2025年九年级中考数学三轮热点圆中的最值问题题型冲刺复习

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年九年级中考数学三轮热点圆中的最值问题题型冲刺复习1．如图，在中，，，以点O为圆心、2为半径画圆，点C是上任意一点，连接．将绕点O按顺时针方向旋转，交于点D，连接．(1)当与相切时，求证：是的切线；求点C到的距离．(2)直接写出的最大值与最小值的差．2．问题提出（1）如图1，的面积为，弦，C是．上的一个动点，求面积的最大值；问题解决（2）如图2，的半径为，圆内中有一个四边形区域，连接，为等边三角形，当点D在的什么位置上时，阴影部分面积最小？并求出最小值．3．如图，为等边的外接圆，半径为6，点在劣弧上运动（不与点，重合），连接，，．(1)求证：是的平分线；(2)四边形的面积是线段的长的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；(3)若点，分别在线段，上运动（不含端点），经过探究发现，点运动到每一个确定的位置，的周长有最小值，随着点的运动，的值会发生变化，求所有值中的最大值；4．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：（1）根据小明的思路，请你完成证明．（2）若圆的半径为8，则的最大值为________．【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值．【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）．5．如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：（1）根据小明的思路，请你完成证明．（2）若圆的半径为8，则的最大值为________．【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值．【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_________（直接写答案）．6．如图，为等边三角形的外接圆，半径为4，点D在劣弧上运动（不与点A、B重合），连接．(1)求的长；(2)求证：是的平分线；(3)当时，求的长；(4)若点M、N分别在线段上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置，的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化，则所有t值中的最大值为______．7．如图1，在四边形中，，，以为直径所作的经过点，且与相切于点，连接．(1)求证：是的切线．(2)是的外接圆，不与、重合的点在的劣弧上运动（如图2所示）．若点、分别为线段、上的动点（不与端点重合），当点运动到每一个确定的位置时，的周长有最小值，随着点的运动，的值也随之变化，求的最大值．8．如图，在中，，，以点O为圆心，2为半径画圆，过点A作的一条切线，切点为P，连接．将绕点O按逆时针方向旋转到时，连接，设旋转角为（）．(1)如图，当时，①求证：是的切线；②点H到的距离；(2)已知，在旋转过程中，当与相切时，求旋转角的度数；(3)直接写出的最大值与最小值的差．9．如图，在中，，，点是上任意一点，以点为圆心为半径作，与交于点，连接，作的平分线交于点．

(1)求证：；(2)与的另一个交点为，连接，设的半径为，四边形的面积为．①求与之间的函数关系式；②当时，求四边形面积的最大值与最小值．10．如图1，内接于，点E为的内心，连接并延长交于点D，交于点F，连接．(1)若，求的度数．(2)如图2，连接，若，求的长．(3)如图3，连接，若的半径为4，弦，设，求y与x之间的函数关系式及y的最大值．11．如图1~图3，半圆O的直径，弦在半圆O上滑动（点C，D可以分别与A，B两点重合），且．(1)如图1，求劣弧的长；(2)连接，，，，当时，如图2，求证：；(3)点E是的中点，过点C作于点F，如图3．①当时，求线段的长；②在弦滑动的过程中，直接写出线段长度的最大值．12．如图，是的外接圆，连接，，过点作，交的延长线于点，同时过点作，交于点．(1)设度，直接写出____________度，____________度（用含的代数式表示）；(2)如图，过点作，交的延长线于点，连接，其中，；试问的值是否是定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；求出的最大值．13．如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知，，，分别为“果圆”与坐标轴的交点，

