2023年江苏省无锡市中考数学试卷

2023年江苏省无锡市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（3分）实数9的算术平方根是（）A．3 B．±3 C． D．﹣92．（3分）函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≠2 D．x＜23．（3分）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2×a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a6÷a4＝a25．（3分）将函数y＝2x+1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（）A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+3 C．y＝4x﹣3 D．y＝4x+56．（3分）2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.587．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（）A．80° B．85° C．90° D．95°8．（3分）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．19．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝2，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则BM2+2BN2的最小值是（）A． B． C． D．1010．（3分）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝x，∠BAC＝α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：①若α＝45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；②若α＝60°，则AD的最大值为；③若α＝60°，△ABC∽△CBD，则OD的长为；④若△ABC∽△BCD，则当x＝2时，AC+CD取得最大值．其中正确的为（）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）11．（3分）分解因式：4﹣4x+x2＝．12．（3分）废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境．有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池大约会污染水600000L．数据600000用科学记数法可表示．13．（3分）方程的解是：x＝．14．（3分）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表面积为．15．（3分）请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点（2，0）：．16．（3分）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是．17．（3分）已知曲线C1、C2分别是函数y＝﹣（x＜0），y＝（k＞0，x＞0）的图象，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为．18．（3分）二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＞）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点M（3，1）的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a的值为．三、解答题（本大题共10小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；（2）化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．20．（8分）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；（2）解不等式组：．21．（8分）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：（1）△CEF≌△AED；（2）四边形DBCF是平行四边形．22．（8分）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．（1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是．（2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．23．（8分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动．现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题．学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表竞赛成绩xx＜75（A）75≤x＜80（B）80≤x＜85（C）85≤x＜90（D）90≤x＜95（E）95≤x≤100（F）频数2196a57b6学生参加航天知识竞赛成绩统计表年级平均数众数中位数七年级82.738281八年级81.848282九年级81.318380（1）a＝；m＝%；（2）请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个年级的总体情况做出评价，并说明理由．24．（8分）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是．25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．过点D的线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．（1）求∠F的度数；（2）若DE•DC＝8，求⊙O的半径．26．（10分）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】27．（10分）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A＝60°，点Q为CD的中点，P为线段A上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q．（1）当∠QPB＝45°时，求四边形BB'C'C的面积；（2）当点P在线段AB上移动时，设BP＝x，四边形BB'C'C的面积为S，求S关于x的函数表达式．28．（10分）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C（﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．

