2025年苏科版2024七年级下学期数学《与一元一次不等式有关的新定义问题》拓展提优讲义-

2025年苏科版(2024）七年级下学期数学《与一元一次不等式有关的新定义问题》拓展提优讲义一、考点概述新定义概念：题目中会给出一个全新的关于一元一次不等式的定义，例如定义一种新的不等式符号及其运算规则，或者定义一个与一元一次不等式相关的新概念，如“和谐不等式”“友好解集”等，要求学生根据新定义来判断一些不等式是否符合条件，或者求解满足新定义的不等式的解集。新定义运算：规定一种新的运算方式，该运算与一元一次不等式相结合。比如定义给出一个关于x的不等式，让学生按照新定义将其转化为常规的一元一次不等式进行求解。阅读理解与应用：给出一段关于一元一次不等式的应用背景或解题过程的文字描述，要求学生阅读理解其中的数学思想和方法，然后运用类似的思路解决相关问题。例如，给出一个实际生活中的不等式模型，如购物优惠问题、工程进度问题等，让学生理解题意后列出不等式并求解，或者根据给定的不等式解法步骤，模仿解决其他类似的不等式。二、解题策略理解新定义：仔细阅读题目中给出的新定义内容，抓住关键信息和运算规则，将新定义转化为自己熟悉的数学语言和概念。可以通过举例、代入特殊值等方法来加深对新定义的理解。转化为常规问题：根据新定义，将所给的问题转化为常规的一元一次不等式问题。这可能涉及到对不等式进行变形、求解等操作，需要熟练掌握一元一次不等式的基本性质和求解方法。阅读理解分析：对于阅读理解类问题，要认真阅读给定的材料，分析其中的解题思路和方法，找出规律和共性。注意理解材料中的关键语句和数学关系，将其应用到自己的解题过程中。检验与反思：求出答案后，要将结果代入原问题中进行检验，看是否符合新定义和题目的要求。同时，要反思解题过程，总结经验教训，提高解决此类问题的能力。考点一定义新运算例1、对于，定义一种新运算，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算．(1)_______；________．(2)解不等式组；(3)若关于的不等式的最大整数解为，则________．答案．(1)(2)(3)【详解】（1）解：由题意可得，，，故答案为：（2）由题意可知可化为解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集是（3）由题意可得，解得，∵关于的不等式的最大整数解为，∴解得∵为整数，∴故答案为：变式、【阅读材料】材料一：对于实数x，y定义一种新运算K，规定：（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；．已知：；．材料二：“已知x，y均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法：∵，∴，∵x，y是非负数，∴即，∴，∵，∴，∴．【回答问题】(1)求出a和b的值；(2)已知x，y均为非负数，，求的取值范围；(3)已知x，y，z都为非负数，，，求的最大值和最小值．答案、(1)(2)(3)最大值和最小值【详解】（1）解：∵；，，∴，∴解方程组得：；（2）∵，，，是非负数，即，，∵，∴，．（3）∵，，而，∴，解得：，∵，，都为非负数，∴，解得：，∴；当时，，当时，．考点二定义新概念例2、【定义新知】给定两个不等式P和Q，若不等式P的任意一个解，都是不等式Q的一个解，则称不等式P为不等式Q的“子集”．例如：不等式P：是Q：的子集．同理，给定两个不等式组M和N，若不等式组M的任意一个解，都是不等式组N的一个解，则称不等式组M为不等式组N的“子集”．例如：不等式组M：是不等式组N：的子集．【新知应用】(1)请写出不等式的一个子集；(2)若不等式组A：，不等式组B：，则其中不等式组是不等式组M：的“子集”（填：A或B）；(3)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是；(4)若a，b，c，d为互不相等的整数，，，下列三个不等式组D：，E：，F：，满足：D是E的“子集”且E是F的“子集”，则的值为；(5)已知不等式组G：有解，且不等式组H：是不等式组G的“子集”，且m，n为正整数，则的最大值为．答案．(1)（答案不唯一）(2)A(3)(4)120(5)【详解】（1）解：∵的任意一个解都是不等式的一个解，∴不等式的一个子集为：．（答案不唯一）．故答案为：．（答案不唯一）．（2）解：解不等式组A得：；解不等式组B得：；解不等式组M得：．∵不等式组A的任意一个解，都是不等式组M的一个解，∴不等式组A是不等式组M：的“子集”．故答案为：A．（3）解：∵不等式组的解集为：，关于x的不等式组是不等式组的“子集”，∴关于x的不等式组的解集为．且．∴．故答案为：．（4）解：∵E：，F：，E是F的“子集”，a，b，c，d为互不相等的整数，∴．∴．∵D是E的“子集”，D：，∴．∴．∴．故答案为：120．（5）解：∵不等式组G：有解，∴解集为：．∵不等式组H：是不等式组G的“子集”，∴．解得：．∵m，n为正整数，求的最大值，∴m最大为2，n最小为10．∴的最大值为．故答案为：．变式1、我们定义，关于同一个未知数的不等式和，两个不等式的解集相同，则称与为同解不等式．(1)若关于的不等式，不等式是同解不等式，求的值；(2)若关于的不等式，不等式是同解不等式，其中，是正整数，求，的值；(3)若关于的不等式，不等式是同解不等式，试求关于的不等式的解集．答案．