数学－第4章《三角形》综合测试卷-2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第4章《三角形》综合测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（

）A．12 B．10 C．9 D．62．如图，已知P是△ABC内任一点，AB＝12，BC＝10，AC＝6，则PA+PB+PC的值一定大于（

）

A．14 B．15 C．16 D．283．已知△ABC的三条高的比是3：4：5，且三条边的长均为整数，则△ABC的边长可能是（

）A．10 B．12 C．14 D．164．如图，这是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB=AC，D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧M和伞骨的支架，且DM=EM，在弹簧M向上滑动的过程中，若∠MAD=30°，则A．60° B．50° C．40° D．30°5．如图，已知长方形ABCD的边长AB=10cm，BC=8cm，点E在边AB上，AE=4cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C以2cm/sA．1s B．2 s C．3 s6．如图，△ABC的面积为18cm2，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，连接BD，则△ABD的面积为（A．7cm2 B．8cm2 C．7．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与△ABC全等的三角形是（

）A．△AGE B．△GAD C．△EFG D．△DFG8．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD是△ABC的角平分线，AE⊥CD于点E，连接BE，AB=6，AC=8，BC=10，则△ABE的面积是（

A．95 B．2 C．125 10．在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，下列结论：①∠DBE=∠EFH；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③2∠EFH=∠BAC−∠C；④∠BGH=∠ABF+∠C；其中正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．已知一个等腰三角形其中一边长为4，另一边长为8，则它的周长为．12．在△ABC中，∠ABC=35°，AD是BC边上的高，∠ACD=75°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC=13．如图，∠ABC=60°，AB=2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒t>0，当△ABP为锐角三角形时，t的取值范围是．14．如图，AB=AC，D，E分别为AC，AB上的点，BD与CE交于点O，连接OA．要△ABD≌△ACE，还须添加一个条件，如添加AD=AE，可运用SAS，证得△ABD≌△ACE．请写出添加的其它一个条件，仍能证得△ABD≌△ACE：．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能）15．如图，在△ABC中，AB>AC，AD是中线，若∠DAC=2∠BAD，CF⊥AD于点F，则DFAC的值是16．将两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示的方式摆放，将这两个三角板抽象成如图2所示的△ABC和△AED，其中∠BAC=∠EAD=90°，点B，C，E依次在同一条直线上，连接CD．若BC=8，CE=4，则△DCE的面积是．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）如图，线段AB=CD,AB与CD相交于点O，且∠1=60°,CE是由AB平移所得，试确定AC+BD与AB的大小关系，并说明理由．18．（6分）如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处，(1)若DE∥AC，试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；(2)若∠B+∠C=130°，求∠1+∠2的度数．19．（8分）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O．(1)若CD是中线，BC=5，AC=3，则△BCD与△ACD的周长差为；(2)若CD⊥AB，∠ABC=60°，求∠BOC的度数．20．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是BC上两点，连接AD，AE，且AD=AE．求证：BD=CE．针对这道题目，三位同学进行了如下讨论：小明：“可以通过证明△ABD≌△ACE得到．”小华：“可以通过证明△ABE≌△ACD得到．”小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．”请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．21．（10分）如图1，AB∥CD，要求用尺规在CD上取一点H，使得AH平分小明：如图2，以点A为圆心，适当长度为半径画弧交AC，AB于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于12EF的长度为半径画弧交于点G，连接并延长AG交CD于点小红：你的作图是正确的，我的做法和你不一样，如图3，以C为圆心CA为半径画弧，与CD的交点就是点H．(1)请证明小明的做法是正确的；(2)小红的做法正确吗，请说明理由．22．（10分）如图1，在△ABC中，D为BC上一点，且∠ADC=60°,∠ACB和∠CAD的平分线CF、AE交于点M,CF与AD交于点G．(1)求∠AMC的度数；(2)连接BM，交AD于点H，若∠BME=60°，如图2．求证：△AHM≌△BCM．23．（12分）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=8，AD=5，求边AC的取值范围．小琪同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，请根据小琪的方法思考：（1）由已知和作图能得到△EDB≌△ADC，依据是________．A．SSS

