广东省普宁市勤建学校2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

广东省普宁市勤建学校2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，且，则（

）A． B． C． D．2．已知，则（

）．A． B． C． D．3．用0,1,2,3,4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有()A．24个B．30个C．36个D．42个4．函数的导数为（

）A． B．C． D．5．若向量和向量平行,则A． B． C． D．6．函数在区间上的最小值是A．-9 B．-16 C．-12 D．97．若直线为曲线的一条切线，则实数k的值是（

）A．e B． C． D．8．已知函数是定义域为，是函数的导函数，若，且，则不等式的解集为A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为（

）A．(1，1) B．(－1，－1)C． D．10．已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（

）

A．有个极值点B．是的极大值点C．是的极大值点D．在上单调递增11．函数的一个单调递减区间是（

）A．（e，+∞） B． C．（0，） D．（，1）三、填空题（本大题共3小题）12．抛物线的焦点坐标为．13．曲线在点（2，6）处的切线方程为．14．曲线在点在时的切线斜率为.四、解答题（本大题共5小题）15．求下列函数的导数.（1）（2）（3）16．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)求函数在区间上的最值．17．如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.

(1)证明：平面.(2)求与平面所成角的正弦值.18．已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为，（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.19．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数和有相同的最大值，求的值.

参考答案1．【答案】D【分析】先运用列举法求得集合M，由此可判断得选项．【详解】由已知得集合，又，所以不成立，不成立，不成立，成立.故选D．2．【答案】C【详解】由题意得.故选C.3．【答案】B【详解】计算偶数个数分为两类：①若个位数字是0，十位和百位从另4个数字中选两个进行排列有A42＝②若个位数字不是0，从2和4中选一个作个位，从除0外的另3个数字中选一个作百位，再从余下3个数字中选一个作十位，共有A21A31A由分类加法计数原理得，偶数共有12＋18＝30(个)．4．【答案】B【详解】函数，求导得.故选B5．【答案】C【详解】利用向量平行列方程求出，进而可得的坐标，则可得.【详解】由题意得,,得，即,故，∴.故选C.6．【答案】B【详解】，故函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.，，，故最小值为.所以选B.7．【答案】C【详解】设直线与曲线相切于点，函数的导函数为，则，解得.故选C8．【答案】C【详解】令，，则．因为，所以，所以函数在上单调递增．易得，因为函数的定义域为，所以，解得，所以不等式等价于，即．又，所以，所以等价于．因为函数在上单调递增，所以，解得，结合可得．故不等式的解集是．故选C．9．【答案】AB【详解】切线的斜率k＝tanπ＝－1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，∴切点坐标为(1，1)或(－1，－1)．故选:AB．10．【答案】ABD【详解】根据函数的图象可知，在区间，单调递增；在区间，单调递减.所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增，是的极小值点，所以ABD选项正确，C选项错误.故选ABD11．【答案】AD【详解】的定义域为，，所以在区间上，递减，所以AD选项符合题意.故选AD12．【答案】【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.13．【答案】【详解】因为，所以，所以切线方程为，即.14．【答案】3【详解】，当时，，故曲线在点在时的切线斜率为3.15．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】利用导数的运算法则计算即可.【详解】（1）；（2）；（3）.16．【答案】(1)的单调递增区间为和，单调递减区间为(2)最大值为16，最小值为.【分析】(1)利用导数求解函数的单调区间即可.(2)利用导数求解函数在闭区间上的最值即可.【详解】（1）令.则，则当和时，单调递增，当时，单调递减，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）由(1)知当时，取极大值为，当时，取极小值为，，则在上最大值为16，最小值为.17．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】(1)借助正四棱柱的性质可建立空间直角坐标系，求出空间向量与平面的法向量后，借助空间向量计算即可得；(2)求出空间向量与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得.【详解】(1)在正四棱柱中，，，两两垂直，且，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.

因为，分别为的中点，所以，，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则有，，即，因为，所以，又平面，所以平面；(2)由(1)可知，，，所以与平面所成角的正弦值为.18．【答案】（1）；（2）18.【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.当y=0时，解得，所以a=4，椭圆过点M(2，3)，可得，解得b2=12.所以C的方程：.(2)设与直线AM平行的直线方程为：，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程与椭圆方程，可得：，化简可得：，所以，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：，直线AM方程为：，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：，由两点之间距离公式可得.所以△AMN的面积的最大值：.19．【答案】(1)(2).【详解】（1）当时，则，可得，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.（2）的定义域为，而，若，则，此时函数在上单