(1)(2)，或；，或，(3)【详解】（1）解：解关于的不等式，得，解不等式，得，由题意得：，解得：．（2）解：解不等式，得：，不等式得：，，，，是正整数，为1或4或2，，或；，或，．（3）解：解不等式，得：，由得，由两个不等式是同解不等式，故，且，，，，故，解得，，，故，故，解得，的解为：．变式2、【定义】若一元一次不等式①的解都不是一元一次不等式②的解，则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“相斥不等式”．例如：不等式的解都不是不等式的解，则是的“相斥不等式”．【应用】(1)在不等式①，②，③中，是的“相斥不等式”的有______（填序号）；(2)若关于x的不等式是的“相斥不等式”，同时也是的“相斥不等式”，求a的取值范围；(3)若是关于x的不等式（k是非零常数）的“相斥不等式”，求k的取值范围．答案．(1)①③(2)(3)【详解】（1）解：∵的解都不是的解，∴是的“相斥不等式”；∵的解有可能是的解，∴不是的“相斥不等式”；∵的解都不是的解，∴是的“相斥不等式”；故答案为：①③；（2）解：解不等式得，解不等式得，解不等式得，根据“相斥不等式”的定义得，解得：；（3）解：∵是关于的不等式的“相斥不等式”，∴（因为k小于0时不等式的解集是大于等于某个数），解不等式得，∴，解得：．变式3、定义：我们把不等式组解集中的整数叫做这个不等式组的“核”，把解集中整数的个数称为该不等式组的“核数”．例如，不等式组的解集中存在0，1，2，3这4个“核”，这个不等式组的“核数”为4．(1)下列不等式组中，“核数”为2的有________（只填序号）①

②

③(2)不等式组的“核数”为a，不等式组的“核数”为b．①若，求整数k的值．②若关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，直接写出整数k的值．答案．(1)①(2)①整数的值为；②整数的值为2【详解】（1）解：的解集中存在0，1这2个“核”，这个不等式组的“核数”为2；的解集中存在无数个“核”，这个不等式组的“核数”为无限；的解集中存在2这1个“核”，这个不等式组的“核数”为1；故答案为：①；（2）解：①，不等式组的解集中有3个“核”，这个不等式组的“核数”为3；故，，不等式组的“核数”为3，即不等式组的整数解有3个，，解得，则整数的值为；②根据题意可得，①+③得，，解得，把代入③得，，得，把，代入②可得，即，由，得，关于m，y，z的三元一次方程组的解是正数，则，，，即，是不等式组的“核数”，为整数，，不等式组的整数解有6个，，解得，则整数的值为2．变式4、我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”．(1)不等式______的“和谐不等式”：（填“是”或“不是”）．(2)若关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围；(3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围．答案．(1)不是(2)(3)或【详解】（1）解：根据“和谐不等式”的定义可知：不等式与没有公共整数解，∴不等式不是的“和谐不等式”，故答案为：不是（2）解：解不等式可得，解不等式得，∵关于x的不等式不是的“和谐不等式”，∴，解得．故m的取值范围是；（3）解：解不等式得，解不等式得，①当，即时，，此时不等式与不等式总有公共整数解，∴时，不等式与不等式总是互为“和谐不等式”②当，即时，，∵不等式与不等式互为“和谐不等式”，∴，解得，∴，综上，n的取值范围为：或．变式5、阅读理解：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值，称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，例：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”．问题解决：（1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）；①；②；③（2）若关于x，y的方程组与不等式有“理想解”，求a的取值范围；（3）若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围．答案．（1）①②；（2）；（3）【详解】解：（1）解得，①当时，成立，即是方程与不等式的“理想解”；②当时，成立，即是方程与不等式的“理想解”；③当时，，但，即不是方程与不等式组的“理想解”；故答案为①②；（2）将方程组中的两个方程组相加，得，即，∵该方程组与不等式有“理想解”，∴，解得；（3）解方程组得，∵该方程组与不等式的“理想解”均为正数∴，即，解得．一、选择题1．定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值为（

）A． B． C．1 D．22．对于实数，定义一种运算“”：，那么不等式组，的解在数轴上表示为（

）A． B．C． D．3．定义，例如：，若，则非负整数的值有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个4．定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如，，，若则x的取值范围是（

