多元视角下数学问题外部表征对初三学生解题能力的影响探究

多元视角下数学问题外部表征对初三学生解题能力的影响探究一、引言1.1研究背景与意义初三作为初中向高中过渡的关键时期，数学学习的重要性不言而喻。这一阶段的数学知识不仅在深度和广度上有了显著提升，涵盖了更为复杂的代数方程、几何图形以及函数等内容，而且对学生的思维能力提出了更高要求，需要学生从具体形象思维逐步向抽象逻辑思维转变。数学作为一门基础学科，对于学生的学业发展起着决定性作用，在中考中占据重要分值比例，直接影响学生进入高中的层次，进而关系到未来的高考以及长远的职业发展。问题解决能力是数学学习的核心能力之一，它贯穿于数学学习的全过程。具备良好的问题解决能力，学生能够灵活运用所学数学知识，将其迁移到各种复杂情境中，分析和解决实际问题。这不仅有助于提高学生的数学成绩，更能培养学生的逻辑思维、创新思维以及批判性思维，为学生未来在各个领域的学习和工作奠定坚实的基础。例如，在面对生活中的理财规划、工程设计、数据分析等问题时，数学问题解决能力能够帮助学生运用数学方法进行合理分析和决策。在数学问题解决过程中，外部表征方式扮演着至关重要的角色。数学问题的外部表征是指问题呈现的具体形式，如文字、符号、图表、实物模型等。不同的外部表征方式具有各自独特的特点和优势，能够从不同角度刺激学生的感官，影响学生对问题的理解和思考方式。例如，文字表征能够详细阐述问题的背景和条件，但可能较为冗长复杂，需要学生具备较强的阅读理解能力；符号表征简洁明了，能够准确表达数学关系，但对于一些抽象思维能力较弱的学生来说，可能理解起来存在困难；图表表征直观形象，能够清晰展示数量关系和空间结构，有助于学生快速把握问题的关键信息，但可能会遗漏一些细节信息。研究数学问题外部表征方式对初三学生问题解决的影响，具有重要的实践意义和理论意义。在实践方面，对于教师教学而言，深入了解不同外部表征方式对学生问题解决的影响，能够帮助教师根据教学内容和学生的实际情况，合理选择和设计问题的外部表征形式，优化教学方法和策略，提高课堂教学的针对性和有效性。例如，对于几何问题，教师可以多采用图表表征的方式，帮助学生直观地理解图形的性质和关系；对于代数问题，教师可以结合符号表征和文字表征，引导学生准确把握数量关系。同时，教师还可以根据学生对不同表征方式的反馈，及时调整教学进度和难度，满足学生的个性化学习需求，提升学生的数学学习兴趣和自信心。对于学生学习而言，了解数学问题外部表征方式与问题解决之间的关系，能够帮助学生认识到不同表征方式的特点和作用，学会根据问题的类型和自身的思维习惯，灵活选择合适的外部表征方式来理解和解决问题，提高问题解决的效率和准确性。这有助于学生掌握有效的学习方法，培养自主学习能力，促进数学思维的发展，为今后的数学学习和终身学习打下坚实的基础。从理论角度来看，尽管目前在数学教育领域已经对问题表征展开了一定的研究，但对于外部表征方式如何具体影响初三学生数学问题解决的内在机制，尚未形成系统且深入的认识。本研究旨在填补这一理论空白，通过实证研究深入探究不同外部表征方式在初三学生数学问题解决过程中的作用机制，揭示学生在面对不同表征方式时的认知过程和思维特点，丰富和完善数学教育心理学中关于问题表征与问题解决的理论体系，为数学教育研究提供新的视角和思路，推动数学教育理论的发展和创新。1.2国内外研究现状在数学教育领域，数学问题表征一直是研究的重要课题，而外部表征方式对学生数学问题解决的影响更是备受关注。国外对数学问题表征的研究起步较早，20世纪80年代，认知心理学的兴起为其提供了新视角与方法。Simon和Newell通过对问题解决过程的研究，提出“问题空间”理论，认为问题表征是在问题空间中对问题的初始状态、目标状态和操作算子的构建，为后续研究奠定了基础。Larkin和Simon提出数学问题的四种表征形式：文字表征、符号表征、图表表征和心理表征。文字表征依靠文字描述与理解问题，符号表征运用数学符号和公式表达，图表表征借助图形、表格等直观呈现信息，心理表征则是个体头脑中对问题的内在理解与认知结构。研究表明，不同表征形式在数学问题解决中作用和效果各异，学生应依据问题特点选择合适方式以提高解题效率。如在解决函数问题时，图表表征能直观呈现函数的变化趋势，帮助学生快速把握函数的性质，而符号表征则能精确地进行函数运算和推导。此后，众多学者围绕这四种表征形式展开深入研究。如在符号表征研究方面，Kieran的研究发现，学生在代数学习中对符号表征的理解和运用能力，直接影响他们对代数方程的求解和函数关系的把握。那些能够熟练运用符号进行推理和运算的学生，在解决代数问题时往往更加得心应手。在图表表征研究中，Tversky的研究表明，图表的布局、标注以及与问题内容的匹配程度，都会影响学生对图表信息的提取和利用，进而影响问题解决的效果。在数学问题表征与学生认知能力关系的研究上，Sternberg通过实验研究发现，学生的认知风格和能力水平会影响他们对问题表征方式的选择和运用。具有较强抽象思维能力的学生，在面对复杂数学问题时，更倾向于选择符号表征方式，能够快速将问题转化为数学符号进行分析和求解；而形象思维能力较强的学生，则更擅长运用图表表征方式，通过构建直观的图形来理解问题。国内对于数学问题表征的研究虽起步晚，但发展迅速。早期研究多集中于理论层面，对国外相关理论进行引入和梳理。随着研究深入，开始结合国内教学实际，开展实证研究。喻平通过对初中生数学问题解决过程的研究发现，学生在解决数学问题时，若能灵活运用多种外部表征方式，解题正确率和效率会显著提高。例如，在几何问题解决中，学生通过绘制辅助线、标注图形等图表表征方式，能够更好地理解图形的性质和关系，从而找到解题思路。吴增生在研究中指出，在初中数学教学中，教师应根据教学内容和学生特点，合理运用不同的外部表征方式，引导学生进行有效表征。如在讲解一元二次方程时，可以先通过实际问题的文字表征，让学生理解方程的应用背景，再引入符号表征，讲解方程的解法，最后通过图表表征，展示方程的根与系数的关系，帮助学生全面理解知识。然而，目前国内外研究仍存在一些不足。在研究内容上，虽然对不同外部表征方式的作用有一定探讨，但对于各种表征方式之间的相互转换和整合研究较少。实际问题解决中，学生往往需要在多种表征方式间灵活切换，如何促进这种转换，提高学生综合运用表征方式的能力，有待进一步研究。例如，在解决实际的数学应用问题时，学生可能需要先将文字信息转化为符号表征，再通过图表表征来辅助理解，最后又回到符号表征进行计算求解，但目前对于这种转换过程的内在机制和影响因素研究还不够深入。在研究对象上，针对初三学生这一特定群体，结合其面临中考的学习压力和数学知识掌握水平，深入探究外部表征方式对其问题解决影响的研究还不够充分。初三学生处于数学学习的关键转型期，面临着知识难度增加和中考压力，其在数学问题解决中对外部表征方式的需求和运用特点可能与其他阶段学生不同。在研究方法上，虽然实验研究、调查研究等方法被广泛应用，但方法的创新性和多样性仍需加强，且不同研究方法之间的整合运用还不够成熟，难以全面、深入地揭示外部表征方式对学生数学问题解决的影响机制。1.3研究方法与创新点本研究主要采用调查法、测试法和访谈法相结合的方式，全面深入地探究数学问题外部表征方式对初三学生问题解决的影响。调查法用于了解初三学生对不同数学问题外部表征方式的认知和偏好。通过精心设计调查问卷，内容涵盖学生对文字、符号、图表、实物模型等表征方式的熟悉程度、喜欢程度以及在日常学习中运用各种表征方式的频率等方面。问卷发放面向多个班级的初三学生，确保样本具有广泛的代表性。对回收的有效问卷进行数据统计和分析，运用统计软件计算各项数据的频率、均值、标准差等统计量，从而了解学生在不同维度上对外部表征方式的态度和行为倾向，为后续研究提供基础数据支持。测试法旨在通过实际的数学问题测试，考察学生在不同外部表征方式下的问题解决能力。