2023年江苏省无锡市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（3分）实数9的算术平方根是（）A．3 B．±3 C． D．﹣9【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．【解答】解：实数9的算术平方根是3，故选：A．【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．2．（3分）函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＞2 B．x≥2 C．x≠2 D．x＜2【分析】根据分母不为0可得x﹣2≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：C．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．3．（3分）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（）A． B． C． D．【分析】二元一次方程2x+y＝10的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．【解答】解：A、把x＝1，y＝2代入方程，左边＝2+2＝右边，所以是方程的解；B、把x＝2，y＝0代入方程，左边＝右边＝4，所以是方程的解；C、把x＝0.5，y＝3代入方程，左边＝4＝右边，所以是方程的解；D、把x＝﹣2，y＝4代入方程，左边＝0≠右边，所以不是方程的解．故选：D．【点评】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a2×a3＝a6 B．a2+a3＝a5 C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a6÷a4＝a2【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可；选项B根据合并同类项法则判断即可；选项C根据积的乘方运算法则判断即可；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可．【解答】解：A．a2×a3＝a5，故本选项不符合题意；B．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；C．（﹣2a）2＝4a2，故本选项不符合题意；D．a6÷a4＝a2，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．5．（3分）将函数y＝2x+1的图象向下平移2个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（）A．y＝2x﹣1 B．y＝2x+3 C．y＝4x﹣3 D．y＝4x+5【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可．【解答】解：将函数y＝2x+1的图象向下平移2个单位长度，所得函数图象的表达式是y＝2x+1﹣2＝2x﹣1，故选：A．【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．6．（3分）2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58【分析】根据2020年的人均可支配收入×（1+年平均增长率）2＝2022年的人均可支配收入，列出一元二次方程即可．【解答】解：由题意得：5.76（1+x）2＝6.58．故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（3分）如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（）A．80° B．85° C．90° D．95°【分析】由旋转的性质可得∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，由等腰三角形的性质可求∠B＝70°，由三角形内角和定理可求解．【解答】解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E，∴∠B＝70°，∴∠C＝∠E＝55°，∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．8．（3分）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正n边形共有n条对称轴．其中真命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据正多边形的概念和性质逐一判断即可．【解答】解：（1）各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故①是假命题；（2）正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；（3）正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；（4）根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正n边形共有n条对称轴，故④为真命题．故选：C．【点评】本题考查轴对称图形和中心对称图形，正确记忆正多边形的特点是解题关键．9．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝2，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则BM2+2BN2的最小值是（）A． B． C． D．10【分析】过B作BF⊥AD于F，过C作CE⊥AD于E，根据直角三角形的性质得到，求得，要使BM2+2BN2的值最小，则BM和BN越小越好，MN显然在点B的上方（中间位置时），设MF＝x，FN＝1﹣x，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：过B作BF⊥AD于F，过C作CE⊥AD于E，∵∠D＝60°，CD＝2，∴，∵AD∥BC，∴，要使BM2+2BN2的值最小，则BM和BN越小越好，∴MN显然在点B的上方（中间位置时），设MF＝x，FN＝1﹣x，∴BM2+2BN2＝BF2+FM2+2（BF2+FN2）＝x2+3+2[（1﹣x）2+3]＝3x2﹣4x+11＝3（x﹣）2+，∴当x＝时，BM2+2BN2的最小值是．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．10．（3分）如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝x，∠BAC＝α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：①若α＝45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；②若α＝60°，则AD的最大值为；③若α＝60°，△ABC∽△CBD，则OD的长为；④若△ABC∽△BCD，则当x＝2时，AC+CD取得最大值．其中正确的为（）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出△ABD的重心，即可求解；②当a＝60°，BD⊥BC时，AD取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得AD的长，即可求解；③如图，若a＝60°，△ABC∽△CBD，根据相似三角形的性质求得CD＝．GE＝DF＝，CF＝，进而求得OD，即可求解；④如图，根据相似三角形的性质得出CD＝BC2，在Rt△ABC中，BC2＝16﹣x2，根据二次函数的性质，即可求AC+CD取得最大值时，x＝2．【解答】解：①有3种情况，如图1，BC和OD都是中线，点E是重心；如图2，四边形ABDC是平行四边形，F是AD中点，点E是重心；如图3，点F不是AD中点，所以点E不是重心；故①正确；②当a＝60°，如图，AD取得最大值，AB＝4，∴AC＝BE＝2，BC＝AE＝2，BD＝BC＝6，∴DE＝8，∴AD＝2≠2，∴②错误．③如图，若a＝60°，△ABC∽△CBD，∴∠BCD＝60°，∠CDB＝90°，AB＝4，AC＝2，BC＝2，OE＝，CE＝1，∴CD＝，GE＝DF＝，CF＝，∴EF＝DG＝，OG＝，∴OD＝，∴③错误．④如图，△ABC∽△BCD，∴＝，即CD＝，在Rt△ABC中，BC2＝16﹣x2，∴CD＝（16﹣x2）＝﹣x2+4，∴AC+CD＝x﹣x2+4＝﹣（x﹣2）2+5，当x＝2时，AC+CD最大为5，故④正确．故选：A．【点评】本题考查三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）11．（3分）分解因式：4﹣4x+x2＝（2﹣x）2．【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：4﹣4x+x2＝（2﹣x）2；故答案为：（2﹣x）2．【点评】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键．12．（3分）废旧电池含有少量重金属，随意丢弃会污染环境．有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池大约会污染水600000L．数据600000用科学记数法可表示6×105．【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．【解答】解：600000＝6×105．故答案为：6×105．