）A． B．或 C． D．5．定义新运算：对于任意实数，都有，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如，那么不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．定义：如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解，那么称一元一次不等式①是一元一次不等式②的蕴含不等式．例如：不等式的解都是不等式的解，则是的蕴含不等式．若是的蕴含不等式，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．7．对，定义一种新的运算，规定，若关于正数的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．若定义一种新的取整符号，即表示不小于的最小整数．例如：，．则下列结论正确的是（

）①；②；③方程的解有无数多个；④当时，则的值为0、1或；⑤若，则的取值范围．A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤二、填空题9．定义新运算“”，规定：．若关于的不等式的解集为，则的值．10．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．已知，则x的取值范围为．11．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式的解，则称该一元一次方程为该不等式的相伴方程，若方程是关于x的不等式的相伴方程，则m的最大值为．12．定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：，，．（1）如果，那么a的取值范围是；（2）如果，满足条件的所有正整数x为．13．定义新运算“※”如下：当时，；当时，．例如：，，若，则的取值范围是．14．定义：把的值叫做不等式组的“长度”，若关于x的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为．15．对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是．16．定义：若一元一次不等式组的解集（不含无解）都在一元一次不等式的解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：不等式组的解集为，不等式的解为，∵在的范围内，∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”．若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，则k的取值范围是．三、解答题17．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：，例如，．(1)若，求x的取值范围．(2)若不等式组的解集为，求m的取值范围．18．定义：表示不大于的最大整数，如．我们把满足(为常数)的的取值范围叫作的核心范围，如的的核心范围为，的的核心范围为．(1)请直接写出：_______，若，则的核心范围是_______．(2)若关于的不等式组有且只有三个正整数解，请写出这三个正整数解，并求出的取值范围．19．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如．根据这个规则，解决下列问题．(1)___________．(2)解不等式：．(3)求不等式的最大整数解．20．阅读下面的材料：对于有理数，我们定义符号的意义如下：当时，；当时，．例如：，．根据上面的材料回答下列问题：(1)_______；(2)当时，求的取值范围．21．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“浯溪水亦香方程”．例如的解为，不等式组的解集为，因为，所以方程为不等式组，的“浯溪水亦香方程”．(1)方程是下列哪些不等式组的______“浯溪水亦香方程”：（填序号）①；②；③．(2)若关于的方程是不等式组的“浯溪水亦香方程”，求的取值范围；(3)若方程，都是关于的不等式组的“浯溪水亦香方程”，其中，求的取值范围．22．【阅读理解】的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2．（1）可理解为______；我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集．【理解运用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式：由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或．（2）①不等式的解集是______；②不等式的解集是______；【拓展探究】（2）请求出绝对值不等式的解集．23．定义：若一个方程（组）的解也是一个一元一次不等式的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式的“友好解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”．