专题04 勾股定理（六大题型60题）（原卷版）2

专题04勾股定理（六大题型，60题）（原卷版）目录TOC\o"1-1"\h\u一、题型一：勾股数问题，难度三星，10题 1二、题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积，难度四星，10题 2三、题型三：勾股定理与折叠问题，难度四星，10题 5四、题型四：勾股定理的证明方法，难度三星，10题 8五、题型五：以弦图为背景的计算题，难度四星，10题 11六、题型六：用勾股定理构造图形解决问题，难度三星，10题 14一、题型一：勾股数问题，难度三星，10题1．（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）下列各组数中是勾股数的是（

）A．2，3，4 B．10，14，15 C．8，11，12 D．6，8，102．（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）在下列各组数中，是勾股数的一组是（

）A． B．4，5，6 C． D．10，24，263．（22-23八年级·广东茂名·期中）下列各组数中，不是勾股数的是（

）A．5，12，13 B．6，8，10 C．12，16，20 D．4．（23-24八年级·四川巴中·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：，，；，，；，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差的一类勾股数，如：，，；，，；若此类勾股数的勾为（，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（

）A． B． C． D．5．（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（

）A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，136．（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）下列各组数中，不是勾股数的是（）A． B． C． D．7．（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）下列各组数是勾股数的是（

）A．1.5，2，2.5 B．，， C．3，4，5 D．，，8．（21-22八年级·河南郑州·期末）下列各组数中，是勾股数的是（

）A．0.6，0.8，1 B．，， C．6，8，10 D．1，2，9．（23-24八年级·河北承德·期末）如图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图1，一个边长为a的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，面积分别为6和8，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形，则a的值为；再经过一次“生长”后变成了图2．如此继续“生长”下去，第2024次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积之和为（填数字）．10．（23-24八年级·湖北恩施·期末）观察下列表格中数组的规律．组别数字等式13，4，525，12，1337，24，2549，40，41………根据上表的规律，写出第组的三个数字满足的等式：．二、题型二：以直角三角形三边为边长的图形面积，难度四星，10题11．（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为10，则的长为（

）A． B． C． D．12．（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，则，，之间的关系为(

)A． B．C． D．13．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）如图，在边长为6的正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别记为，，则的值为（

）A．6 B．12 C．16 D．1714．（22-23八年级下·贵州遵义·期中）有一个边长为1的大正方形，经过2次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图所示，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，那么“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是()A．2024 B．2023 C． D．15．（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，在中，于点．分别以为边向外作正方形，得到较大的三个正方形的面积分别为，那么最小的正方形面积为（）A．5 B．6 C．7 D．16．（2024八年级·全国·竞赛）如图，分别以直角三角形的三边为直径的三个半圆的面积从小到大依次为，则之间的关系正确的是（

）

A．或 B．C． D．17．（23-24八年级·浙江湖州·期末）如图，在直角三角形中，，以，，为边作正方形，正方形，正方形．设的面积为，的面积为，的面积为，四边形CHET的面积为，四边形的面积为，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．18．（21-22八年级下·广西桂林·期中）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为4和9，则b的面积为．19．（23-24八年级·广东梅州·期末）如图，，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为．20．（23-24八年级·山东枣庄·期末）在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理．(2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明．三、题型三：勾股定理与折叠问题，难度四星，10题21．（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合在边上的同一点P处折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是(

)A． B．C． D．22．（23-24八年级·江苏徐州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，的顶点A在轴上，顶点在轴上，，，点的坐标为，点和点关于成轴对称，且交轴于点．则点的坐标为23．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，把折叠，使落在边所在的直线上，且点B的对应点为点，折痕为，则重叠部分（阴影部分）的面积是．24．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，一次函数分别与坐标轴交于，，点为轴上一点，把直线沿翻折，点刚好落在轴的负半轴上，则点的坐标为．25．（22-23八年级·浙江绍兴·期中）如图，是一张直角三角形的纸片，，，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为．26．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是．27．（23-24八年级·宁夏中卫·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，点在边上，将长方形沿折叠，若点的对应点恰好是边的三等分点，则点的坐标是．28．（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是．29．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．(1)求的长；(2)求的长．30．（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长．四、题型四：勾股定理的证明方法，难度三星，10题31．（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①②③④32．（23-24八年级·河北石家庄·期末）在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，可以利用面积验证勾股定理的是（

）甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以33．（23-24七年级·浙江宁波·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为．34．（23-24八年级·福建泉州·期末）把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是．35．（23-24八年级·浙江温州·期中）图1是一幅“青朱出入图”，运用“割补术”，通过三个正方形之间的面积转化证明勾股定理．如图2，小明连结后发现．（1）；（2）当四边形的面积为22时，正方形的面积为．36．（22-23八年级·四川成都·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，，，．(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：；(2)若直角三角形ABE的面积为54，，求小正方形EFGH的边长．37．（23-24八年级·江苏南京·期中）如图，，，垂足分别为，，交于点，，．(1)求证；(2)接，若，，，通过用不同方法计算四边形的面积，验证勾股定理．38．（23-24八年级·河南驻马店·期末）我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”．如图，大正方形由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，，，．

(1)请你利用这个图形，推导勾股定理：．(2)若直角三角形的面积为，，求小正方形的边长．39．（23-24八年级·四川乐山·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲！如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，斜边为c．(1)请利用“赵爽弦图”证明：；(2)若大正方形的面积为20，小正方形面积为4，求其中一个直角三角形的面积．40．（21-22八年级·河北石家庄·期末）【问题情境】上课时，小明用4张全等的直角三角形纸片拼成如图1的正方形．（1）利用此图可以验证勾股定理吗？如果可以，请写出验证过程，如果不可以，请说明理由；

【灵活运用】（2）现将图1中上方的两个直角三角形向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为；（3）用三张正方形纸片，按如图3所示方式构成图案，下面是三张正方形纸片面积的选取情况，若要使所围成的三角形是直角三角形，可以选取；(填序号)①1，2，3；②2，2，4；③3，4，5；④2，3，5．五、题型五：以弦图为背景的计算题，难度四星，10题41．（23-24八年级·浙江金华·期末）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．如图，外围四个小长方形的宽相等，且邻长互相垂直，对长互相平行．若的长是小长方形宽的2倍，内部小正方形面积为9，则最外围的大正方形的边长是（

）

A． B． C． D．42．（23-24八年级·四川成都·期中）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（

）A． B． C． D．43．（23-24八年级下·北京西城·开学考试）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”．已知，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．44．（23-24八年级·河南南阳·期末）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（

）A．5 B．6 C．7 D．845．（23-24八年级·浙江湖州·期末）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形．已知为较长直角边，问，当正方形的面积是小正方形面积的倍时，两条直角边与的数量关系是（

）．A． B．C． D．46．（23-24八年级·浙江温州·期中）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，分别在，上取点，，使得，得四边形．若大正方形的边长为，且，设四边形的面积为，正方形的面积为，则的值为（

）A． B． C． D．47．（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为6，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为．48．（23-24八年级·四川成都·期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．已知大正方形的边长为，小正方形的边长为1，连接四条线段得到如图2新的图案，则阴影部分的面积为．49．（23-24八年级·湖南长沙·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，在如图所示的弦图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．若，，则的面积为．50．（2024八年级·全国·竞赛）国际数学家大会的会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5．则中间小正方形的面积是．六、题型六：用勾股定理构造图形解决问题，难度三星，10题51．（23-24八年级·江苏南通·期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（

）A． B． C． D．52．（23-24七年级·山东烟台·期末）一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为，倒下后树顶落在距树根部大约处．这棵大树离地面约（

）米处折断A． B． C． D．53．（23-24八年级·广东河源·期末）如图，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台侧长，高的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为，则共需购买红地毯（

）

A． B． C． D．54．（23-24八年级·山东青岛·期中）勾股定理