B．SAS

C．AAS（2）由“三角形的三边关系”可求得边AC的取值范围是_____________．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．【感悟方法】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，AC=BF．试说明：AE=EF．24．（12分）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案．甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使_____，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．(1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分．乙：；丙：．(2)请你选择其中一种方案进行说明理由．参考答案一．选择题1．D【分析】要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数．【详解】图1没有共用部分，要6根小木棍，图2有共用部分，可以减少小木棍根数，仿照图2得到图3，要7根小木棍，同法搭建的图4，要9根小木棍，如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍，如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形，∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根．故选：D2．A【分析】在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后根据不等式的性质即可得到正确的结论.【详解】解：如图所示，在△ABP中，AP+BP>AB，同理:BP+PC>BC，AP+PC>AC，以上三式左右两边分别相加得到:2(PA+PB+PC)>AB+BC+AC,即PA+PB+PC>12∴PA+PB+PC>12即PA+PB+PC>14故选A.3．B【分析】此题考查了三角形面积的求解方法．解题的关键是由三角形的面积的求解方法与三条高的比是3：4：5，求得三条边的比，设三边为AB，BC，AC三条对应的高为a1，a2，a3，根据△ABC的面积的求解方法即可求得S△ABC=12【详解】解：设三边为AB，BC，AC三条对应的高为a1，a2，可得：S△ABC已知a1可得AB:BC:AC=20:15:12，∵三边均为整数．又∵4个答案分别是10，12，14，16．∴△ABC的边长可能是12．故选：B．4．A【分析】本题考查全等三角形的判定，由线段中点定义得到AD=AE，又MD=ME，AM=AM，因此△ADM≌△AEMSSS，得到∠MAD=∠MAE【详解】证明：∵D，E分别是AB，∴AD=1∵AB=AC，∴AD=AE，∵MD=ME，∴△ADM≌△AEMSSS∴∠MAD=∠MAE=30°,，∴∠DAE=2∠MAD=60°．故选：A．5．A【分析】本题考查的知识点是一元一次方程、全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质．设能够使△BPE与△CQP全等的时间为ts，则BP=2xcm，CP=BC−BP=8−2xcm，CQ=2xcm【详解】解：∵AB=10cm，AE=4∴BE=AB−AE=6cm设能够使△BPE与△CQP全等的时间为ts则BP=2xcm，CP=BC−BP=8−2xcm分两种情况考虑：①△BPE≌△CQP时，∴CP=BE，即8−2x=6，解得x=1，此时BP=CQ=2cm∴1s时能够使△BPE与△CQP②△BPE≌△CPQ，∴CQ=BE，即2x=6，解得x=3，此时BP=6cm，CP=8−2x=2即BP≠CP，与△BPE≌△CPQ矛盾（舍去）；综上，能够使△BPE与△CQP全等的时间为1s故选：A．6．C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长CD交AB于点E，证明△ADE≌△ADCASA，得出DE=DC,【详解】解：如图，延长CD交AB于点E，∵CD⊥AD，∴∠ADE=∠ADC=90°，又∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADCASA∴DE=DC,S∴S∴S∴S故选：C．7.C【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SAS,AAS,ASA,SSS,根据网格特点，利用全等三角形的判定去判断即可．【详解】解：如图：由网格可知△CMA≌△ENASAS∴∠1=∠2，由网格可知△CBM,△ENG均是等腰直角三角形，∴∠3=∠4=45°，∵AB=AG=3，∴△ABC≌△AGEASA如图：同理可得∠G=∠CAB,AB=AG,∠DAG=∠CBA，∴△DAG≌△CBAASA如图：同理可得∠B=∠F,AB=DF,∠CAB=∠GDF，∴△CAB≌△GDFASA如图：由上可得∠EGF=∠FGT+∠EGT=90°，而△ABC是钝角三角形，故△ABC与△FEG不可能全等，故C符合题意，故选：C．8．