(1)方程的解一元一次不等式的“友好解”；（填“是”或“不是”）(2)若关于x，y的方程组的解是不等式的“友好解”，求k的取值范围；(3)方程的解是不等式的“友好解”，求m的最小整数值．24．阅读与思考下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．关于“关联方程”的研究报告智慧小组研究对象：关联方程研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究．研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明研究内容：【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）．任务：(1)补全报告中横线处内容______．(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值．25．定义：三个关于x的整式A、B、C，若的解集为，则称它们构成“不等式”例如：三个整式，，有：当时的解集为，则称，，构成“不等式”．(1)整式，，1可以构成“不等式”吗？请说明理由；(2)若三个关于x的整式，x，，可以构成“不等式”，求a的值；(3)若三个整式，，构成“不等式”，求关于x的不等式组的解集．参考答案1．B【分析】本题考查了新定义计算在不等式中的运用，根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式，根据解集列方程即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵关于x的不等式的解集为，∴，∴．故选：B．2．A【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据定义的新运算可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．【详解】解：由题意得：，解不等式①得：，解不等式②得：，原不等式组的解集为，原不等式组的解集在数轴上表示如图所示：故选：A．3．B【分析】本题考查定义新运算，求一元一次不等式的整数解，先根据新定义，列出不等式，进而求出不等式的解集即可．【详解】解：由题意，得：，整理，得：，解得：，∴非负整数的值有，共4个；故选B．4．C【分析】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．先根据题意分两种情况：当时，当时，列出不等式，解不等式即可得出答案．【详解】解：当时，，解不等式得：，解不等式得：∴；当时，，解不等式得：，解不等式得：，∴此时无解；综上分析可知：x的取值范围是．故选：C．5．A【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，正确理解新定义是解题的关键．根据新定义得到，再解不等式即可．【详解】解：由题意，得：，解得：，故选：A．6．B【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的技能和蕴含不等式的定义是解题的关键．先解不等式，再根据新定义的含义建立不等式求解即可．【详解】解：∵，∴，解得：，∵是的蕴含不等式，∴，∴，故选B7．B【分析】分两种情况讨论：①；②，再分别根据新定义运算的含义建立不等式组，再解答即可．【详解】解：①若，由得，解，得：，与不符，舍去；②若，由得，解得，不等式组恰好有个整数解，，解得，故选：B．【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，根据不等式组的整数解求解参数的取值范围，理解新定义运算的含义，再建立不等式组是解本题的关键．8．C【分析】①根据取整函数的定义，直接求出值；②取特殊值验证；③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解；④分情况讨论，验证的所有取值；⑤把方程问题转化为不等式问题；．【详解】解：由题意得：，故①结论正确；设，其中a是x的整数部分，b是x的小数部分，∴，故②结论不正确；设，其中a是x的整数部分，b是x的小数部分则方程可变形为：，解得：，∵a的值不能够确定，∴方程有无数多个解，故③结论正确；当时，，即，∴当时，，∴；当时，，即，∴；当时，，即，∴，故④结论不正确．∵，∴，解得：，∴⑤结论正确；故正确的为①③⑤故选：C．【点睛】本题考查了取整函数与一元一次不等式，解题的关键在于能够把取整数的等式，转化为一元一次不等式问题去解决．9．【分析】本题考查根据不等式的解集求参数的值，根据新定义，列出不等式，求出不等式的解集，得到关于的方程，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：，解得：，∵，∴，∴；故答案为：．10．或【分析】此题考查了解一元一次不等式组．分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】解：由题意得：，或，解不等式组，得，即；解不等式组，得，即；的取值范围为或．故答案为：或．11．3【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题关键．先解一元一次方程可得，再代入不等式即可得．