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．13．（3分）方程的解是：x＝﹣1．【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：，3（x﹣1）＝2（x﹣2），解得：x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，（x﹣1）（x﹣2）≠0，∴x＝﹣1是原方程的根，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．14．（3分）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表面积为36+2．【分析】由三棱柱三个侧面和上下两个底面的特征，结合侧面展开图是一个边长为6的正方形卡知，上下底面的正三角形的周长为6，即边长为2，然后根据条件公式进而求出表面积即可得出结论．【解答】解：依题意可知：直三棱柱的上下底面的正三角形的边长为2，∴其2个底面积为＝2．∵侧面展开图是边长为6的正方形，∴其侧面积为6×6＝36，∴该直三棱柱的表面积为36+2．故答案为：36+2．【点评】此题主要考查了直三棱柱侧面展开图的知识，解题时注意三棱柱的特征，找到所求的量的等量关系是解决问题的关键．15．（3分）请写出一个函数的表达式，使得它的图象经过点（2，0）：y＝x﹣2（答案不唯一）．【分析】根据一次函数的定义，可以先给出k值等于1，再找出符合点的b的值即可，答案不唯一．【解答】解：设k＝1，则y＝x+b，∵它的图象经过点（2，0），∴代入得：2+b＝0，解得：b＝﹣2，∴一次函数解析式为y＝x﹣2，故答案为：y＝x﹣2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查对一次函数的常数k、b的理解和待定系数法的运用，是开放型题目．16．（3分）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是8尺．【分析】利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可．【解答】解：设竿长为x尺，则门宽为（x﹣4）尺，门高（x﹣2）尺，门对角线是x尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，整理得：x2﹣12x+20＝0，解得x＝2（舍去）或x＝10．则门高：10﹣2＝8．故答案为：8尺．【点评】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键．17．（3分）已知曲线C1、C2分别是函数y＝﹣（x＜0），y＝（k＞0，x＞0）的图象，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为6．【分析】作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，根据反比例函数系数k的几何意义求得S△OA′D＝k，S△OB′E＝×|﹣2|＝1，根据等边三角形的性质得出OB＝3，OA＝3，易证得△A′OD∽△OB′E，从而得出＝3，即，解得k＝6．【解答】解：作A′D⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，∵将△ABC绕原点O顺时针旋转，点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，∴S△OA′D＝k，S△OB′E＝×|﹣2|＝1，∵边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），OA⊥BC，∴OB＝3，OA＝3，由旋转的性质可知OB′＝OB＝3，OA′＝OA＝3，∴＝，∵∠A′OB′＝∠AOB＝90°，∴∠B′OE+∠A′OD＝90°，∵∠A′OD+∠OA′D＝90°，∴∠B′OE＝∠OA′D，∵∠OEB′＝∠A′DO＝90°，∴△A′OD∽△OB′E，∴＝3，即，∴k＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．18．（3分）二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＞）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点M（3，1）的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a的值为或或．【分析】由题意可得，A（1，0），B（5，0），C（0，5a），所以直线BM解析式为y＝﹣x+，与y轴于（0，），因为a＞，所以5a＞，则点M必在△ABC内部．根据题意可分为两大部分：当分成两个三角形时，直线必过三角形个顶点，平分面积，则过点M的直线必为中线；当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△ABC一边平行，则必有“A”型相似，且相似比为1：．再画出图形分别求解即可．【解答】解：令y＝0，解得x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），令x＝0，则y＝5a，∴C（0，5a），∴直线BM解析式为y＝﹣x+，与y轴于（0，），∵a＞，∴5a＞，∴点M必在△ABC内部．一、当分成两个三角形时，直线必过三角形个顶点，平分面积，则过点M的直线必为中线；①如图1，直线AM过BC中点，∵A（1，0），M（3，1），∴直线AM的解析式为y＝x﹣，∵BC中点坐标为（，a），代入直线求得a＝＜，不成立；②如图2，直线BM过AC中点（，a），∴直线BM解析式为y＝﹣x+，将AC中点坐标（，a）代入入直线求得a＝；③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为（3，0），∴直线MB与y轴平行，不成立；二、当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△ABC一边平行，∴必有“A”型相似，∵平分面积，∴相似比为1：．④如图4，直线ME∥AB，∴＝＝，∴＝，解得a＝；⑤如图5，直线ME∥AC，∴＝，∵AB＝4，∴BE＝2，∵BN＝5﹣3＝2＜2，∴不成立；⑤如图6，直线ME∥BC，∴＝，∠MEN＝∠CBO，∴AE＝2，NE＝2﹣2，tan∠MEN＝tan∠CBO，∴＝，解得a＝．故答案为：或或．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，一次函数的性质等相关知识，涉及分类讨论思想等知识，根据题意进行正确的分类讨论是解题关键．三、解答题（本大题共10小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（1）计算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；（2）化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可；（2）利用平方差公式和单项式乘以多项式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝9﹣5+4＝8；（2）原式＝x2﹣4y2﹣x2+xy＝﹣4y2+xy．【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．20．（8分）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；（2）解不等式组：．【分析】（1）方程利用公式法求解即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（1）2x2+x﹣2＝0，∵a＝2，b＝1，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝17，∴x＝＝，∴，；（2），解不等式①得x＞﹣1，解不等式②得：x＜3，∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜3．【点评】本题考查的是解一元二次方程以及解一元一次不等式组，掌握公式法和解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．21．（8分）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF．求证：（1）△CEF≌△AED；（2）四边形DBCF是平行四边形．