2024年湖南长沙中考数学试卷真题解读及答案详解（精校打印）

年中考真题完全解读（长沙卷）本套试卷是根据长沙市地区学情与《中考评价体系》《义务教育数学课程标准（2011年版2022年修订）》要求编制而成。整体来看，试卷延续了近几年长沙地区中考命题的一贯风格，在题型、题量与难度分配上较为稳健，同时也兼顾了对于数学核心素养与实践应用能力的考查。与往年相比，本卷在呈现形式和情境创设上更加贴近生活化与时代感，多次出现贴合社会热点或科学技术前沿背景的问题，如题目中引用了“中国新能源汽车”、“改革开放46周年”等真实情景，体现了对学生运用数学思维解决实际问题的要求。本套试卷保持了“选择题—填空题—解答题”的基本类型，题量共25题，满分120分，考试时长120分钟。选择题部分共有10小题，每题3分，涵盖了数与代数、图形与几何、统计与概率等主要内容，难度梯度合理，能有效区分学生对于基础知识的掌握情况；填空题6小题，每题3分，要求学生迅速、准确地掌握常见运算方法和几何推理技能；解答题9小题，分值分布从6分到10分不等，题目设计层次逐步提升，既有对基础知识如y=本卷覆盖到初中阶段关键的数学知识模块：有理数与实数的运算、整式与分式的简化、函数及图象变换、几何图形的基本性质、统计与概率等内容都得到了较充分的体现。同时，对几何推理、方程构建、数形结合以及调查统计等主题进行了不同程度的综合考查。例如，某些试题将30∘、60在难易度控制上，试卷总体呈由易到难的分布格局，选择与填空部分注重对基础技能与基础概念的考查，能让绝大多数考生在稳健掌握基本要点的情况下获得较好成绩；后面的综合解答题则逐渐提升思维要求，如有些几何题需要借助O点的作辅助线证明对角线关系或利用相似三角形和锐角三角函数，部分函数题则结合现实场景、设参变量m进行分析，考查学生对二次函数最小值、抛物线与x轴交点数量等内容的理解。此类题型对学生综合素养与开放性思维的培养具有积极意义。本卷对口算、简算或因式分解等基础运算的要求不算繁重，难度集中于对几何与函数应用的处理上，更注重模型建立与推理论证。同时，此次长沙命题更充分地兼顾到各校不同层次学生的实际情况：题目梯度分明，面向中等生的题目比例合适，拔高题在最后几题，题意几何图形或综合方程都留有适度提示，保证了优秀生挑战更高层次思维的机会，也使得基础扎实的学生有充分的发挥空间。综合而言，2024年长沙市初中学业水平考试数学试卷符合本地学情与教情，紧扣《课程标准》的要求，对学生的学习兴趣与能力均有正面引导作用，也能为一线教师在平时教学中更好地推动素质教育与深化数学理论与实践融合提供重要参考。该试卷命题的科学性与综合性，将有助于引领教师关注双向细目表与“双减”背景下的高效课堂教学，为学生搭建稳健而丰富的数学思维训练阶梯，整体上具有较高的信度和区分度。❆延续了“10道选择题+6道填空题+9道解答题”的形式，共25个小题，满分120分，考试用时120分钟。❆选择题依旧占据30分，填空题18分，解答题72分，分值比例与往年相似。❆多题结合“数字化战略”“新农村建设”“新能源汽车”等社会热点，呈现出更鲜明的时代性。❆情景材料引入更充分，考察学生对数学知识的运用与对信息提取、分析的综合能力。❆部分试题将一次函数、三角形几何与数据分析等元素融为一体，需要学生多角度运用知识来解答。❆同步强化对概率统计、方差、“选数字猜出生年份”等知识板块的考查，体现出对数据分析与代数运算融合的要求。❆更加强调数形结合，既考核学生的几何直观，又注重代数推理与分析的综合应用。❆关注创新情境中对计算、推理、文字表达等多方面的能力考察，鼓励学生灵活应用所学知识。❆虽然题型布局大体与上一年度相同，但在细节设置上（如实验数据、社会热点）的综合考查更深入。❆建议学生在备考中加强对真实情境下的应用与表达训练，注重知识点的前后联系，培养一题多解和多角度思考的意识，提升应变能力。综上所述，今年试题虽在结构上与往年大致相仿，但在情境设置、知识融合和思维考查等方面有进一步深化，要求学生既能牢固掌握基础知识，又能灵活地综合运用，不断提高思维的广度与深度。以下分析基于本套“2024年长沙市初中学业水平考试数学试卷”提供的样题及答案整理而成，旨在帮助考生与教师全面了解试卷结构、考查内容及难易分布情况，为教学与备考提供参考。1.题型构成❆选择题：10小题，每小题3分，共30分。❆填空题：6小题，每小题3分，共18分。❆解答题：9小题，第17、18、19题每题6分；第20、21题每题8分；第22、23题每题9分；第24、25题每题10分，共72分。2.分值占比❆选择题占比：30❆填空题占比：18❆解答题占比：723.考查范围❆数与代数：有理数、实数运算、整式与分式、一次函数、二次函数等。❆空间与图形：几何图形的基本性质、三角形与四边形、圆、相似与全等、菱形与矩形等综合性问题。❆统计与概率：数据的收集与整理、平均数与方差、概率的简单运用、统计图表的绘制与分析。❆综合与应用：部分解答题将几何与代数综合，或与现实情境相结合，考查读图建模、数形结合和逻辑推断等综合能力。下面以表格形式展示本套试卷各题目的分值、题型、考查内容及难易分析。难易程度按“易”“中”“难”三个层级进行划分。题号分值题型考查内容难易分析13选择题轴对称与中心对称图形的识别易23选择题科学记数法易33选择题有理数运算（温度差计算）易43选择题幂的运算、二次根式加减、完全平方公式等基础运算易53选择题统计中的中位数，数据分析基础知识中63选择题坐标平移变换易73选择题一次函数的性质、图象与y轴交点中83选择题三角形内角和定理及平行线的相关性质中93选择题圆的垂径定理及勾股定理中103选择题菱形、相似三角形及30°-60°-90°三角形等综合较难113填空题方差概念与应用易123填空题概率公式与基本概率计算易133填空题分式有意义的条件易143填空题扇形面积公式易153填空题三角形中位线性质中163填空题二元一次方程应用（猜出生年份情境题）中176解答题实数混合运算、三角函数值、绝对值等运用中186解答题整式混合运算与求值中196解答题线段垂直平分线、斜中半定理、勾股定理中208解答题统计、概率综合应用（条形统计图、扇形统计图），数据分析与估计中218解答题全等三角形与等边三角形综合中229解答题二元一次方程组与不等式综合应用（商品采购）中239解答题矩形性质、勾股定理、等腰三角形、锐角三角函数较难2410解答题四边形内切圆、外接圆及特殊四边形性质，多步推理与几何综合难2510解答题二次函数与x轴交点、判别式、直角三角形存在性，多变量方程综合难本套试卷知识点覆盖面广，从基础性到综合性都有体现，总体难度较为适中，适合大部分初中毕业生进行检测。经估算，全卷“易：中：难”题目比例约为3:5❆易：涉及概念识记或基础运算；❆中：需要灵活运用课本知识进行多步推理；❆难：涉及多种知识点综合运用或创新思维推断。