与“果圆”中的抛物线交于，两点．(1)求“果圆”中的抛物线的解析式．(2)“果圆”上是否存在点使？如果存在请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．(3)如图2，为直线下方“果圆”上一点，连接，，，设与交于点，的面积记为，的面积记为，求的最小值．14．正方形的四个顶点都在上，E是上一动点．(1)若点E不与点A、D重合，请直接写出的度数；(2)如图2，若点E在上运动（点E不与点B、C重合），连接，，，试探究线段，，的数量关系并说明理由；(3)如图3，若点E在上运动，分别取、的中点M、N，连接，，交于点F，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值．15．正方形的四个顶点都在上，是上一动点．(1)若点不与点、重合，请直接写出的度数；(2)如图2，若点在上运动（点不与点、重合），连接，试探究线段的数量关系并说明理由；(3)如图3，若点在上运动，分别取的中点、，连接交于点，四边形与四边形关于直线对称，连接，，当正方形的边长为2时，求面积的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年九年级中考数学三轮热点圆中的最值问题题型冲刺复习》参考答案1．(1)详见解析；(2)【分析】（1）由切线的性质得，再证，根据全等三角形对应角相等，可得，即可证明是的切线；过点C作，垂足为E，则即为点C到的距离，根据即可求解；（2）作直线于点H，交于和，当点C位于处时，取最小值，当C位于处时，取最大值，则最大值与最小值的差为．【详解】（1）证明：∵与相切，∴，∵，∴，即，又∵，∴．∴．又∵是的半径，∴是的切线；如图，过点C作，垂足为E，则即为点C到的距离，在中，∵，∴，∵，∴，即点C到的距离为．（2）解：中，，，∴．如图，作直线于点H，交于和，由题意知，当点C位于处时，取最小值，当C位于处时，取最大值，∴的最大值与最小值的差．【点睛】本题考查切线的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆到直线的距离，解题的关键是掌握切线的判定方法，找出取最值时点C的位置．2．（1）；（2）当为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为．【分析】（1）连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，由此进行计算即可得出答案；（2）连接，设相交于点，由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，则阴影部分面积最小，由等边三角形的性质可得，，由圆周角定理可得，结合为的中点，得出从而得到四边形是菱形，求出，，，，最后根据进行计算即可．【详解】解：（1）如图1，连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，面积最大，，∵的面积为，∴的半径为，∵，，，，，∴面积的最大值为；（2）如图2，连接，设相交于点，由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，则阴影部分面积最小，是等边三角形，，，由题意可知，是的直径，，，为的中点，，，四边形是菱形，在中，，，，，∴阴影部分面积最小值为故当为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为．【点睛】本题考查圆的综合运用，菱形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．3．(1)见解析(2)是，(3)【分析】本题考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．（1）由等边三角形的性质可得，圆周角定理可得，可得结论；（2）将绕点C逆时针旋转，得到，可证是等边三角形，可得四边形的面积，即可求解；（3）作点D关于直线的对称点E，作点D关于直线的对称点F，由轴对称的性质可得，，可得的周长，则当点E，点M，点N，点F四点共线时，的周长有最小值，即最小值为，由轴对称的性质可求，，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求，则当为直径时，t有最大值为．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴是的平分线；．（2）解：四边形的面积S是线段的长x的函数；理由如下：如图1，将绕点C逆时针旋转，得到，∴，∵四边形是圆内接四边形，∴，∴，∴点D，点B，点H三点共线，∵，∴是等边三角形，∵四边形的面积，∴；（3）解：如图2，作点D关于直线的对称点E，作点D关于直线的对称点F，∵点D，点E关于直线对称，∴，同理，∵的周长，∴当E，M，N，F四点共线时，的周长有最小值，则连接，交于M，交于N，连接，作于P，∴的周长最小值为，∵点D，点E关于直线对称，∴，∵点D，点F关于直线对称，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴当有最大值时，有最大值，即t有最大值，∵为的弦，∴为直径时，有最大值12，∴t的最大值为．4．初步探索：（1）证明见解析；（2）16；类比迁移：；拓展延伸：【分析】初步探索：（1）由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则；（2）当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是16；类比迁移：先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值是；拓展延伸：连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明≌，得，所以，则，所以的最小值为．【详解】解：初步探索：（1）证明：由旋转得，，，，，，、、三点在同一条直线上，，是等边三角形，，，是等边三角形，，；（2）是的弦，且的半径为8，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，的最大值是16，故答案为：16；类比迁移：如图，，，

是的直径，且圆心在上，，，将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，，，，、、三点在同一条直线上，，，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，的最大值为，的最大值为，周长的最大值是．拓展延伸：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，