A【详解】延长BA至E点，使得AE=AC，连结ED、EP，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，∵AC=AE，AP=AP，∴△APC≌△APE（SAS），∴PC=PE=n，在△BPE中，PB+PE＞AB+AE=AB+AC，即m+n＞b+c，故选：A．9．C【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长AE交BC于点F，作AM⊥BC与点M，利用角平分线的定义可证△AEC≌△FECASA，可推出AE=EF，FC=AC=8，再根据三角形面积可求得AM，从而得到S△ABF，最后利用三角形中线的性质可知【详解】解：延长AE交BC于点F，作AM⊥BC与点M，如图所示，∵AE⊥CD，CD是△ABC的角平分线，∴∠AEC=∠FEC=90°，∠ACE=∠FCE，在△AEC和△FEC中，∠AEC=∠FECEC=EC∴△AEC≌△FECASA∴AE=EF，FC=AC，∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，BC=10，∴BF=BC−FC=BC−AC=10−8=2，∵S∴AM=AB⋅AC∴S∵AE=EF，∴S故选：C．10．A【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形高线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和是解题关键．由同角的余角相等得出∠DBE=∠EFH，故①正确；根据角平分线的定义得出∠EBC=∠EBA=12∠ABC，再根据三角形外角的性质得出∠BAF=∠ABC+∠C，∠EBC=∠BEF−∠C，从而即可求出2∠BEF=∠BAF+∠C，故②正确；由三角形内角和定理可得出∠ABC=180°−∠C−∠BAC，结合角平分线的定义可得出∠EBC=90°−12∠C+∠BAC，又可知∠CBD=90°−∠C，结合∠EBD=∠CBD−∠EBC和∠DBE=∠EFH，即可求出2∠EFH=∠BAC−∠C，故③正确；由题意易求得∠FEB=∠ABE+∠C，根据同角的余角相等得出【详解】解：∵BD是高线，∴∠DBE+∠DEB=90°．∵FH⊥BE，∴∠EFH+∠DEB=90°，∴∠DBE=∠EFH，故①正确；∵BE是角平分线，∴∠EBC=∠EBA=1∵∠BAF=∠ABC+∠C，∴∠BAF=2∠EBC+∠C，∴∠BAF=2∠EBC+∠C∵∠BEF=∠EBC+∠C，即∠EBC=∠BEF−∠C，∴∠BAF=2∠BEF−∠C+∠C，即∴2∠BEF=∠BAF+∠C，故②正确；∵∠ABC=180°−∠C−∠BAC，∴∠EBC=1∵BD⊥AC，∴∠CBD=90°−∠C，∴∠EBD=∠CBD−∠EBC=90°−∠C∵∠DBE=∠EFH，∴2∠EFH=∠BAC−∠C，故③正确；∵∠FEB=∠EBC+∠C，∠ABE=∠EBC，∴∠FEB=∠ABE+∠C．∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD=∠FEB．∵∠FGD=∠BGH，∴∠BGH=∠FEB，∴∠BGH=∠ABE+∠C，故④错误．综上可知正确的是①②③．故选A．二．填空题11．20【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知长度为4和8两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，能够分类讨论是解题的关键．【详解】解：①当4为底时，其它两边都为8，4、8、8可以构成三角形，故周长为20；②当4为腰时，其它两边为4和8，∵4+4=8，∴不能构成三角形，故舍去，故答案为：20．12．110或125【分析】分两种情形：当高AD在△ABC内部时，由∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的性质得出∠OBC+∠OCB的度数，由三角形内角和定理即可得出结论，当高在△ABC外部时，同法可得可求．【详解】解：当高AD在△ABC内部时，如图所示：∵∠ABC=35°，∠ACB=∠ACD=75°，∴∠ABC+∠ACB=35°+75°=110°，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−55°=125°；当高AD在△ABC外部时，如图所示：∵∠ABC=35°，∠ACB=180°−∠ACD=180°−75°=105°，∴∠ABC+∠ACB=35°+105°=140°，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−70°=110°；故答案为：110或125．13．1<t<4【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，分两种情况：当∠APB=90°时，当∠BAP=90°时，根据三角形内角和定理并结合直角三角形的性质求解即可．【详解】解：当∠APB=90°时，如图：，∵∠ABC=60°，∴∠BAP=180°−∠APB−∠ABP=30°，∴BP=1当∠BAP=90°时，如图：，∵∠ABC=60°，∴∠BPA=180°−∠BAP−∠ABP=30°，∴BP=2AB=4；∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒t>0，△ABP为锐角三角形时，∴1<t<4，故答案为：1<t<4．