❆易（基础题）：例如第1题（轴对称与中心对称图形）、第3题（温度差计算）等，考查基础知识与简单运算，熟悉概念即可拿分。❆中（中档题）：例如第20题（统计图综合应用）和第22题（采购情境下的二元一次方程组与不等式应用），需要综合运用多项数学技能与思考流程，但难度尚可，能体现出对知识点的理解和灵活运用。❆难（综合题）：例如第24题（探究有无内接圆、外接圆的特殊四边形）、第25题（二次函数与三角形存在性综合），考查代数和几何的深度融合，思维量较大，解题流程多，需要熟练掌握不同知识模块并进行综合分析。本试卷对学生的基础知识与综合能力都有较深入考查，命题的情境化和综合性特点明显，做题时需注重对知识点的逻辑梳理与联系，同时兼顾审题准确性与规范答题习惯。祝各位在备考与考试中一切顺利！同学们在完成这份模拟试卷后，可以发现其中涉及面广、综合性强，紧扣初中数学主干知识。在接下来的中考复习中，建议从以下几个方面进行系统、循序渐进地备考，以巩固基础、提升能力并稳定心态。第一阶段：夯实基础❆重点复习整式运算（特别是幂的运算、因式分解和分式的有意义条件等），确保能正确应用同底数幂的运算、零指数、负指数、二次根式简化等基本技能。❆对一次函数、二次函数的图象与性质要十分熟悉，能够快速判断函数图象与坐标轴的交点、增减性，以及函数在解答实际问题时的建模过程。❆统计与概率知识要注重方法与思路：如方差、平均数、中位数、众数等概念的应用要清晰，概率计算中要熟练使用所求情况数总情况数第二阶段：攻克易错点与难点❆几何部分：熟练掌握平行线、三角形内角和、相似与全等的判定与性质、特殊四边形（矩形、菱形、正方形、平行四边形）的概念与判定。尤其在综合题中，需灵活运用“线段垂直平分线”“斜边中线”等定理。❆认识轴对称图形与中心对称图形的区别；回顾圆的基本性质（如垂径定理）并与勾股定理进行综合应用。❆一次函数、二次函数与不等式的综合：面对求函数与x轴、y轴的交点个数这类题型，要注重方程根的判别式Δ=b第三阶段：模拟实战与查漏补缺❆通过整套模拟试卷或综合性练习题，培养审题与解题速度，检查薄弱知识点。❆重点回顾前两阶段易漏、易混的公式与结论。对重点题型（如图象类选择题、分式与二次根式混合运算、几何综合题、统计与概率题）再进行有针对性的强化巩固。选择题❆审题要快：先看题干，找准考点。❆多用排除法：建立简单的判断（如符合定义或运算规则）来排除干扰选项。若条件允许，可带入简单数值或特殊位置进行验证。❆注意细节：小数点、符号正负、指数增减等都是常见的“陷阱”。填空题❆注重运算准确度：分式有意义条件、三角函数特殊角度值、科学记数法等，易出现漏写或错写的情况。❆简洁明了：结果往往只有一个数或简单的代数式，答题卡填写要确保无笔误。解答题❆几何题：先通过标注、辅助线等方式理清图中信息，写出已知量和对应定理；过程必须逻辑清晰，有必要的文字说明。“分步细写”有助于拿到过程分。❆代数题：对含参问题要分情况讨论，或利用判别式、函数性质等方法；对于建模题，要先明确变量和表达式，再给出方程（或不等式），然后有条理地求解。稳定心态，合理安排❆在最后阶段复习时，适当做一些综合模拟题，把握做题节奏；同时保持正常作息，避免过度疲劳。❆考试时，先做自己最有把握的题目，确保基础分，再逐步突破中档、新颖题。自我鼓励，积极应对❆正确认识压力，把紧张感视为动力；相信前期积累，适度心理暗示，积极与同学或老师沟通。❆遇到难题时，不要慌张，可通过回忆知识体系或类似题演绎出思路。命题更注重思维过程❆上述试卷中的“综合运用”题明显加大，说明考试注重考查同学们对基本知识的灵活运用。❆在后续出题中，设问会更侧重对探究能力和数学思维的考查，包含阅读理解+数学应用的融合。凸显数学与实际生活关联❆有关“统计与概率”、“数学建模”以及“函数思想”部分可能出现更丰富的情景题或探究型问题。❆建议同学多积累这类素材，增强对实际问题中数据分析、图象判读、函数建模的综合处理能力。同学们只要根据自己的实际情况，循序渐进地按照上述建议进行复习，稳扎稳打、注重巧思，不断提升对基础概念的掌握和综合应用能力，一定能在中考中取得理想的数学成绩，也为进入高中阶段的学习奠定坚实基础。加油！祝大家金榜题名！2024年长沙市初中学业水平考试试卷数学注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6．本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知定义：轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．【详解】解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；C中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D中图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意，故选：B．2.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000建设和应用规模居世界第一．用科学记数法将数据1290000000表示为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．【详解】解：用科学记数法将数据1290000000表示为，故选：C．3.“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查了温差的概念和有理数的运算，解决本题的关键是气温最高值与最低值之差，计算解决即可．【详解】解：能够耐受的温差是，故答案为：D．4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】此题主要考查同底数幂的除法、二次根式的加减、幂的乘方、完全平方公式的运算，解题的关键是熟知运算法则．【详解】解：A、，计算正确；B、不能合并，原计算错误；C、，原计算错误；D、，原计算错误；故选A．5.为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（）A9.2 B.9.4 C.9.5 D.9.6【答案】B【分析】本题考查了中位数的定义，中位数是一组数据从小到大排列后居于中间的一个数或中间两个数的平均数，根据中位数的定义解题即可．【详解】解：甲班演唱后七位评委给出的分数为：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6，∴中位数为：9.4，故选B．6.在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换，根据点的坐标平移规则：左减右加，上加下减求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即，故选：D．