浙江省杭州市六县九校联盟2022-2023学年高二下学期期中数学 含解析

浙江省杭州市六县九校联盟20222023学年高二下学期期中数学（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（共5小题，每小题4分，满分20分）1.若复数$z=(a+bi)^3$，其中$a,b\in\mathbb{R}$，且$|z|=8$，则$ab$的值为（）A.0B.1C.2D.42.已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c\in\mathbb{R}$，且$f(1)=3,f(1)=5,f(2)=10$，则$a+b+c$的值为（）A.7B.9C.11D.133.在$\triangleABC$中，若$\angleA=60^\circ,\angleB=70^\circ,AB=5$，则$AC$的长度为（）A.$\frac{5\sqrt{3}}{2}$B.$\frac{5\sqrt{3}}{3}$C.$\frac{5\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{5\sqrt{2}}{3}$4.若函数$y=\ln(x^21)$的定义域为$D$，则$D$的面积为（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$3\pi$D.$4\pi$5.在平面直角坐标系中，若点$P(x,y)$到直线$l:ax++c=0$的距离为$d$，则点$P$到直线$l$的垂线段长度的平方为（）A.$d^2$B.$4d^2$C.$2d^2$D.$3d^2$二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）1.若$\log_23=a$，则$\log_38=\boxed{}$。2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=3,d=4,S_9=198$，则$a_5=\boxed{}$。3.在$\triangleABC$中，若$a=4,b=6,C=120^\circ$，则$c=\boxed{}$。4.若函数$f(x)=x^33x^2+2$的零点为$x_1,x_2,x_3$，则$x_1+x_2+x_3=\boxed{}$。5.在平面直角坐标系中，若圆$C:x^2+y^2=4$的圆心为$O$，点$P(2,3)$在圆$C$上，则线段$OP$的长度为$\boxed{}$。三、解答题（共3小题，每小题10分，满分30分）1.已知函数$f(x)=\sin(x)+\cos(x)$，求$f(x)$的最小正周期和最大值。2.在$\triangleABC$中，若$a=5,b=8,C=60^\circ$，求$\triangleABC$的面积。3.已知函数$y=\ln(x)$，求曲线$y=\ln(x)$在点$(e,1)$处的切线方程。四、证明题（共2小题，每小题10分，满分20分）1.证明：在平面直角坐标系中，若点$P(a,b)$在第一象限，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}$。2.证明：在$\triangleABC$中，若$a,b,c$为三角形的三边，则$a^2+b^2>c^2$。五、探究题（共1小题，满分10分）1.探究：在平面直角坐标系中，是否存在圆心在$y$轴上的圆，使得圆上的点到原点的距离都相等？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由。八、计算题（共3小题，每小题5分，满分15分）1.已知函数f(x)=2x^23x+1，求f(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值。2.在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)和点B(4,1)，求线段AB的长度。3.已知三角形ABC的三边长分别为a=5,b=7,c=8，求三角形ABC的面积。九、应用题（共2小题，每小题5分，满分10分）1.某商品原价为100元，现在打9折出售，求打折后的价格。2.一辆汽车以每小时60公里的速度行驶了3小时，求汽车行驶的距离。十、函数题（共3小题，每小题5分，满分15分）1.已知函数f(x)=x^33x^2+2，求f(x)的零点。2.已知函数g(x)=ln(x)，求g(x)在区间(1,e)上的最大值和最小值。3.已知函数h(x)=sin(x)+cos(x)，求h(x)的最小正周期。十一、几何题（共2小题，每小题5分，满分10分）1.在平面直角坐标系中，已知点P(2,3)和点Q(4,1)，求线段PQ的长度。2.已知圆C的方程为x^2+y^2=4，求圆C的面积。十二、数列题（共3小题，每小题5分，满分15分）1.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，求a1,a2,a3,a4,a5。2.已知数列{bn}的前n项和为Sn=n^2+n，求b1,b2,b3,b4,b5。3.已知数列{cn}的通项公式为cn=n^2，求c1+c2+c3++c10。十三、概率题（共2小题，每小题5分，满分10分）1.一枚硬币抛掷两次，求正面朝上的概率。2.一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红桃的概率。十四、统计题（共3小题，每小题5分，满分15分）1.已知一组数据的平均数为10，方差为4，求这组数据的标准差。2.已知一组数据的众数为5，中位数为8，求这组数据的平均数。3.已知一组数据的最大值为100，最小值为20，求这组数据的中位数。十五、逻辑推理题（共2小题，每小题5分，满分10分）1.如果今天是星期二，那么1000天后是星期几？2.在一个房间里有5个人，其中3个人说真话，2个人说假话。已知A说：“B是说假话的人。”B说：“C是说假话的人。”C说：“D是说假话的人。”D说：“E是说假话的人。”E说：“A是说假话的人。”请问：谁是说假话的人？一、选择题1.D2.B3.C4.A5.B二、填空题1.32.53.24.15.0三、解答题1.切线方程为y2x1。2.面积为12。四、证明题1.证明：由基本不等式知，(ab)24ab，即a2b22ab。又因为a,b>0，所以a2b2>0，即a2b2>2ab。所以a2b2>c2。2.证明：由余弦定理知，c2a2b22abcosC。因为0<C<π，所以cosC>0，即2abcosC>0。所以c2a2b2>0，即a2b2>c2。五、探究题不存在这样的圆。八、计算题1.最大值为6，最小值为1。2.线段AB的长度为5。3.三角形ABC的面积为10。九、应用题1.打折后的价格为90元。2.汽车行驶的距离为180公里。十、函数题1.零点为1,2。2.最大值为1，最小值为1。3.最小正周期为2π。十一、几何题1.线段PQ的长度为5。2.圆C的面积为4π。十二、数列题1.a11,a23,a35,a47,a59。2.b11,b23,b35,b47,b59。3.c1c2c3c1055。十三、概率题1.正面朝上的概率为1/2。2.抽到红桃的概率为1/4。十四、统计题1.标准差为2。2.平均数为6。3.中位数为60。十五、逻辑推理题1.星期二。2.A和E是说假话的人。1.复数：复数的运算和性质。2