【详解】解：，，，∵方程是关于的不等式的相伴方程，∴，∴，∴的最大值为3，故答案为：3．12．/5，6，7【分析】本题考查了新定义，求不等式组的解集，理解新定义的含义是解答本题的关键．（1）根据定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数，即可解答；（2）根据定义：对于实数a，符号表示不大于a的最大整数，先求出x的取值范围，然后在其范围内找出满足条件的所有正整数即可．【详解】解：（1）∵，∴a的取值范围是：，故答案为：；（2）由题意得：，解得：，∴满足条件的所有正整数x为：5，6，7．故答案为：5，6，7．13．【分析】本题主要考查了解不等式，新定义运算，解题的关键是根据题意列出不等式，注意进行分类讨论．先根据题意分两种情况：当时，当时，列出不等式，解不等式即可得出答案．【详解】解：当时，，解不等式得：，解不等式得：∴；当时，，解不等式得：，解不等式得：，∴此时无解；综上分析可知：x的取值范围是．故答案为：．14．【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．解不等式组求得不等式组的解集为，根据题意得出，即可得到不等式组的解集为，即可求得．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式组的解集为，∵原不等式组的解集的“长度”为3，∴，∴，∴原不等式组的解集为，∴该不等式组的整数解为，∴该不等式组的整数解之和为．故答案为：15．【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，理解新定义运算的运算法则是本题的关键．根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出的取值范围．【详解】解：根据题意得，解不等式①，得：，解不等式②，得：，则不等式组的解集为，∵不等式组的解集中有3个整数解，，解得：，故答案为：．16．/【分析】本题考查了解一元一次不等式组的知识，先解出不等式组的解集，再根据题干“子集”的定义，得出关于k的不等式，问题随之得解．【详解】解：解不等式组得，．又关于x的不等式的解集为：，∵关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，∴．∴．故答案为：．17．(1)(2)【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．（1）根据新定义可得不等式，解之即可得到答案；（2）根据新定义可得不等式，即为，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集即可求出m的取值范围．【详解】（1）解：∵，∴，解得；（2）解：∵，∴，∴，解得，∵不等式组的解集为，∴，∴．18．(1)，(2)1，2，3；【分析】本题考查了一元一次不等式组的解以及一元一次不等式组的整数解，理解新定义是解题的关键；（1）根据新定义以及核心范围的定义，即可求出结论；（2）由，可求出，结合原不等式组只有三个整数解，即可找出的取值范围；【详解】（1）解：，若，则的核心范围是故答案为：，．（2）解：因为，所以．因为有且只有三个正整数解，所以整数解应为1，2，3．所以19．(1)(2)(3)不等式的最大整数解是：【分析】本题考查的是解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键．（1）根据所给的运算列出式子计算即可；（2）根据所给的运算列出关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可；（3）根据所给的运算列出关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可．【详解】（1）解：∵新定义，∴，故答案为：．（2）解：∵新定义，∴为：，解得：．（3）解：∵新定义，∴不等式为：，解得：∴不等式的最大整数解为：．20．(1)(2)【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．（1）根据新定义可得答案；（2）根据新定义得出，再解之即可得出答案．【详解】（1）解：∵，故答案为：；（2），，，，，∴的取值范围．21．(1)③；(2)；(3)．【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于和的不等式组是解此题的关键．（1）先计算方程的解为，分别计算不等式的解，比较即可求解；（2）解不等式组得，求解方程，进而求解；（3）分别解方程，解方程，根据题意分为两种情况，求解即可；【详解】（1）解：，解得：；，解得：，，不符合题意；，该不等式无解，不符合题意；，解得：；，方程是的“浯溪水亦香方程”；故答案为：（2）解：解不等式组得：．解方程得：，∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”，∴，解得：，即的取值范围是；（3）解：解方程，得，解方程得，∵方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，，所以分为两种情况：①当时，不等式组为，此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；②当时，不等式组