7.对于一次函数，下列结论正确的是（）A.它的图象与y轴交于点 B.y随x的增大而减小C.当时， D.它的图象经过第一、二、三象限【答案】A【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案．【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确；B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误；C.当时，，原说法错误；D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；故选A．8.如图，在△ABC中，，，．则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键．由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答．【详解】解：∵在中，，，∴,∵，∴．故选：C．9.如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（）A.4 B. C.5 D.【答案】B【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离，∴，，在中，，故选：B．10.如图，在菱形中，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作，交延长线于H，则，根据菱形的性质和平行线的性质得到，，，进而利用含30度角的直角三角形的性质，证明得到，然后代值整理即可求解．【详解】解：如图，过D作，交延长线于H，则，∵在菱形中，，，∴，，，∴，，在中，，∵，∴，又，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：C．（法二：同理，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11.为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）．【答案】甲【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵，∴甲种秧苗长势更整齐，故答案为：甲．12.某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节．抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸一个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有且只有一次抽奖机会，小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为______．【答案】##【分析】本题考查概率公式，掌握概率的意义是解题的关键．利用概率公式直接进行计算．【详解】解：小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为，故答案为：．13.要使分式有意义，则x需满足的条件是______．【答案】【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：∵分式有意义，∴，解得，故答案为：．14.半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）．【答案】【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可．【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为的扇形的面积为，故答案为：．15.如图，在中，点D，E分别是的中点，连接．若，则的长为______．【答案】24【分析】本题主要考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．【详解】解：∵D，E分别是，的中点，∴是中点，∴，故答案为：．16.为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是______．【答案】2009【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，根据题意列二元一次方程，整理得，根据a的取值得到x的9种可能，结合实际即可求解．【详解】解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，根据题意，得，整理，得∴，∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生，∴x只能是2009，故答案为：2009．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：．【答案】【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的意义，特殊角的三角函值化简，再算加减即可．【详解】解：原式．18.先化简，再求值：，其中．【答案】；【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．【详解】解：．当时，原式．19.如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接（1）求的长；（2）求的周长．【答案】（1）（2）【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键．（1）由题意得是线段的垂直平分线，故点D是斜边的中点．据此即可求解；（2）根据、的周长即可求解；【小问1详解】解：由作图可知，是线段的垂直平分线，∴在中，点D是斜边的中点．∴．【小问2详解】解：在中，．∵是线段的垂直平分线，∴．∴的周长．20.中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图类型人数百分比纯电m混动n氢燃料3油车5请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______；（2）请补全条形统计图；（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？