∴，，，连接、，，，，，，，，，的最小值为．【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．5．初步探索：（1）证明见解析；（2）16；类比迁移：；拓展延伸：【分析】初步探索：（1）由旋转得，，，则，所以、、三点在同一条直线上，再证明是等边三角形，则；（2）当是的直径时，，此时的值最大，所以的最大值是16；类比迁移：先由证明是的直径，且圆心在上，则，，再证明、、三点在同一条直线上，则，当是的直径时，，此时的值最大，则，即可求得周长的最大值是；拓展延伸：连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，先求得，再连接、，证明≌，得，所以，则，所以的最小值为．【详解】解：初步探索：（1）证明：由旋转得，，，，，，、、三点在同一条直线上，，是等边三角形，，，是等边三角形，，；（2）是的弦，且的半径为8，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，的最大值是16，故答案为：16．类比迁移：如图，，，

是的直径，且圆心在上，，，将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，则，，，，，、、三点在同一条直线上，，，当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，的最大值为，的最大值为，周长的最大值是．拓展延伸：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，

∴，，，连接、，，，，，，，，，的最小值为．【点睛】此题重点考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，此题综合性强，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．6．(1)(2)见解析(3)(4)【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，易得，设，三线合一求出的长，进而表示出的长，再在中，利用勾股定理进行求解即可；（2）根据等边三角形的性质，圆周角定理，得到，即可得证；（3）过点作，解非直角三角形，求出得长即可；（4）作点关于的对称点，关于的对称点，连接，易得，得到的周长，过点作，得到，进而得到当最大时，的长最大，即可得出结果．【详解】（1）解：连接并延长，交于点，连接，∵为等边三角形的外接圆，半径为4，∴，∴，设，则：，，∴，在中，由勾股定理，得：，解得：或（舍去）；∴；（2）∵等边三角形，∴，∵，∴，∴是的平分线；（3）过点作，由（1）可知：，∵，∴为等腰直角三角形，∴，由（2）知：，∴，∴，∴；（4）作点关于的对称点，关于的对称点，连接，则：，，∴，即：，∵的周长，∴当四点共线时，的周长最小，，∴当最大时，最大，过点作，∵，，∴，，∴，∴，∴当最大时，最大，∵是的一条弦，∴当为直径时，最大，为，∴的最大值为，即：的最大值为；故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形的外接圆，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，利用轴对称解决线段最短问题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键．7．(1)详见解析(2)【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质等，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．（1）先求出，进而得到是等边三角形，得到，即可得出结论．（2）由（1）知，为等边三角形，由其三线合一，可求出的半径为，分别作点关于、的对称点、，连接分别交、于、两点，连接、，则、，由对称知，是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得出是顶角为的等腰三角形，进而求出值．【详解】（1）证明：连接是的直径，是上的点，，，，是的切线，，则．，是等边三角形，，，，，即，是的切线．（2）解：由（1）知，为等边三角形，由其三线合一可得其四心【内心（内切圆圆心）、外心（外接圆圆心）、垂心、重心】合一，如图2，点是的外接圆的圆心，连接、、，并延长交于点，则，，，，，，解得，，即的半径为，分别作点关于、的对称点、，连接分别交、于、两点，连接、，则、，的周长，连接、、，由对称知，是的垂直平分线，是的垂直平分线，，，，，则是顶角为的等腰三角形，可得，则，即，当是的直径时，取得最大值，的直径为，的最大值为．8．(1)①见解析；②点H到的距离为(2)或(3)【分析】（1）①解：由是的切线，可得，证明，则，即，进而结论得证；②如图1，过点H作于点Q，由勾股定理得，，根据，计算求解即可；（2）由（1）可知，当时，与相切；如图2，当时，，，此时与相切，根据，计算求解即可；（3）由勾股定理得，，如图3，过作，交圆于，根据的最大值与最小值的差为，计算求解即可．【详解】（1）①解：∵是的切线，∴，∵，，∴，即，∵，，，∴，∴，即，∵是半径，∴是的切线；②解：如图1，过点H作于点Q，∵，，由勾股定理得，，∵，∴，∴解得，，∴点H到的距离为；（2）解：由（1）可知，当时，与相切；如图2，当时，∵，，，∴，∴，即，此时与相切，；综上所述，当与相切时，旋转角的度数为或．（3）解：由勾股定理得，，如图3，过作，交圆于，∴的最大值与最小值的差为，∴的最大值与最小值的差为．