选取具有代表性的数学问题，涵盖代数、几何、函数等多个知识领域，将这些问题分别以文字、符号、图表、实物模型等不同的外部表征方式呈现给学生。组织学生在规定时间内完成测试，记录学生的答题情况，包括答题的正确率、解题时间、解题思路等。对测试数据进行详细分析，比较学生在不同表征方式下的解题表现，运用方差分析、相关分析等统计方法，探究不同外部表征方式与学生解题成绩、解题时间之间的关系，以及学生解题思路在不同表征方式下的差异。访谈法作为辅助研究方法，用于深入了解学生在面对不同外部表征方式时的思考过程、困难和需求。根据测试结果和调查数据，选取具有典型性的学生进行访谈，包括解题成绩优秀和解题成绩较差的学生，以及对不同表征方式有明显偏好的学生。访谈过程采用半结构化的方式，围绕学生对不同表征方式的理解、感受、运用策略以及在解题过程中遇到的问题等方面展开。对访谈内容进行详细记录和整理，通过编码和主题分析的方法，提炼出学生在问题解决过程中对外部表征方式的深层次认知和体验，为研究提供丰富的质性数据，进一步补充和解释调查法和测试法所得到的结果。在研究视角上，本研究聚焦于初三这一初中数学学习的关键阶段，充分考虑到初三学生面临中考的特殊学习背景和心理状态，以及他们在数学知识掌握和思维发展上的阶段性特点。与以往对初中学生的笼统研究不同，专门针对初三学生展开研究，能够更精准地把握这一特定群体在数学问题解决中对外部表征方式的独特需求和运用规律，为初三数学教学提供更具针对性和时效性的建议。在研究方法的运用上，本研究创新性地将调查法、测试法和访谈法有机结合，充分发挥各种方法的优势，弥补单一方法的局限性。通过调查法从宏观层面了解学生对外部表征方式的整体认知和偏好；通过测试法从客观层面量化学生在不同表征方式下的问题解决能力；通过访谈法从微观层面深入挖掘学生的内心想法和思维过程。这种多方法的整合运用，能够从多个角度全面揭示数学问题外部表征方式对初三学生问题解决的影响机制，使研究结果更加丰富、全面、深入和可靠。二、相关概念与理论基础2.1数学问题表征的内涵数学问题表征是数学问题解决过程中的关键起始环节，对学生能否成功解决数学问题起着决定性作用。它是指学生在面对数学问题时，对问题信息进行提取、分析、整合以及转化为内部心理结构的过程。在这个过程中，学生需要理解问题所传达的信息，将其与已有的知识经验建立联系，从而构建出对问题的理解框架。例如，当学生遇到一道数学应用题时，他们需要仔细阅读题目，明确题目中的已知条件和所求问题，分析各个条件之间的关系，然后将这些信息转化为自己能够理解和运用的数学语言，这一系列的思维活动就是数学问题表征的过程。数学问题表征可分为内部表征和外部表征。内部表征是指个体在头脑中对问题信息进行加工、存储和组织的方式，是一种基于个人认知结构和思维方式的内在心理过程。它受到个体的知识储备、认知能力、思维习惯等多种因素的影响。例如，对于同一道数学问题，不同的学生可能会在头脑中形成不同的内部表征，有的学生可能会通过形象的思维方式，在脑海中构建出问题的情境画面；而有的学生则可能会运用抽象的逻辑思维，将问题转化为数学符号和公式进行思考。外部表征则是将问题信息以具体的形式呈现出来，包括文字、符号、图表、实物模型等。这些外部表征形式能够将抽象的数学问题变得更加直观、具体，有助于学生更好地理解问题和进行思考。不同的外部表征方式具有各自独特的特点和优势，在数学问题解决中发挥着不同的作用。文字表征是用自然语言对数学问题进行描述和表达。它能够详细地阐述问题的背景、条件和要求，使学生对问题有一个全面的了解。在数学应用题中，通常会使用大量的文字来描述问题情境，学生需要通过阅读文字，提取关键信息，理解问题的含义。然而，文字表征也存在一些局限性，由于文字表述可能较为冗长和复杂，学生在阅读和理解过程中容易受到语言理解能力的影响，可能会出现信息遗漏或误解的情况。符号表征是运用数学符号、公式、方程等对数学问题进行表示。它具有简洁、准确、抽象的特点，能够精确地表达数学概念、关系和运算。在代数问题中，符号表征被广泛应用，例如用“x+2=5”来表示一个简单的一元一次方程，通过符号运算可以快速求解出x的值。符号表征能够帮助学生进行逻辑推理和运算，但对于一些抽象思维能力较弱的学生来说，理解和运用符号可能会存在一定的困难。图表表征是借助图形、图像、表格等形式来呈现数学问题的信息。它具有直观、形象、可视化的特点，能够将复杂的数量关系和空间结构清晰地展示出来，有助于学生快速把握问题的关键信息，建立起问题的整体框架。在解决几何问题时，图表表征能够帮助学生直观地观察图形的特征和性质，找到解题的思路；在数据分析问题中，表格和统计图能够将数据进行有序的整理和呈现，使学生更容易发现数据之间的规律和趋势。实物模型表征是利用实际的物体或模型来表示数学问题，将抽象的数学概念和关系具象化。在学习立体几何时，使用正方体、球体等实物模型，学生可以通过观察和触摸模型，更加直观地理解立体图形的形状、大小和位置关系，增强对空间概念的认知。实物模型表征能够让学生从多个感官角度去感受和理解数学问题，但在实际应用中可能会受到模型制作和展示的限制。2.2初三学生数学学习与问题解决特点初三学生在数学知识储备上，经历了初一、初二阶段的学习积累，已掌握了较为系统的代数和几何基础知识。在代数方面，他们熟练掌握了有理数、实数的运算，整式、分式的化简与求值，以及一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程和不等式（组）的解法，能够运用方程和不等式解决一些实际问题。在函数部分，学生学习了一次函数、反比例函数和二次函数，了解函数的概念、图象和性质，能通过函数图象分析函数的变化规律，运用函数知识解决简单的实际应用问题。在几何领域，初三学生认识了点、线、面、角、三角形、四边形、圆等基本图形，掌握了这些图形的性质、判定定理以及相关的几何证明方法。他们能够运用勾股定理求解直角三角形的边长，利用相似三角形和全等三角形的性质和判定进行几何计算和证明，理解圆的基本性质，如圆周角定理、垂径定理等，并能解决与圆相关的几何问题。从思维发展阶段来看，初三学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键时期。他们开始能够运用抽象的概念、原理进行思考和推理，但在一定程度上仍需要具体事物或形象的支持。在解决数学问题时，对于一些直观、形象的问题，学生能够较快地理解和解决；而对于抽象程度较高的问题，如抽象的函数关系、复杂的几何证明等，学生可能会遇到困难，需要借助具体的例子、图形或模型来辅助理解。例如，在学习二次函数的最值问题时，学生通过绘制函数图象，能够更直观地理解函数在不同区间上的最值情况；在证明几何定理时，学生通过实际的图形操作和观察，能够更好地掌握定理的证明思路。初三学生在解决数学问题时，常见的表现和困难具有多方面的特点。在阅读理解方面，部分学生在面对文字较多、背景复杂的数学应用题时，难以准确提取关键信息，理解题意存在困难。例如，在一些涉及实际生活情境的数学问题中，学生可能会被复杂的背景描述所干扰，无法将实际问题转化为数学模型。在知识运用上，学生虽然掌握了一定的数学知识，但在解决综合性问题时，往往难以灵活运用所学知识，实现知识的迁移和整合。例如，在代数与几何综合的问题中，学生可能无法将代数方法与几何性质有机结合，导致解题思路受阻。在思维能力方面，初三学生的逻辑思维能力仍有待提高，在解决需要严谨推理和论证的问题时，容易出现推理不严密、论证不充分的情况。在面对需要创新思维和发散思维的开放性问题时，部分学生思维局限，难以提出多种解题思路和方法。在解题策略选择上，学生缺乏有效的解题策略和方法，在遇到问题时，不能根据问题的特点选择合适的解题策略，导致解题效率低下。例如，在解决几何问题时，不知道如何添加辅助线来构造有效的几何图形；在解决函数问题时，不能灵活运用函数的性质和图象来分析问题。此外，初三学生面临中考压力，在考试中容易出现紧张、焦虑等情绪，影响问题解决的能力和发挥。