14．∠ABD=∠ACE，∠AEC=∠ADB，OB=OC，BE=CD，∠BAO=∠CAO，∠BEC=∠CDB，∠OBC=∠OCB【分析】本题考查全等三角形的性质和判断，掌握判断定理是解题关键；要△ABD≌△ACE，已知一组对应边相等和一个公共角，再添加一个条件可以是角相等，∠ABD=∠ACE或∠AEC=∠ADB、∠BAO=∠CAO，依据是ASA或AAS，也可以是间接条件，得出AD=AE，如BE=DC，能间接证出△ABD和△ACE再有一组角相等或一组边相等即可【详解】解：添加∠ABD=∠ACE，依据是ASA，添加∠AEC=∠ADB，依据是AAS，添加∠BAO=∠CAO，可先得出△ABO≌△ACOSAS，从而得出∠ABD=∠ACE，然后依据ASA可证△ABD≌△ACE添加∠BEC=∠CDB可得∠AEC=∠ADB，则依据AAS证明△ABD≌△ACE；添加∠OBC=∠OCB可得∠ABD=∠ACE，则依据ASA可证△ABD≌△ACE；添加OB=OC，先证△ABO≌△ACOSSS，从而得出∠ABD=∠ACE，进而得出△ABD≌△ACE，依据是ASA添加BE=CD，可得出AD=AE，进而△ABD≌△ACE，依据SAS，故答案为：∠ABD=∠ACE，∠AEC=∠ADB，OB=OC，BE=CD，∠BAO=∠CAO，∠BEC=∠CDB，∠OBC=∠OCB．15．1【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．过点B作BH⊥AD于H，延长DA至E，使AE=AC，连接CE，利用AAS证明△BHD≌△CFD，△EFC≌△AHB，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．【详解】解：过点B作BH⊥AD于H，延长DA至E，使AE=AC，连接CE，∴∠E=∠ACE，∵∠DAC=∠E+∠ACE，∠DAC=2∠BAD，∴∠BAD=∠E，∵AD是中线，∴BD=CD，在△BHD和△CFD中，∠H=∠CFD=90°∠BDH=∠CDF∴△BHD≌△CFDAAS∴BH=CF，DH=FD，在△EFC和△AHB中，∠E=∠BAD∠EFC=∠H=90°∴△EFC≌△AHBAAS∴EF=AH，∴AE=FH=DH+FD=2FD，∴AC=2FD，∴DF故答案为：116．24【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据SAS证明△ACD≌△ABE，由全等三角形的性质得出∠ACD=∠B，【详解】解：∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=90°，∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ACD≌△ABESAS∴∠ACD=∠B=45°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∵BC=8，CE=4，∴BE=12，∴CD=12，∴S故答案为：24．三．解答题17．解：由平移的性质知，AB与CE平行且相等，AC=BE，∵AB=CD，∴CE=CD，当B、D、E不共线时，∵AB∥∴∠DCE=∠1=60°，∴△CED是等边三角形，∴DE=AB，根据三角形的三边关系知BE+BD=AC+BD>DE=AB，即AC+BD>AB．当D、B、E共线时，AC+BD=AB，综上，AC+BD≥AB．18．（1）解：∠1=∠2，理由如下：∵∠D是由∠A翻折得到，∴∠D=∠A，∵DE∥AC，∴∠1=∠A,∠2=∠D，∴∠1=∠2．（2）解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B+∠C=130°，∴∠A=50°，∵DE∥AC，∴∠1=∠2=∠A=50°，∴∠1+∠2=50°+50°=100°．19．（1）解：∵CD是△ABC的中线，∴AD=BD，∵BC=5，AC=3，∴△BCD与△ACD的周长差==BC−AC=5−3=2，故答案为：2；（2）解：∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∵BE是△ABC的角平分线，∠ABC=60°，∴∠ABE=1∴∠BOC=∠BDC+∠ABE=90°+30°=120°．20．小明的方法证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ADB=∠AEC，∴△ABD≌△ACEAAS∴BD=CE；小华的方法证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE，即∠AEB=∠ADC，∴△ABE≌△ACDAAS∴BD=CE；小聪的方法证明：如图，过点A作AH⊥BC于H，∵AB=AC，AD=AE，∴BH=CH，DH=EH，∴BH−DH=CH−EH，即BD=CE．21．（1）证明：如图2中，连接EG，FG，由作图可知AE=AF，EG=FG，在△AGE和△AGF中，AE=AFEG=FG∴△AGE≌△AGFSSS∴∠EAG=∠EAF，∴AH平分∠BAC；（2）解：正确，理由如下：如图3中，连接AH，由作图可知CA=CH，∴∠CAH=∠AHC，∵AB∥∴∠BAH=∠AHC，∴∠CAH=∠BAH，∴AH平分∠BAC．22．（1）解：∵AE，