【点睛】本题考查了旋转的性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等知识．熟练掌握切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键．9．(1)见解析(2)①；②当时，四边形面积的最大值为15，最小值为7【分析】（1）由题意可知，根据，可得，则，由平分，可知，进而可得，就可证明结论；（2）①由题意可证，是等腰直角三角形，可知，进而可得；②由函数关系式可知，当时，随增大而增大，可求得当时，当时，有最小值，，当时，有最大值，，即可求解．【详解】（1）解：∵在中，，，∴，又∵，∴，则，∵平分，∴，∴，∴；（2）①∵，，，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，则∵，∴；②，当时，随增大而增大，∴当时，当时，有最小值，，当时，有最大值，，即：当时，四边形面积的最大值为15，最小值为7．【点睛】本题考查了圆的相关概念，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，二次函数与几何图形，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．10．(1)(2)(3)，y的最大值【分析】本题考查三角形的内心，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理；（1）由点E为的内心，可得和是的角平分线，则，，再根据圆周角定理得到，即可得到，最后根据求解；（2）由，，可得，得到，则，，再证明，得到，代入解方程即可；（3）连接交于，连接，过作于，先利用垂径定理求出，则，再根据，得到，，代入后整理得到，再根据二次函数的性质求最大值即可．【详解】（1）解：∵点E为的内心，∴和是的角平分线，∴，，∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴，解得；（3）解：连接交于，连接，过作于，∵，∴，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴，由（2）得，∵，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴，整理得，∵，∴当即与重合时，最大．11．(1)(2)见解析(3)；②3【分析】（1）求劣弧长，需先确定其所对圆心角及圆半径，再用弧长公式计算．（2）利用圆中弧与角的关系找全等条件，用全等判定定理证明．（3）①通过角度关系求，在直角三角形中用三角函数求，进而得②构造辅助线，利用三角形相关性质确定EF与其他线段关系，根据三边关系求最大值．【详解】（1）连接，，为等边三角形，，；（2）证明：，，又，，(AAS)；（3）①连接由（1）得，当时，，在中，，；②取中点，连接，是中点，，在中，为中点，为中点，，因为，是中点，在中，，在中，根据三角形三边关系，当、、三点共线时取等号，所以最大值为．【点睛】本题主要考查圆的相关性质，包括弧长计算、圆周角与弧的关系，以及三角形的知识，如等边三角形判定、全等三角形判定、直角三角形边角关系、三角形中位线定理和三边关系等，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．12．(1)，；(2)是定值，理由见解析；最大值为．【分析】（）作圆周角，可求得，进而得出，根据得出；（）作于，可证得，从而，从而求得的值，可证得，从而得出结果；可得出，从而，从而得出，从而当点在的中点时，最大，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图，作圆周角，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：，；（2）解：如图，是定值，理由如下：作于，∴，，由（）知，，∴，∴，∴，∴，∵，∴点共圆，∴，由（）知，，∴，∴，∴；由上知，，∴，∴，∴，∴，∴当点在的中点时，最大，如图，连接，交于点，∴，∴，∴最大．【点睛】本题考查了圆的有关性质，垂径定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，掌握知识点的应用及正确添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键．13．(1)(2)使,点坐标为或(3)【分析】（1）先求出点，坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）求出线段，进而得出，判断出满足条件的一个点和点重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点．（3）先判断出要的最小值，只要最大即可，再求出直线解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线解析式，即可求出，即可求解．【详解】（1）解：对于直线，交坐标轴两点，，，∵抛物线过，两点，∴，解得：，即，（2）解：如图2，是半圆的直径，半圆上除点，外任意一点，都有，点只能在抛物线部分上，，，，，，，当时，点和点重合，即：，由抛物线的对称性知，另一个点的坐标为，即：使，点坐标为或．（3）如图3，，，，过点作交轴于，的边上的高和的边的高相等，设高为，，，，的最小值，即最小，，，当最大时，即最小，的最小值，和果圆的抛物线部分只有一个交点时，最大，直线的解析式为，设直线的解析式为①，抛物线的解析式为即②，联立①②化简得，，，抛物线和直线只有一个交点．解得：，直线的解析式为，直线与轴交点坐标，；的最小值为．【