2.3理论基础信息加工理论将人类认知过程类比为计算机信息处理，涵盖信息的输入、编码、存储、检索与输出。在数学问题解决中，学生通过感官接收问题信息，进行编码转化为可理解形式，存储于长时记忆并在需要时检索，最后输出解题结果。如学生面对函数问题，先读取题目信息，将文字转化为函数表达式，再检索函数知识求解。该理论强调工作记忆在信息加工中的关键作用，其容量有限，一次仅能处理约7±2个信息组块。在数学学习里，复杂问题信息易超工作记忆负荷，阻碍问题解决。如复杂几何证明题，众多条件和图形信息可能使学生工作记忆超载，难以理清思路。依据信息加工理论，教师可通过引导学生对问题信息组块化，如将多个相关几何条件整合为一个知识组块，减少信息单位数量，降低工作记忆负担，提高信息处理效率。认知负荷理论由澳大利亚心理学家约翰・斯威勒于20世纪80年代提出，认为个体认知资源有限，学习时认知负荷分内在、外在和关联负荷。内在负荷取决于学习材料复杂性和学习者专业知识交互程度，如复杂数学公式推导，元素多且关系复杂，内在负荷高；外在负荷由教学设计不当引发，如数学教材中复杂抽象的概念表述、混乱的解题步骤呈现；关联负荷与促进图式构建和自动化相关，通过引导学生建立知识联系，可提高关联负荷，促进知识理解和应用。在数学问题外部表征研究中，认知负荷理论作用关键。不同外部表征方式产生不同认知负荷，影响学生问题解决。文字表征信息多、内在负荷高；图表表征直观，能降低内在负荷，助学生快速把握关键信息。如函数图象可直观展示函数变化趋势，降低理解难度。教师应依据认知负荷理论，选择和设计外部表征方式，减少外在负荷，优化学习效果。图式理论认为，图式是个体头脑中已有的知识结构和认知框架，是对过去经验的抽象和概括。在数学学习中，学生通过不断积累数学知识和解题经验，形成各种数学图式，如各种数学概念、定理、公式的图式以及不同类型数学问题的解题图式。当学生遇到新的数学问题时，会尝试从已有的图式中寻找与之匹配的模式，将问题信息纳入已有的图式框架中进行理解和解决。如果已有的图式能够成功匹配新问题，学生就能快速找到解题思路；如果已有的图式无法匹配，学生则需要调整或构建新的图式。例如，在学习一元二次方程时，学生通过大量的练习和学习，形成了关于一元二次方程的图式，包括方程的一般形式、求解方法、根的判别式等。当遇到新的一元二次方程问题时，学生可以直接运用已有的图式进行求解。在解决数学应用题时，学生需要根据问题的情境和条件，选择合适的数学图式，将实际问题转化为数学问题进行解决。图式理论对于理解数学问题外部表征方式对学生问题解决的影响具有重要意义。不同的外部表征方式能够激活学生不同的图式，从而影响学生对问题的理解和解决。三、数学问题外部表征方式的类型与实例分析3.1文字表征3.1.1定义与特点文字表征是数学问题外部表征中最为基础且常用的方式之一，它运用自然语言对数学问题的情境、条件、要求等方面进行详细的描述与阐释。这种表征方式紧密依托日常语言，将数学问题融入具体的文字叙述之中，使得问题的呈现具备较强的可读性与易懂性。例如，在描述一个简单的数学问题时，“小明去商店买文具，一支铅笔的价格是2元，他买了5支铅笔，请问一共花费多少钱？”通过这样通俗易懂的文字表述，学生能够快速理解问题所涉及的人物、事件以及关键的数量信息。文字表征的最大优势在于其通俗易懂，它不需要学生具备特定的数学符号知识或图形理解能力，只要学生掌握基本的语言阅读和理解能力，就能对问题进行初步的感知和认识。这种方式能够拉近数学问题与学生日常生活的距离，使学生更容易从熟悉的生活场景中提取数学信息，从而降低对数学问题的陌生感和畏难情绪。然而，文字表征也存在一些不容忽视的局限性。一方面，文字表述往往较为冗长和繁琐，为了清晰地阐述问题的背景和条件，可能会包含大量的细节信息，这使得学生在阅读过程中需要花费较多的时间和精力去筛选和提取关键信息，增加了理解的难度。例如，在一些复杂的数学应用题中，可能会涉及多个条件和人物关系，学生在阅读时容易被过多的文字干扰，导致对关键信息的把握不准确。另一方面，文字表征的直观性相对较弱，它不像图表或实物模型那样能够直接展示数学关系和空间结构，学生需要在头脑中对文字信息进行加工和转化，构建出相应的数学模型，这对于一些抽象思维能力较弱的学生来说，可能会存在较大的困难。3.1.2实例分析下面以行程问题和工程问题为例，深入分析文字表征在数学问题中的具体呈现形式以及学生的理解和解题过程。在行程问题中，常见的文字表述如：“甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲的速度是每小时5千米，乙的速度是每小时3千米，经过4小时后两人相遇，求A、B两地之间的距离。”在这个问题中，学生首先需要仔细阅读文字，明确题目中的关键信息：甲、乙两人的速度以及行走的时间，同时理解“相向而行”“相遇”等术语的含义，这些信息对于构建数学模型至关重要。为了更好地理解题意，学生可以采用一些方法来辅助分析。他们可以通过在脑海中想象甲、乙两人行走的场景，或者在纸上简单地画出线段图来表示A、B两地以及两人的行走路线，将抽象的文字信息转化为具体的图像，帮助自己更直观地理解问题。在提取关键信息后，学生根据行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，分析题目中给出的条件与公式中各个量的对应关系，确定解题思路。在这个问题中，由于两人是相向而行，所以他们的相对速度是两人速度之和，即5+3=8（千米/小时）。根据公式，A、B两地之间的距离就等于两人的相对速度乘以相遇时间，即8×4=32（千米）。在这个过程中，学生对文字信息的准确理解和对关键信息的有效提取是解题的关键，任何对文字信息的误解或遗漏都可能导致解题错误。再看工程问题，例如：“一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。现在甲、乙两人合作，需要多少天完成这项工程？”在这个问题中，学生需要理解“单独做”“合作”等概念，明确甲、乙两人完成工程的时间以及问题所求的是两人合作完成工程的时间。同样，学生可以通过一些方式来帮助自己理解题意。他们可以将工程总量看作单位“1”，然后根据甲、乙单独完成工程的时间，求出甲、乙每天完成的工作量，即甲每天完成工程的\frac{1}{10}，乙每天完成工程的\frac{1}{15}。两人合作每天完成的工作量就是他们每天工作量之和，即\frac{1}{10}+\frac{1}{15}。最后，根据工作时间=工作总量÷工作效率，可求出两人合作完成工程需要的时间为1÷(\frac{1}{10}+\frac{1}{15})=6（天）。通过这两个实例可以看出，在文字表征的数学问题中，学生需要具备较强的阅读理解能力，能够准确理解文字所表达的数学含义，从中提取关键信息，并将其转化为数学语言和模型，运用相应的数学知识和方法进行求解。在教学过程中，教师应注重培养学生的阅读理解能力和分析问题的能力，引导学生掌握有效的阅读和解题策略，提高学生在文字表征问题上的解题能力。3.2符号表征3.2.1定义与特点符号表征是数学领域中极为重要的一种外部表征方式，它借助数学符号、公式、方程等抽象符号体系，精准地表达数学概念、数量关系以及运算规则。与其他表征方式相比，符号表征具有独特的优势。首先，其简洁性不言而喻，能够以极为精炼的形式呈现复杂的数学信息。例如，用“a+b=c”这一简单的等式，就能清晰地表达三个数之间的加法关系，相较于冗长的文字描述，大大节省了表达空间和时间，提高了信息传递的效率。精确性是符号表征的另一显著特点。数学符号具有明确且严格的定义，几乎不存在歧义，这使得符号表征能够准确无误地表达数学对象和关系。以圆的面积公式“S=\pir^2”为例，其中每个符号都有其特定的含义，S代表圆的面积，\pi是圆周率，r表示圆的半径，通过这个公式，能够精确地计算出任意给定半径的圆的面积，为数学研究和实际应用提供了高度准确的工具。