【答案】（1）50；30，6（2）见解析（3）（4）人【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键．（1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a；（2）先求得n，进而可补全条形统计图；（3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解；（4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解．【小问1详解】解：本次调查活动随机抽取人数为（人），，则，，则，故答案为：50；30，6；【小问2详解】解：∵，∴补全条形统计图如图所示：【小问3详解】解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；【小问4详解】解：（人）．答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．21.如图，点C在线段上，，，．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，证明是等边三角形是解答的关键．（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；（2）根据全等三角形的性质得到，，再证明是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．【小问1详解】证明：与中，，所以；【小问2详解】解：因为，，所以，，所以是等边三角形．所以．22.刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．（1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？（2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？【答案】（1）A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元（2）最多能购买100件A种湘绣作品【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题；（2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量．【小问1详解】设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元．根据题意，得，解得答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元．【小问2详解】设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件．根据题意，得，解得．答：最多能购买100件A种湘绣作品．23.如图，在中，对角线，相交于点O，．（1）求证：；（2）点E在边上，满足．若，，求的长及的值．【答案】（1）见解析（2），【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键．（1）直接根据矩形的判定证明即可；（2）先利用勾股定理结合矩形的性质求得，．进而可得，再根据等腰三角形的判定得到，过点O作于点F，根据等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求得，，，然后利用正切定义求解即可．【小问1详解】证明：因为四边形是平行四边形，且，所以四边形是矩形．所以；【小问2详解】解：在中，，，所以，因为四边形是矩形，所以，．因为，所以．过点O作于点F，则，所以，在中，，所以．24.对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．请你根据该约定，解答下列问题：（1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；（）②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形；（）③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（）（2）如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：．①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径．（3）已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H．①如图2．连接交于点P．求证：．②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长．【答案】（1）①×；②√；③√（2）①外接型单圆；②见解析（3），，【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③；（2）①根据已知结合题中定义可得结论；②根据角平分线的定义和圆周角定理证明即可证得结论；（3）①连接、、、、，根据四边形是“完美型双圆”四边形，结合四边形内角和定理可推导出，，，进而可得，，然后利用圆周角定理可推导出，即可证得结论；②连接、、、，根据已知条件证明，进而证明得到，再利用勾股定理求得，，同理可证求解即可．【小问1详解】解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆，∴该平行四边形是“平凡型无圆”四边形，故①错误；②∵内角不等于的菱形的对角不互补，∴该菱形无外接圆，∵菱形的四条边都相等，∴该菱形的对边之和相等，∴该菱形有内切圆，∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确；③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图，则，，，，∴为等腰直角三角形，∴，即；故③正确，故答案为：①×；②√；③√；【小问2详解】解：①若四边形中有内切圆，则，这与矛盾，∴四边形无内切圆，又∵该四边形有外接圆，∴该四边形是“外接型单圆”四边形，故答案为：外接型单圆；②∵的平分线交于点E，的平分线交于点F，∴，，∴，，∴，∴，即和均为半圆，∴是的直径．【小问3详解】①证明：如图，连接、、、、，∵是四边形的内切圆，∴，，，，∴，在四边形中，，同理可证，，∵四边形是“完美型双圆”四边形，∴该四边形有外接圆，则，∴，则，