湖南省长沙市南雅梅溪湖中学2024−2025学年高二下学期阶段性检测 数学试卷（含解析）

湖南省长沙市南雅梅溪湖中学2024−2025学年高二下学期阶段性检测数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数（i为虚数单位），是的共轭复数，则的值为（

）A．1 B． C． D．3．直线与直线平行，则实数的值为（

）A．2 B． C． D．2或4．已知向量，满足，，则（

）A． B． C．2 D．15．在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为：29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第75百分位数为（

）A．37.5 B．38 C．39 D．406．已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（

）A．事件A和相等 B．事件A和互相对立C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥7．当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是A． B． C． D．8．已知点在椭圆上，，是椭圆的左、右焦点，若，且的面积为1，则的最小值为（

）A．2 B． C．2 D．4二、多选题（本大题共3小题）9．已知是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是（

）A． B．C． D．直线，夹角的余弦值为10．下列说法正确的是（

）A．若，则B．若a>b>c，则C．“”是无理数是“a是无理数”的充要条件D．在中，“为直角三角形”的充要条件是“”11．下列各组函数中，是相同函数的是（

）A．与B．与C．与D．与三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线与曲线有一个公共点，则实数的取值范围为．13．已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为．14．已知，为椭圆的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则三角形的面积为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线.（1）求证：直线过定点；（2）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围；（3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.16．已知函数最小值为，周期为.(1)求实数的值；(2)当时，求函数的值域.17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点是的中点，，．

(1)求与所成角的大小；(2)求与平而所成角的正弦值．18．在中，内角，，的对边分别为，，，且．(1)求角；(2)若，且，求的面积．19．杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事，本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办，某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品，生产该款产品的固定成本为4万元，每生产万件，需另投入成本万元．当产量不足6万件时，；当产量不小于6万件时，，若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完．(1)求该款产品销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式；(2)当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？

参考答案1．【答案】C【详解】由，得，解得，所以.所以.故选C.2．【答案】B【详解】因为复数，所以，.故选B.3．【答案】C【详解】当直线与直线不相交时，，解得，当时，直线与直线重合，不符合题意，舍去；当时，直线，即与直线平行，所以实数的值为.故选C4．【答案】C【详解】因为向量，满足，所以，，又因为，故，所以.故选C.5．【答案】C【分析】由百分位数的概念求解．【详解】数据按从小到大排序为，而，故第75百分位数为.故选C.6．【答案】D【详解】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号，由题意可知：样本空间；事件；事件，；对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误；对于选项BD：因为事件，所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确；对于选项C：因为，则，显然，所以事件A和不相互独立，故C错误；故选D.7．【答案】B【详解】以为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BP与AD1所成角的取值范围．【详解】以为原点，，，分别为，，轴正向，建立空间直角坐标系，则，，设，则，，，故，对于函数，有：，，故，又，故.故选.8．【答案】B【详解】如图所示：不妨设，，（，），，则可知，，两式相除可得，所以，又，所以，可得（，），由椭圆的定义，得（当且仅当时等号成立），所以．故选B．9．【答案】ABC【分析】根据向量的坐标运算和向量的位置关系，及夹角公式，逐项判定，即可求解.【详解】因为向量是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，由，所以A不正确；设，可得，此时，此时方程组无解，所以B不正确；由，所以与不垂直，所以C不正确；由，可得，所以D正确.故选：ABC．10．【答案】BC【详解】对于，当时，满足，但，故错误；对于，因为，所以，所以，所以，故B正确；对于C，充分性：若是无理数，则是无理数，充分性成立；必要性：若是无理数，则是无理数，必要性成立.故“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故C正确；对于，若为直角三角形，当时，则有，故D错误.故选BC.11．【答案】ABD【详解】对于A，的定义域、值域、对应关系都与相同，是同一函数．对于B，与是同一函数．对于C，，解析式不同，与不是同一函数．对于D，与是同一函数．故选ABD.12．【答案】或【详解】曲线，，即曲线表示圆的上半圆，直线变形可得，该直线过定点，且斜率为，如图所示，

当直线与半圆相切时，则有，即，解得，由图得，舍去，当直线过点时，，当直线过点时，，由图形可知，当曲线与直线有一个公共点时，或．13．【答案】【详解】，，的夹角为锐角，，且不能同向共线．解得，．则的取值范围为．14．【答案】4【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，由椭圆的定义可得，所以，又因为，所以，所以，则.

15．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【详解】（1）由，即，则，解得，所以直线过定点；（2）如图所示，结合图象可知，当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；当时，直线斜率存在，方程为，又直线不经过第二象限，则，解得；综上所述；（3）已知直线，且由题意知，令，得，得，令，得，得，则，所以当时，取最小值，此时直线的方程为，即.16．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意，所以.（2）由题意，因为，所以，于是，所以，所以函数的值域为.17．【答案】(1)；(2)【详解】（1），又底面，，底面，，，故以A为坐标原点，，，所在的直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，所以，所以，即与所成角的大小为；（2）由（1）知，，．设平面的一个法向量为，则，取，则，，所以是平面的一个法向量，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为．

18．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理求出，再由，得；（2）由已知条件及正弦定理得，根据余弦定理得，求出，最后根据面积公式计算即可.【详解】（1）因为，，所以由正弦定理得,，又，所以，又，所以.（2）由，则，故，，所以，所以，又，整理得，则，解得，所以的面积为．19．【答案】(1)；(2)9；9.5万元【分析】（1）根据题意可列出利润与产量的函数关系式.（