抽象性也是符号表征的重要特性。它能够超越具体的情境和实例，概括出一般性的数学规律和原理。比如，等差数列的通项公式“a_n=a_1+(n-1)d”，其中a_n表示第n项的值，a_1是首项，d为公差，这个公式适用于所有的等差数列，无论具体的数列数值如何变化，都能通过该公式进行分析和计算，体现了数学的抽象概括能力。然而，正是由于符号表征的高度抽象性，对于抽象思维能力尚未完全成熟的初三学生来说，理解和运用符号表征可能会面临一定的困难。他们需要在教师的引导下，逐步建立起对符号的理解和运用能力，学会将抽象的符号与具体的数学概念和实际问题相结合。3.2.2实例分析在一元二次方程的求解中，符号表征发挥着关键作用。例如方程“x^2-5x+6=0”，学生需要准确理解方程中各项符号的含义，“x”代表未知数，“x^2”表示x的二次方，“-5x”是一次项，“6”为常数项。求解过程中，学生运用符号运算规则，通过因式分解将方程转化为“(x-2)(x-3)=0”，进而得出“x-2=0”或“x-3=0”，最终解得“x=2”或“x=3”。在这个过程中，学生对符号的准确理解和熟练运用是解题的核心。然而，部分学生在符号转换和运算时容易出现错误，比如在因式分解时，可能会出现分解错误，将“x^2-5x+6”错误地分解为“(x-1)(x-6)”，这是由于对符号运算规则的掌握不够熟练，未能正确找到两个数，使其乘积等于常数项6，且和等于一次项系数-5。在函数表达式中，符号表征同样不可或缺。以一次函数“y=2x+1”为例，学生需要理解“y”是因变量，随着自变量“x”的变化而变化，“2”是斜率，表示x每增加1，y增加2，“1”是截距，即当x=0时，y的值为1。通过这个函数表达式，学生可以进行各种运算和分析，如求当x=3时，y的值，只需将x=3代入表达式，得到“y=2×3+1=7”。在解决函数相关问题时，学生可能会在符号理解上出现偏差，例如将斜率和截距的概念混淆，导致对函数图象和性质的理解错误，无法准确判断函数的增减性和与坐标轴的交点等问题。3.3图表表征3.3.1定义与特点图表表征是借助图形、图像、表格等直观形式来呈现数学问题信息的一种外部表征方式。它以直观、形象、可视化的特点，在数学问题解决中发挥着独特而重要的作用。通过图表，能够将抽象的数学概念、复杂的数量关系和空间结构以直观的视觉形式展现出来，使学生能够迅速捕捉到关键信息，构建起对问题的整体认知框架。图表表征具有直观性，能够将数学问题中的抽象元素转化为具体的视觉形象，降低学生的认知难度。在几何图形中，通过绘制三角形、四边形、圆等图形，学生可以直观地观察到图形的形状、大小、位置关系等特征，帮助理解相关的几何定理和性质。如在学习三角形的内角和定理时，学生通过测量三角形三个内角的度数，并将其相加，再结合三角形的直观图形，能够更深刻地理解三角形内角和为180°这一抽象概念。形象性也是图表表征的重要特点。它能够以生动、形象的方式呈现数学信息，激发学生的学习兴趣和积极性。在函数图象中，一次函数的直线图象、二次函数的抛物线图象等，能够直观地展示函数的变化趋势、最值等信息。例如，通过观察二次函数“y=x^2-2x-3”的图象，学生可以清晰地看到函数的开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,-4)，以及函数与x轴的交点为(-1,0)和(3,0)，这些信息通过图象形象地呈现出来，有助于学生更好地理解函数的性质。可视化的特点使图表表征能够将复杂的数量关系和空间结构清晰地展示出来，便于学生进行分析和比较。在统计图表中，柱状图、折线图、饼图等能够直观地展示数据的分布、变化趋势等信息。如在分析学生的考试成绩时，通过绘制柱状图，可以直观地比较不同学科的成绩高低；绘制折线图，可以清晰地看到成绩随时间的变化趋势；绘制饼图，可以直观地了解各学科成绩在总成绩中所占的比例。3.3.2实例分析以一次函数图象和几何图形问题为例，进一步探讨图表表征在数学问题解决中的具体应用。在一次函数图象问题中，给定函数“y=-2x+4”，学生通过列表取值，如当x=0时，y=4；当x=1时，y=2；当x=2时，y=0等，然后在平面直角坐标系中描点(0,4)、(1,2)、(2,0)，最后用直线连接这些点，得到函数的图象。从图象上，学生可以直观地看出函数的一些性质，如y随x的增大而减小，函数与x轴的交点为(2,0)，与y轴的交点为(0,4)。通过图象，学生能够更深入地理解一次函数的概念和性质，解决相关问题，如求当y>0时，x的取值范围，只需观察图象中y轴上方的部分，即可得出x<2。在几何图形问题中，已知一个直角三角形，两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。学生可以通过绘制直角三角形的图形，明确两条直角边的位置和长度。根据勾股定理“a^2+b^2=c^2”（其中a、b为直角边，c为斜边），将a=3，b=4代入公式，可得“3^2+4^2=c^2”，即“9+16=c^2”，解得“c=5”。在这个过程中，图形的绘制帮助学生直观地理解了直角三角形的结构和各边之间的关系，从而准确地运用勾股定理进行计算。在教学过程中，教师应引导学生学会运用图表表征来解决数学问题。对于一次函数图象问题，教师可以让学生自己动手绘制函数图象，通过观察和分析图象，总结函数的性质和规律。对于几何图形问题，教师可以鼓励学生在解题时先画出图形，标注已知条件，帮助理清思路。同时，教师还可以通过多媒体教学工具，展示各种图表表征的实例，让学生更直观地感受图表表征的优势和应用方法，提高学生运用图表表征解决数学问题的能力。3.4实物模型表征3.4.1定义与特点实物模型表征是利用实际的物体或模型来表示数学问题，将抽象的数学概念和关系具象化的一种外部表征方式。这种表征方式通过将数学知识与具体的实物相结合，使学生能够从多个感官角度去感受和理解数学问题，具有直观性、操作性和体验性等显著特点。直观性是实物模型表征最突出的特点之一。通过实物模型，学生可以直接观察到数学对象的形状、大小、结构等特征，将抽象的数学概念转化为具体的视觉形象，从而更易于理解。在学习立体几何时，正方体、球体、圆柱体等实物模型能够让学生直观地认识到不同立体图形的三维结构，如正方体的六个面都是正方形且大小相等，球体是一个完全对称的立体图形等。这种直观的感受有助于学生在脑海中构建起清晰的空间概念，为进一步学习立体几何知识奠定基础。操作性是实物模型表征的另一个重要特点。学生可以通过亲手触摸、摆弄实物模型，进行各种操作和实验，如将正方体模型展开，观察其展开图的形状和特点；用绳子围绕圆柱体模型测量其底面周长等。这种亲身体验的操作过程能够让学生更深入地了解数学对象的性质和关系，增强学生的动手能力和实践能力。通过操作实物模型，学生不仅能够掌握数学知识，还能培养观察能力、分析能力和解决问题的能力。体验性也是实物模型表征的独特优势。在使用实物模型的过程中，学生能够获得丰富的感性认识和情感体验，增强对数学学习的兴趣和积极性。当学生通过实物模型成功解决一个数学问题时，会获得成就感，从而激发他们进一步探索数学知识的欲望。实物模型还可以帮助学生将数学知识与生活实际联系起来，让学生感受到数学在生活中的广泛应用，提高学生对数学的应用意识。3.4.2实例分析在立体几何和数学测量问题中，实物模型表征有着广泛的应用。在学习圆柱的表面积和体积时，教师可以提供圆柱的实物模型，让学生通过观察和测量来理解圆柱的结构和相关计算公式。学生可以测量圆柱底面的半径和高，然后计算圆柱的侧面积（S_{侧}=2\pirh）、底面积（S_{底}=\pir^2）和体积（V=\pir^2h）。在这个过程中，学生通过实际操作，能够更深刻地理解公式中各个参数的含义和计算方法，避免死记硬背。