【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到AE＝CE，DE∥BC，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵点D、E分别为AB、AC的中点，∴AE＝CE，在△CEF与△AED中，，∴△CEF≌△AED（SAS）；（2）由（1）证得△CEF≌△AED，∴∠A＝∠FCE，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．22．（8分）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．（1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是．（2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）画出树状图，得出总的结果数，和恰好抽到景区A和景区B门票的情况即可，再由概率公式计算．【解答】解：（1）一共有4种情况，恰好抽到景区A门票的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：∴一共有16种等可能得情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种，∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为＝．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（8分）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动．现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题．学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表竞赛成绩xx＜75（A）75≤x＜80（B）80≤x＜85（C）85≤x＜90（D）90≤x＜95（E）95≤x≤100（F）频数2196a57b6学生参加航天知识竞赛成绩统计表年级平均数众数中位数七年级82.738281八年级81.848282九年级81.318380（1）a＝90；m＝10%；（2）请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个年级的总体情况做出评价，并说明理由．【分析】（1）先求出总人数，再根据C所占的百分比求出a，再由所有频率之和为1，求出“E”所占的百分比，进而确定m的值；（2）比较中位数、众数、平均数的大小得出答案．【解答】解：（1）∵抽取的总人数为21÷7%＝300（人），∴C组的人数为a＝300×30%＝90（人），m＝100%﹣7%﹣32%﹣30%﹣19%﹣2%＝10%；故答案为：90，10；（2）七年级的成绩好一些，因为七年级成绩的平均数最高、中位数都高于其它年级，所以七年级的成绩要好一些．（答案不唯一）．【点评】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．24．（8分）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是3﹣π．【分析】（1）先作∠APB的平分线PQ，再过M点作PB的垂线交PQ于点O，接着过O点作ON⊥PA于N点，然后以O点为圆心，OM为半径作圆，则⊙O满足条件；（2）先利用切线的性质得到OM⊥PB，ON⊥PN，根据切线长定理得到∠MPO＝∠NPO＝30°，则∠MON＝120°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出OM＝，然后根据扇形的面积公式，利用⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积＝S四边形PMON﹣S扇形MON进行计算．【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；（2）∵PM和PN为⊙O的切线，∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，∴OM＝PM＝×3＝，∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积＝S四边形PMON﹣S扇形MON＝2××3×﹣＝3﹣π．故答案为：3﹣π．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的判定与性质、扇形的面积计算．25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，FD为⊙O的切线，CD与AB相交于点E．过点D的线DF∥AB，交CA的延长线于点F，CF＝CD．（1）求∠F的度数；（2）若DE•DC＝8，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，利用切线性质和平行线性质求得∠AOD＝90°，再利用圆周角定理求得∠ACD的度数，最后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得答案；（2）结合（1）中所求易证得△DAE∽△DCA，再利用相似三角形性质及勾股定理即可求得答案．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵FD为⊙O的切线，∴∠ODF＝90°，∵DF∥AB，∴∠AOD＝180°﹣∠ODF＝90°，∴∠ACD＝∠AOD＝45°，∵CF＝CD，∴∠F＝∠CDF＝＝67.5°；（2）∵OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠EAD＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠ACD＝∠EAD，∵∠ADE＝∠CAD，∴△DAE∽△DCA，∴＝，∴DA2＝DE•DC＝8，∵DA＞0，∴DA＝2，∵OA2+OD2＝2OA2＝DA2＝8，OA＞0，∴OA＝2，即⊙O的半径为2．【点评】本题考查圆与相似三角形的综合应用，（2）中利用相似三角形的判定及性质求得DA2＝DE•DC＝8是解题的关键．26．（10分）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】【分析】（1）由图象可知，分两种情况：当22≤x≤30时，当30＜x≤45时，分别利用待定系数法求解即可；（2）设销售利润为w元，再根据销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量列出w与x的关系式，利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b，将（22，48），（30，40）代入解析式得，，解得，∴函数表达式为：y＝﹣x+70；当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n，将（30，40），（45，10）代入解析式得，，解得，∴函数表达式为：y＝﹣2x+100，综上，y与x的函数表达式为：y＝；（2）设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625，∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，∴当x＝30时，w取得最大值为400；当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，当x＝35时，w取得最大值为450；∵450＞400，∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．27．（10分）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A＝60°，点Q为CD的中点，P为线段A上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q．（1）当∠QPB＝45°时，求四边形BB'C'C的面积；（2）当点P在线段AB上移动时，设BP＝x，四边形BB'C'C的面积为S，求S关于x的函数表达式．【分析】（1）根据菱形的性质，证明△BDC为等边三角形，求出PB，PQ，由折叠的性质得∠BPB′＝90°，PB＝PB′，求出BB′，P