20=1,∴0.4-2.5>2.51.6>2-0.2.变式训练2-1

(结论拓展变式)(2023天津,3,5分)设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大

小关系为

(

)A.a<b<c

B.b<a<cC.c<b<a

D.c<a<bD解析

∵f(x)=1.01x单调递增,∴f(0.5)<f(0.6),即a<b.∵g(x)=x0.5单调递增,∴g(1.01)>g(0.6),即a>c,∴b>a>c,故选D.角度2解简单的指数方程或不等式1.解指数方程或不等式的依据(1)af(x)=ag(x)(a>0且a≠1)⇔f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),当a>1时,等价于f(x)>g(x);当0<a<1时,等价于f(x)<g(x).2.解指数不等式的方法先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用函数单调性转化为一般不等式求解.典例3若不等式

<

恒成立,则实数a的取值范围是

(

)A.(-1,0)

B.

C.

D.

B解析

不等式

<

恒成立,即

<

恒成立,由指数函数y=

的单调性得x2-2ax>-(3x+a2)恒成立,即x2+(3-2a)x+a2>0恒成立,所以Δ=(3-2a)2-4a2<0,解得a>

,所以实数a的取值范围是

,故选B.变式训练2-2

(关键元素变式)不等式10x-6x-3x≥1的解集为

.

[1,+∞)解析

将10x-6x-3x≥1两边同除以10x,可得

+

+

≤1.(将不等式一侧变形为多个单调性相同的函数之和,得到函数单调性是解题的关键)令f(x)=

+

+

,则f(x)在R上单调递减,且f(1)=1,故不等式10x-6x-3x≥1的解集为[1,+∞).角度3指数函数性质的综合应用1.指数型复合函数的单调性问题形如函数y=af(x)(a>0且a≠1)的单调性,单调区间与f(x)的单调性,单调区间有关:(1)若a>1,则函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y=af(x)的单调递增(减)区间;(2)若0<a<1,则函数f(x)的单调递增(减)区间即函数y=af(x)的单调递减(增)区间.2.与指数函数有关的函数奇偶性问题(1)利用函数奇偶性的定义解决相关问题.(2)记住几种常见的具有奇偶性的特殊函数:①f(x)=ax+a-x是偶函数,②f(x)=ax-a-x是奇函数,③f(x)=

是奇函数.其中a>0且a≠1.典例4

(2025届吉林长春东北师大附中开学考,18)已知函数f(x)=

(a∈R).(1)若函数f(x)为奇函数,求a的值;(2)当a=3时,用函数单调性的定义证明:函数f(x)=

在R上单调递增;(3)若函数y=f(x)-2x有两个不同的零点,求a的取值范围.解析

(1)函数的定义域为R.由f(0)=0,得a=1,此时f(x)=

.因为f(-x)=

=

=-f(x),所以f(x)为奇函数,故a=1.(2)证明:当a=3时,f(x)=

=3-

.

把解析式化成f(x)=3-

有利于单调性的判定

任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=

-

=

,因为x1<x2,所以

<

,又

+1>0,

+1>0,所以

<0,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)=

在R上单调递增.(3)y=f(x)-2x有两个不同的零点等价于(2x)2+(1-a)2x+1=0有两个不同的实数解.令t=2x(t>0),则t2+(1-a)t+1=0在(0,+∞)上有两个不同的实数解,所以

解得a>3.所以a的取值范围为(3,+∞).变式训练2-3

(逆