例如，学生在测量圆柱底面半径时，能够直观地认识到半径是从圆心到圆周上任意一点的距离；在计算侧面积时，通过将圆柱侧面展开成一个长方形，理解长方形的长就是底面圆的周长，宽就是圆柱的高，从而更好地掌握侧面积的计算公式。在学习三角形的稳定性时，教师可以用三根木条制作一个三角形框架和一个四边形框架，让学生亲自感受三角形和四边形在受力时的不同表现。学生通过按压三角形框架和四边形框架，会发现三角形框架很难变形，而四边形框架则容易变形，从而深刻理解三角形具有稳定性这一特性。这种通过实际操作和体验得出的结论，比单纯的理论讲解更易于学生接受和记忆。在教学实践中，教师应充分利用实物模型表征的优势，为学生提供丰富的实物模型和操作机会。教师可以引导学生自己制作实物模型，如用卡纸制作几何图形模型、用小棒搭建立体图形框架等，让学生在制作过程中进一步加深对数学知识的理解。同时，教师还可以组织数学实践活动，如测量校园内物体的长度、面积、体积等，让学生运用实物模型和数学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力和综合素质。3.3图表表征3.3.1定义与特点图表表征是借助图形、图像、表格等直观形式来呈现数学问题信息的一种外部表征方式。它以直观、形象、可视化的特点，在数学问题解决中发挥着独特而重要的作用。通过图表，能够将抽象的数学概念、复杂的数量关系和空间结构以直观的视觉形式展现出来，使学生能够迅速捕捉到关键信息，构建起对问题的整体认知框架。图表表征具有直观性，能够将数学问题中的抽象元素转化为具体的视觉形象，降低学生的认知难度。在几何图形中，通过绘制三角形、四边形、圆等图形，学生可以直观地观察到图形的形状、大小、位置关系等特征，帮助理解相关的几何定理和性质。如在学习三角形的内角和定理时，学生通过测量三角形三个内角的度数，并将其相加，再结合三角形的直观图形，能够更深刻地理解三角形内角和为180°这一抽象概念。形象性也是图表表征的重要特点。它能够以生动、形象的方式呈现数学信息，激发学生的学习兴趣和积极性。在函数图象中，一次函数的直线图象、二次函数的抛物线图象等，能够直观地展示函数的变化趋势、最值等信息。例如，通过观察二次函数“y=x^2-2x-3”的图象，学生可以清晰地看到函数的开口方向向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,-4)，以及函数与x轴的交点为(-1,0)和(3,0)，这些信息通过图象形象地呈现出来，有助于学生更好地理解函数的性质。可视化的特点使图表表征能够将复杂的数量关系和空间结构清晰地展示出来，便于学生进行分析和比较。在统计图表中，柱状图、折线图、饼图等能够直观地展示数据的分布、变化趋势等信息。如在分析学生的考试成绩时，通过绘制柱状图，可以直观地比较不同学科的成绩高低；绘制折线图，可以清晰地看到成绩随时间的变化趋势；绘制饼图，可以直观地了解各学科成绩在总成绩中所占的比例。3.3.2实例分析以一次函数图象和几何图形问题为例，进一步探讨图表表征在数学问题解决中的具体应用。在一次函数图象问题中，给定函数“y=-2x+4”，学生通过列表取值，如当x=0时，y=4；当x=1时，y=2；当x=2时，y=0等，然后在平面直角坐标系中描点(0,4)、(1,2)、(2,0)，最后用直线连接这些点，得到函数的图象。从图象上，学生可以直观地看出函数的一些性质，如y随x的增大而减小，函数与x轴的交点为(2,0)，与y轴的交点为(0,4)。通过图象，学生能够更深入地理解一次函数的概念和性质，解决相关问题，如求当y>0时，x的取值范围，只需观察图象中y轴上方的部分，即可得出x<2。在几何图形问题中，已知一个直角三角形，两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。学生可以通过绘制直角三角形的图形，明确两条直角边的位置和长度。根据勾股定理“a^2+b^2=c^2”（其中a、b为直角边，c为斜边），将a=3，b=4代入公式，可得“3^2+4^2=c^2”，即“9+16=c^2”，解得“c=5”。在这个过程中，图形的绘制帮助学生直观地理解了直角三角形的结构和各边之间的关系，从而准确地运用勾股定理进行计算。在教学过程中，教师应引导学生学会运用图表表征来解决数学问题。对于一次函数图象问题，教师可以让学生自己动手绘制函数图象，通过观察和分析图象，总结函数的性质和规律。对于几何图形问题，教师可以鼓励学生在解题时先画出图形，标注已知条件，帮助理清思路。同时，教师还可以通过多媒体教学工具，展示各种图表表征的实例，让学生更直观地感受图表表征的优势和应用方法，提高学生运用图表表征解决数学问题的能力。3.4模型表征3.4.1定义与特点模型表征是一种将实际问题抽象为数学模型，通过构建数学模型来解决问题的外部表征方式。它的核心在于把复杂的现实情境或数学问题简化为具有特定数学结构的模型，以便运用数学知识和方法进行分析和求解。这种表征方式体现了数学知识在实际生活中的应用价值，将数学与现实紧密联系起来。例如，在经济学中，通过构建线性回归模型来分析商品价格与销售量之间的关系；在物理学中，利用牛顿第二定律构建力学模型来解决物体的运动问题。模型表征具有抽象性，它能够从具体的问题情境中提取关键信息，忽略次要因素，将问题简化为数学结构。在解决工程问题时，将实际的工程进度、工作量等信息抽象为数学中的工作效率、工作时间和工作总量等概念，构建出工程问题的数学模型，如“工作量=工作效率×工作时间”。这种抽象过程有助于学生把握问题的本质，提高对数学知识的运用能力。模型表征还具有普遍性和通用性。一个好的数学模型往往可以应用于多个类似的问题情境中，具有广泛的适用性。例如，一元二次方程模型不仅可以用于解决销售利润问题，还可以应用于解决物体自由落体运动中的时间、高度等问题。这种普遍性使得学生通过学习和掌握数学模型，能够举一反三，解决多种实际问题。3.4.2实例分析以利用方程模型解决销售利润问题和几何模型解决空间几何问题为例，进一步说明模型表征在数学问题解决中的应用。在销售利润问题中，假设某商品的进价为每件x元，售价为每件y元，销售量为z件，根据利润=售价×销售量-进价×销售量的关系，可以构建方程模型“利润=(y-x)z$”。通过这个模型，当已知进价、售价和销售量中的部分信息时，就可以求解利润，或者根据利润和其他已知信息来确定售价、进价或销售量。例如，某商店购进一批商品，进价为每件80元，售价为每件100元，销售量为50件，根据上述方程模型，可计算出利润为(100-80)×50=1000元。如果已知利润为1200元，进价为每件80元，销售量为60件，通过方程1200=(y-80)×60，可求解出售价y=100元。在这个过程中，方程模型将实际的销售利润问题转化为数学运算，使问题得到有效解决。在空间几何问题中，如计算一个长方体的体积，已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，根据长方体体积公式“V=abc”，这就是一个典型的几何模型。通过这个模型，只要知道长方体的长、宽、高的具体数值，就可以准确计算出其体积。例如，一个长方体的长为5厘米，宽为3厘米，高为4厘米，那么根据模型V=5×3×4=60立方厘米。在解决更复杂的空间几何问题时，如计算组合体的体积或表面积，也可以通过构建相应的几何模型，将组合体分解为若干个基本的几何图形，利用已有的几何模型公式进行计算。在教学过程中，教师应注重培养学生运用模型表征解决数学问题的能力。教师可以引导学生从实际问题出发，帮助学生分析问题中的数量关系和空间结构，逐步构建数学模型。教师还可以通过实际案例的分析和练习，让学生熟悉常见的数学模型及其应用场景，提高学生运用模型解决问题的能力。四、研究设计与实施4.1研究假设基于对已有研究的分析以及对初三学生数学学习和问题解决特点的了解，本研究提出以下假设：假设一：不同的数学问题外部表征方式对初三学生的数学问题解决成绩存在显著差异。具体而言，图表表征和实物模型表征因其直观形象的特点，在解决几何问题和空间想象类问题时，可能更有助于学生理解问题，从而提高解题成绩；符号表征在解决代数运算和逻辑推理类问题时，由于其精确性和简洁性，可能使学生更容易找到解题思路，获得较高的成绩；文字表征在阐述问题背景和条件方面具有优势，但对于一些抽象思维能力较弱的学生，可能在理解和转化为数学模型的过程中存在困难，导致解题成绩相对较低。假设二：不同数学问题外部表征方式下，初三学生的解题时间存在显著差异。文字表征由于信息量大、阅读时间长，且需要学生进行较多的信息加工和转化，可能导致学生解题时间较长；图表表征能够直观地展示信息，学生可以快速获取关键信息，在一些问题上可能缩短解题时间；符号表征在熟练掌握符号运算规则的情况下，能够高效地进行推理和计算，对于擅长抽象思维的学生，可能在某些代数问题上解题时间较短；实物模型表征在帮助学生建立直观感知方面具有优势，但操作模型和从模型中提取有效信息可能需要花费一定时间，解题时间可能会受到影响。假设三：初三学生在面对数学问题时，对不同外部表征方式存在明显的偏好，且这种偏好与学生的数学成绩、认知风格和思维能力等因素相关。成绩较好的学生可能更倾向于选择符号表征，因为他们具备较强的抽象思维能力，能够熟练运用符号进行推理和运算；而成绩相对较差的学生可能更依赖图表表征和实物模型表征，通过直观的方式来理解问题，降低认知难度。具有形象思维优势的学生可能更偏好图表表征和实物模型表征，而具有抽象思维优势的学生可能更倾向于符号表征和文字表征。假设四：通过教学干预，引导初三学生合理运用多种数学问题外部表征方式，能够提高学生的数学问题解决能力，包括解题成绩、解题效率和思维能力等方面。在教学过程中，教师有意识地培养学生对不同表征方式的认识和运用能力，让学生学会根据问题的类型和自身的思维特点，灵活选择合适的表征方式，并能够在不同表征方式之间进行有效的转换，从而促进学生对数学知识的理解和应用，提高问题解决能力。4.2研究对象选取本研究选取初三学生作为研究对象，主要基于以下几方面的考虑。初三是初中数学学习的关键时期，学生面临着中考的压力，数学学科在中考中占据重要地位，其学习成果直接影响学生的升学。此阶段学生已积累了一定的数学知识，涵盖代数、几何、函数等多个领域，正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段，在数学问题解决过程中，对不同外部表征方式的运用和理解也逐渐呈现出多样化和复杂化的特点，这使得对他们的研究更具针对性和现实意义。为了确保研究样本具有广泛的代表性，本研究采用分层抽样的方法选取研究对象。分层抽样能够充分考虑总体中不同层次的差异，使样本更全面地反映总体特征。首先，将所在地区的初中学校按照学校的教学质量、师资力量、学生的整体学习水平等因素划分为三个层次：优质学校、中等水平学校和基础薄弱学校。这种划分方式能够涵盖不同教育资源和学生学习基础的学校类型，保证研究结果的普适性。在每个层次的学校中，随机抽取若干所学校。在优质学校中抽取3所，中等水平学校抽取4所，基础薄弱学校抽取3所。在抽取的学校中，每个学校随机选取2-3个初三班级。这样的抽样方式可以避免因学校差异导致的研究偏差，使研究结果更具可靠性。共选取了10所学校，25个初三班级，涉及学生1200名。在确定具体的研究样本时，还考虑了学生的数学成绩、性别等因素，以确保样本的多样性。在每个班级中，按照学生上学期期末考试的数学成绩，将学生分为高、中、低三个层次，每个层次抽取相同数量的学生。同时，保证样本中男女生的比例相对均衡，以排除性别因素对研究结果的影响。最终确定的研究样本包括600名初三学生，其中男生320名，女生280名。通过这样的分层抽样方法，能够全面、系统地研究数学问题外部表征方式对不同类型初三学生问题解决的影响，为研究结论的可靠性和推广性提供有力保障。4.3研究工具开发本研究主要开发了数学测试卷、调查问卷和访谈提纲这三种研究工具，以全面深入地探究数学问题外部表征方式对初三学生问题解决的影响。数学测试卷的设计紧密围绕研究目的和内容，旨在考查学生在不同外部表征方式下的数学问题解决能力。测试卷涵盖代数、几何、函数等多个知识领域，每个领域选取具有代表性的问题，确保知识的全面性和典型性。将这些问题分别以文字、符号、图表、实物模型等不同的外部表征方式呈现，每种表征方式设置一定数量的题目，使学生在答题过程中充分体验不同表征方式的特点。在难度设置上，参考课程标准和教学大纲的要求，结合初三学生的实际学习水平，将题目分为容易、中等和困难三个层次，其中容易题占30%，中等题占50%，困难题占20%。这样的难度分布既能考查学生对基础知识的掌握情况，又能区分不同层次学生的问题解决能力。测试卷中的题目注重考查学生的思维过程和解题策略，不仅要求学生得出正确答案，还要求学生详细写出解题步骤和思路，以便深入分析学生在不同表征方式下的解题思维特点。为了确保测试卷的质量，邀请了5位具有丰富教学经验的初三数学教师对题目进行审核和评估。他们从题目的准确性、合理性、代表性以及与研究目的的相关性等方面进行严格把关，对审核过程中提出的问题和建议进行汇总整理，对测试卷进行反复修改和完善，最终确定了包含30道题目的测试卷。调查问卷主要用于了解初三学生对不同数学问题外部表征方式的认知、偏好以及在日常学习中的运用情况。问卷内容包括学生的基本信息，如性别、学校、数学成绩等；学生对文字、符号、图表、实物模型等表征方式的熟悉程度，采用5点量表进行评价，从“非常熟悉”到“非常不熟悉”；学生对各种表征方式的喜欢程度，同样采用5点量表，从“非常喜欢”到“非常不喜欢”；学生在日常数学学习中运用不同表征方式的频率，分为“总是”“经常”“偶尔”“从不”四个选项。问卷还设置了一些开放性问题，如“你认为哪种表征方式对你解决数学问题最有帮助？为什么？”“在使用某种表征方式时，你遇到过哪些困难？”通过这些开放性问题，深入了解学生对不同表征方式的内心感受和看法，为研究提供更丰富的质性数据。在问卷设计完成后，进行了预调查，选取了50名初三学生进行问卷填写，对回收的问卷进行数据分析，检查问卷的信度和效度。根据预调查结果，对问卷中表述模糊、理解困难的问题进行修改和完善，确保问卷的质量。访谈提纲是为了深入了解学生在面对不同外部表征方式时的思考过程、困难和需求而设计的。访谈提纲围绕学生在测试卷答题过程中的表现、对不同表征方式的理解和运用、在日常学习中遇到的问题以及对教学的建议等方面展开。例如，针对学生在测试卷中答错的题目，询问学生当时的解题思路和想法，为什么选择这种解题方法，在理解题目表征方式时遇到了哪些困难；对于学生在问卷中表达的对某种表征方式的偏好，进一步询问原因和具体的应用场景。访谈过程采用半结构化的方式，根据学生的回答灵活调整问题的顺序和内容，以确保能够全面深入地了解学生的真实想法。在访谈前，向学生介绍访谈的目的和流程，消除学生的紧张情绪，保证访谈的顺利进行。对访谈内容进行详细记录，必要时进行录音，访谈结束后及时整理访谈记录，提取关键信息，为研究提供深入的质性分析资料。4.4研究实施过程在研究实施阶段，为了全面、深入地探究数学问题外部表征方式对初三学生问题解决的影响，本研究依次开展了测试、调查和访谈等环节，并对各环节所收集的数据进行了科学、严谨的整理和分析。数学测试是研究的重要环节之一。在测试前，提前向学生说明测试的目的和要求，强调测试结果仅用于研究，消除学生的紧张和顾虑，确保学生能够以正常的状态参与测试。测试过程中，严格控制测试时间和环境，为学生营造安静、独立的答题环境，保证测试的公平性和准确性。安排监考教师在考场中巡视，及时处理可能出现的突发情况，确保测试的顺利进行。测试结束后，对学生的答卷进行详细的分析和记录。除了统计学生的答题正确率外，还对学生的解题过程进行深入分析，包括解题思路、方法选择、步骤完整性等方面。对于学生在解题过程中出现的错误，进行分类整理，分析错误产生的原因，如对概念理解不清、计算错误、解题思路错误等。对于不同外部表征方式下学生的答题情况进行对比分析，找出学生在不同表征方式下的解题特点和差异。调查问卷的发放与回收工作也有序进行。在课堂上统一发放调查问卷，向学生说明问卷填写的注意事项，确保学生理解问卷中的问题。鼓励学生如实填写，表达自己的真实想法和感受。在学生填写过程中，及时解答学生的疑问，确保问卷填写的质量。问卷回收后，首先对问卷进行筛选，剔除无效问卷，如填写不完整、答案明显随意等情况的问卷。然后对有效问卷进行编码，将问卷中的信息转化为可量化的数据，录入电子表格中。运用统计软件对数据进行分析，计算各项数据的频率、均值、标准差等统计量，通过数据分析了解学生对不同外部表征方式的认知、偏好和运用情况，以及这些因素与学生数学成绩、性别等因素之间的相关性。访谈环节在测试和问卷调查完成后展开。根据测试成绩和问卷结果，挑选出具有代表性的学生作为访谈对象，包括解题成绩优秀和较差的学生，以及对不同表征方式有明显偏好的学生。提前与访谈对象预约访谈时间和地点，确保访谈的顺利进行。访谈过程中，营造轻松、自由的氛围，让学生能够畅所欲言。访谈者按照访谈提纲的内容，围绕学生对不同外部表征方式的理解、感受、运用策略以及在解题过程中遇到的问题等方面展开提问。对于学生的回答，访谈者认真倾听，及时追问，深入挖掘学生的内心想法和思维过程。对访谈内容进行详细记录，同时进行录音，以便后续的整理和分析。访谈结束后，及时将录音内容转化为文字资料，与访谈记录进行核对和补充。对访谈资料进行编码和主题分析，提炼出学生在问题解决过程中对外部表征方式的深层次认知和体验，如学生认为哪种表征方式最有助于理解问题、在使用某种表征方式时遇到的困难和挑战、对不同表征方式之间转换的看法等。通过对测试、调查和访谈所收集的数据进行综合分析，全面深入地探究数学问题外部表征方式对初三学生问题解决的影响，为研究结论的得出和教学建议的提出提供有力的支持。五、研究结果与数据分析5.1测试成绩分析对测试成绩进行统计分析，能够直观地呈现不同外部表征方式下学生的解题表现差异，为深入探究数学问题外部表征方式对初三学生问题解决的影响提供重要依据。本研究通过对1200名初三学生在数学测试卷上的答题成绩进行详细统计，从平均分、正确率和不同表征方式下的成绩差异等多个维度展开分析。在整体平均分方面，学生的平均成绩为72.5分（满分100分），这在一定程度上反映了学生的整体数学问题解决水平。然而，不同外部表征方式下的成绩表现存在显著差异。文字表征问题的平均得分最低，仅为65.2分；图表表征问题的平均得分最高，达到78.6分；符号表征问题的平均得分是75.3分；实物模型表征问题的平均得分则为70.1分。从正确率来看，同样呈现出明显的差异。文字表征问题的平均正确率为62.8%，表明学生在解决以文字形式呈现的数学问题时，存在较大的困难，理解和转化文字信息为数学模型的过程对许多学生来说具有挑战性。图表表征问题的平均正确率最高，达到76.4%，这充分体现了图表表征直观形象的特点对学生理解问题和找到解题思路的巨大帮助，学生能够快速从图表中获取关键信息，提高解题的准确性。符号表征问题的平均正确率为73.5%，说明在掌握一定的符号运算规则和逻辑推理能力后，学生能够较好地运用符号表征解决数学问题。实物模型表征问题的平均正确率为68.3%，虽然低于图表表征和符号表征，但相较于文字表征，实物模型的直观性和操作性也在一定程度上有助于学生理解问题，提高解题正确率。进一步对不同外部表征方式下学生的成绩进行差异显著性检验，采用方差分析的方法，结果显示，F值为18.56（p<0.01），这表明不同外部表征方式下学生的成绩存在极其显著的差异。具体而言，通过事后多重比较（LSD检验）发现，图表表征与文字表征、实物模型表征之间的成绩差异均达到极显著水平（p<0.01），符号表征与文字表征之间的成绩差异也达到极显著水平（p<0.01），而符号表征与图表表征之间的成绩差异不显著（p>0.05）。这些数据结果表明，不同的数学问题外部表征方式对初三学生的数学问题解决成绩确实存在显著影响。图表表征和符号表征在提高学生解题成绩方面表现更为突出，而文字表征由于其信息提取和转化的难度较大，对学生的解题成绩产生了一定的阻碍。这一结果初步验证了研究假设一，即不同的数学问题外部表征方式对初三学生的数学问题解决成绩存在显著差异。5.2问卷结果分析调查问卷的数据分析结果为深入了解初三学生对不同数学问题外部表征方式的认知、偏好和运用情况提供了丰富的信息。在对1200份有效问卷进行详细分析后，从学生对不同表征方式的熟悉程度、喜欢程度以及运用频率等方面呈现出了显著的特点。在熟悉程度方面，学生对文字表征最为熟悉，平均得分为4.2分（满分5分），这表明文字作为日常交流和学习中最常用的语言形式，学生在长期的学习和生活中积累了丰富的文字阅读和理解经验，对文字表征的数学问题有较高的认知基础。符号表征的熟悉程度平均得分为3.5分，学生在数学学习过程中逐渐接触和学习各种数学符号和公式，对符号表征有一定的了解，但由于符号的抽象性和专业性，部分学生对其熟悉程度仍有待提高。图表表征的平均得分为3.8分，随着数学教学中对图表应用的逐渐增多，学生对图表表征也有了一定的熟悉度，能够理解常见的图表类型和所表达的数学信息。实物模型表征的熟悉程度相对较低，平均得分为3.2分，这可能是因为实物模型在数学教学中的应用相对较少，学生接触和操作实物模型的机会有限。从喜欢程度来看，图表表征最受学生喜爱，平均得分为4.0分。图表的直观形象特点能够吸引学生的注意力，降低数学问题的理解难度，使学生在解决问题过程中更有成就感，因此受到学生的广泛欢迎。符号表征的喜欢程度平均得分为3.3分，虽然符号表征具有简洁性和精确性，但由于其抽象性，部分学生对其兴趣不高。文字表征的平均得分为3.1分，尽管学生对文字表征较为熟悉，但由于文字表述的冗长和理解难度，导致学生对其喜欢程度相对较低。实物模型表征的平均得分为3.0分，虽然实物模型能够提供直观的体验，但由于操作不便和应用场景有限，学生对其喜欢程度也不高。在运用频率方面，学生在日常数学学习中运用图表表征的频率最高，“总是”和“经常”运用图表表征的学生占比达到52%。这进一步证明了图表表征在学生数学学习中的重要地位，学生能够认识到图表表征在理解和解决数学问题中的优势，并积极运用。符号表征的运用频率次之，“总是”和“经常”运用符号表征的学生占比为45%，在代数运算和逻辑推理等方面，符号表征是学生常用的解题工具。文字表征的运用频率为40%，虽然文字表征是数学问题常见的呈现方式，但学生在实际解题过程中，往往会将文字信息转化为其他表征方式，以提高解题效率。实物模型表征的运用频率最低，“总是”和“经常”运用实物模型表征的学生占比仅为28%，这与实物模型表征的熟悉程度和喜欢程度较低相对应。进一步对学生的数学成绩与对不同表征方式的偏好进行相关性分析，结果显示，数学成绩较高的学生对符号表征的偏好更为明显，相关系数为0.45（p<0.01），这表明成绩优秀的学生具备更强的抽象思维能力，能够更好地理解和运用符号进行数学推理和运算。而数学成绩较低的学生则更倾向于图表表征，相关系数为-0.38（p<0.01），他们通过图表的直观性来降低问题的理解难度，弥补自身抽象思维能力的不足。这些问卷结果表明，初三学生对不同数学问题外部表征方式在熟悉程度、喜欢程度和运用频率上存在明显差异，且这种差异与学生的数学成绩密切相关。这为教师在教学过程中根据学生的特点选择合适的外部表征方式提供了重要参考。5.3访谈结果分析访谈结果为深入理解初三学生在面对不同数学问题外部表征方式时的思维过程、困难和需求提供了丰富的质性资料。通过对30名具有代表性学生的访谈，从学生对不同表征方式的理解和感受、解题思维过程以及学习需求等方面揭示了诸多有价值的信息。在对不同表征方式的理解和感受方面，大部分学生表示图表表征最容易理解，因为它能够直观地展示问题的关键信息，帮助他们快速把握问题的整体框架。一名学生提到：“在做函数题的时候，看到函数图象就能马上知道函数的增减性和一些特殊点，比看文字描述和公式要容易理解得多。”这充分体现了图表表征的直观性和形象性对学生理解问题的积极影响。对于符号表征，部分成绩较好的学生认为它简洁明了，能够准确地表达数学关系，在解决代数问题时非常高效。然而，也有不少学生表示符号表征较为抽象，理解和运用起来有一定难度。一位学生说：“像一些复杂的公式，我总是记不住，就算记住了也不知道怎么用，感觉很抽象。”这反映出符号表征的抽象性对部分学生来说是一个较大的挑战，需要他们具备较强的抽象思维能力。文字表征方面，学生普遍认为文字表述较为繁琐，在阅读和理解时容易出现信息遗漏或误解的情况。尤其是在解决应用题时，冗长的文字描述让他们感到困惑，难以快速提取关键信息。有学生提到：“有些应用题的文字太多了，看了半天都不知道在说什么，找关键信息很费劲。”这表明文字表征在信息提取和转化方面对学生的阅读理解能力提出了较高要求。实物模型表征在帮助学生建立直观感知方面得到了学生的认可。学生们表示通过操作实物模型，能够更深刻地理解一些抽象的数学概念，如立体几何中的空间结构。一名学生说：“在学习圆柱的时候，通过观察和触摸圆柱模型，我一下子就明白了圆柱的底面、侧面和高的概念，比只看课本上的图片和文字要好理解。”但同时，学生也指出实物模型在实际应用中存在一定的局限性，如操作不够方便，模型的展示不够全面等。在解题思维过程中，学生在面对不同表征方式的问题时，表现出了不同的思维特点。对于图表表征的问题，学生往往先观察图表的特征，然后根据图表所呈现的信息进行分析和推理。在解决一次函数图象问题时，学生首先会观察函数图象的斜率、截距以及与坐标轴的交点等信息，然后根据这些信息来判断函数的性质和变化趋势，进而解决问题。符号表征问题的解决过程中，学生主要运用逻辑推理和符号运算的方法。他们根据已知条件，运用相关的数学公式和定理进行推导和计算。在解一元二次方程时，学生根据方程的形式，选择合适的解法，如因式分解法、配方法或公式法，通过符号运算求出方程的解。文字表征问题的解题过程相对较为复杂，学生需要先仔细阅读题目，理解题意，提取关键信息，然后将文字信息转化为数学语言或模型，再进行求解。在解决行程问题时，学生需要从文字描述中提取出速度、时间和路程等信息，然后根据行程问题的基本公式建立数学模型，进行计算。实物模型表征问题的解决，学生通常通过观察和操作实物模型，获取直观的感受和信息，然后将这些信息与数学知识相结合，找到解题思路。在学习圆锥的体积时，学生通过将圆锥模型装满水，倒入等底等高的圆柱模型中，观察水的体积关系，从而理解圆锥体积公式的推导过程。从学习需求来看，学生希望教师在教学过程中能够多样化地运用不同的外部表征方式，以满足他们不同的学习需求。他们希望教师在讲解抽象的数学概念时，多运用图表和实物模型进行辅助教学，帮助他们更好地理解。学生也希望教师能够加强对符号表征的教学，帮助他们提高符号运算和逻辑推理的能力。访谈结果进一步验证了测试和问卷的研究结果，全面揭示了初三学生在面对不同数学问题外部表征方式时的认知特点和学习需求，为教师改进教学方法和策略提供了重要的参考依据。六、研究结论与教育启示6.1研究结论总结本研究通过对1200名初三学生的测试、调查以及对30名学生的访谈，深入探究了数学问题外部表征方式对初三学生问题解决的影响，得出以下结论：不同外部表征方式对解题成绩有显著影响：在数学问题解决成绩方面，不同的外部表征方式表现出显著差异。图表表征和符号表征在提高学生解题成绩上效果显著，平均得分和正确率均较高。图表表征凭借其直观形象的特点，使学生能快速获取关键信息，尤其在解决几何和函数等问题时，帮助学生建立起清晰的空间概念和数量关系，从而提高解题准确性。在一次函数图象问题中，学生通过观察图象能迅速判断函数的增减性和特殊点，进而解决相关问题。符号表征在代数运算和逻辑推理类问题中优势明显，其简洁性和精确性让学生能够高效地进行推理和计算，如在一元二次方程的求解中，学生熟练运用符号运算规则，能够快速得出方程的解。文字表征由于信息量大、理解难度高，学生在提取关键信息和转化为数学模型时面临挑战，导致平均得分和正确率较低。实物模型表征在帮助学生理解抽象概念上有一定作用，但由于操作不便和应用场景有限，对解题成绩的提升效果相对有限。不同外部表征方式影响解题时间：解题时间上，不同外部表征方式也存在明显差异。文字表征由于需要学生花费大量时间阅读和理解冗长的文字信息，并进行信息转化，导致解题时间较长。在解决文字表述复杂的应用题时，学生往往需要反复阅读题目，提取关键信息，这一过程耗费了较多时间。图表表征能够让学生快速直观地获取信息，在一些问题上有效缩短了解题时间，学生通过观察图表，能够迅速把握问题的核心，找到解题思路。符号表征在学生熟练掌握符号运算规则的前提下，对于擅长抽象思维的学生，在代数问题上能够高效地进行推理和计算，解题时间较短。实物模型表征虽然有助于学生建立直观感知，但操作模型和从模型中提取有效信息的过程可能会花费一定时间，对解题时间产生影响。学生对外部表征方式存在偏好且与多种因素相关：初三学生对不同外部表征方式存在明显的偏好，且这种偏好与学生的数学成绩、认知风格和思维能力等因素密切相关。数学成绩较高的学生更倾向于符号表征，他们具备较强的抽象思维能力，能够熟练运用符号进行逻辑推理和运算，在解决代数问题时能够迅速找到解题思路。而数学成绩相对较低的学生则更依赖图表表征和实物模型表征，通过直观的方式降低问题的理解难度，弥补自身抽象思维能力的不足。在解决几何问题时，成绩较差的学生更倾向于通过观察实物模型或绘制图表来理解问题。具有形象思维优势的学生偏好图表表征和实物模型表征，能够借助直观形象的方式更好地理解问题；具有抽象思维优势的学生则更倾向于符号表征和文字表征，能够从抽象的符号和文字中提取关键信息，进行深入的逻辑推理。教学干预可提升学生问题解决能力：通过教学干预，引导学生合理运用多种数学问题外部表征方式，能够有效提高学生的数学问题解决能力。在教学过程中，教师有意识地培养学生对不同表征方式的认识和运用能力，让学生学会根据问题的类型和自身的思维特点，灵活选择合适的表征方式，并能够在不同表征方式之间进行有效的转换，从而促进学生对数学知识的理解和应用。教师在讲解函数知识时，引导学生结合函数图象（图表表征）和函数表达式（符号表征）进行学习，让学生从不同角度理解函数的性质和变化规律，提高学生解决函数问题的能力。通过教学干预，学生在解题成绩、解题效率和思维能力等方面都有了明显的提升，能够更加灵活地运用所学知识解决各种数学问题。6.2对数学教学的启示基于本研究的结论，为提高初三数学教学质量，提升学生数学问题解决能力，在教学实践中可从以下几个方面着手改进。在教学方法上，应采用多样化教学方法，灵活运用不同外部表征方式。在讲解函数概念时，教师可先通过生活中的实际例子，如汽车行驶过程中速度与时间的关系，用文字表征来引入，让学生理解函数的应用场景。随后，给出函数表达式，如“y=3x+2”，运用符号表征深入分析函数的性质和运算。接着，绘制函数图象，通过图表表征直观展示函数的变化趋势和特点。在学习立体几何时，利用正方体、圆柱体等实物模型，让学生直观感受立体图形的结构和特征。引导学生根据问题类型和自身思维特点选择合适的表征方式。对于几何问题，鼓励学生多运用图表表征，通过绘制图形、标注条件，清晰呈现几何关系，帮助理解和解题。在证明三角形全等时，学生可以通过绘制三角形，标注已知的边和角，更直观地判断全等条件。对于代数问题，符号表征则更为有效，教师应引导学生熟练掌握符号运算规则，运用符号进行推理和计算。在解方程时，学生能够准确运用符号进行移项、合并同类项等运算。在教学设计中，教师应根据教学内容和目标选择恰当的外部表征方式。在教授一元二次方程时，通过实际问题的文字描述，如销售利润问题，让学生理解方程的实际应用背景，激发学生的学习兴趣。然后引入符号表征，讲解一元