组合数学基本的试题及答案

组合数学基本的试题及答案姓名：____________________

一、多项选择题（每题2分，共10题）

1.下列哪些是组合数C(n,k)的性质？

（A）C(n,k)=C(n,n-k)

（B）C(n,0)=1

（C）C(n,k)>C(n,k-1)

（D）C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)

2.在一个5位数的排列中，要求第一位和最后一位不能相同，这样的排列共有多少种？

（A）5!（B）4!（C）5!-4!（D）5!-5

3.某班级有20名学生，从中任选5名学生参加比赛，不考虑顺序，有多少种不同的选法？

（A）C(20,5)（B）P(20,5)（C）5!（D）20!

4.在一个3x3的拉丁方阵中，每个数字从1到9各出现一次，不同的拉丁方阵共有多少种？

（A）9!（B）9!/(3!)^2（C）9!/3!（D）9!/(3!*2!)

5.某班级有5名男生和5名女生，要从中选出2名男生和3名女生参加活动，不同的选法共有多少种？

（A）C(5,2)*C(5,3)（B）P(5,2)*P(5,3)（C）C(10,5)（D）P(10,5)

6.在一个4位数的组合中，第一位和最后一位不能为0，这样的组合共有多少种？

（A）4!（B）4!-3!（C）9*9*8*8（D）9*9*8*7

7.下列哪些是排列数P(n,k)的性质？

（A）P(n,k)=P(n,n-k)

（B）P(n,0)=1

（C）P(n,k)>P(n,k-1)

（D）P(n,k)=C(n,k)*k

8.从10本书中任选3本，不同的选法共有多少种？

（A）C(10,3)（B）P(10,3)（C）10*9*8（D）C(10,3)*3!

9.在一个4位数的排列中，要求第一位和最后一位不能相同，这样的排列共有多少种？

（A）5!（B）4!（C）5!-4!（D）5!-5

10.某班级有5名男生和5名女生，要从中选出2名男生和3名女生参加活动，不同的选法共有多少种？

（A）C(5,2)*C(5,3)（B）P(5,2)*P(5,3)（C）C(10,5)（D）P(10,5)

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二、判断题（每题2分，共10题）

1.组合数C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，其值等于排列数P(n,k)除以k!。（×）

2.当n=k时，组合数C(n,k)等于排列数P(n,k)。（√）

3.从n个不同元素中取出k个元素的组合数C(n,k)等于从n个不同元素中取出k个元素的排列数P(n,k)。（×）

4.当k=0时，组合数C(n,k)恒等于1。（√）

5.任何两个不同的组合数C(n,k)和C(n,k+1)都互不相同。（×）

6.在一个n×n的拉丁方阵中，每个数字从1到n各出现一次，不同的拉丁方阵共有n!种。（×）

7.在一个4位数的排列中，如果第一位和最后一位相同，那么这样的排列数是4!。（×）

8.从n个不同元素中取出k个元素的组合数C(n,k)等于从n个不同元素中取出k个元素的排列数P(n,k)除以k!。（√）

9.任何两个不同的组合数C(n,k)和C(n,k-1)都互不相同。（×）

10.从n个不同元素中取出k个元素的组合数C(n,k)等于从n个不同元素中取出k个元素的排列数P(n,k)除以k!，这个性质也称为组合数的对称性质。（√）

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三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述组合数C(n,k)的计算公式，并解释其含义。

2.举例说明什么是拉丁方阵，并解释其特点。

3.如何判断一个排列是否是拉丁方阵？

4.简述排列数P(n,k)和组合数C(n,k)之间的关系。

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四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述组合数学中“鸽巢原理”的应用及其解题步骤。

2.论述组合数学在现实生活中的应用，并结合具体实例进行分析。

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五、单项选择题（每题2分，共10题）

1.从5个不同的城市中选择3个城市进行旅游，不考虑顺序，共有多少种不同的选择方法？

（A）C(5,3)（B）P(5,3)（C）5!/(3!*2!)（D）5!/3!

2.在一个4位的二进制数中，至少有1个0的数的个数是多少？

（A）2^4（B）2^4-1（C）2^4-2^3（D）2^4-2^4

3.一个班级有10名学生，从中随机选择3名学生参加比赛，不考虑顺序，有多少种不同的选法？

（A）C(10,3)（B）P(10,3)（C）10*9*8（D）10!

4.在一个5位数的排列中，第一位和最后一位不能为0，这样的排列共有多少种？

（A）5!（B）4!（C）5!-4!（D）9*9*8*8

5.下列哪个数是组合数C(5,3)的值？

（A）5（B）10（C）15（D）20

6.从一个由A、B、C、D四个字母组成的字符串中，选取2个字母作为密码，不考虑顺序，共有多少种不同的密码？

（A）C(4,2)（B）P(4,2)（C）4!/(2!*2!)（D）4!

7.在一个4位数的排列中，第一位和最后一位相同，这样的排列共有多少种？

（A）4!（B）4!-3!（C）4!-4!（D）4!-5

8.一个班级有20名学生，从中任选5名学生参加比赛，不考虑顺序，有多少种不同的选法？

（A）C(20,5)（B）P(20,5)（C）20!/(5!*15!)（D）20!

9.下列哪个数是排列数P(5,3)的值？

（A）5（B）10（C）15（D）20

10.从一个由A、B、C、D四个字母组成的字符串中，选取2个字母作为密码，不考虑顺序，共有多少种不同的密码？

（A）C(4,2)（B）P(4,2)（C）4!/(2!*2!)（D）4!

试卷答案如下：

一、多项选择题

1.ABD

解析思路：选项A是组合数的对称性质，选项B是组合数的基本性质，选项C是错误的，因为C(n,k)≤C(n,k-1)，选项D是组合数和排列数的关系。

2.C

解析思路：这是一个排列问题，但由于第一位和最后一位不能相同，所以实际上是4个位置选择2个位置放置相同的数字，然后剩下的3个位置放置不同的数字。

3.A

解析思路：这是一个组合问题，从20个学生中选出5个，不考虑顺序，所以使用组合数C(20,5)。

4.B

解析思路：拉丁方阵中每个数字只出现一次，所以是9!除以每个数字重复的次数，即(3!)^2。

5.A

解析思路：这是一个组合问题，先从5名男生中选2名，再从5名女生中选3名，所以是C(5,2)乘以C(5,3)。

6.D

解析思路：第一位和最后一位不能为0，所以第一位有9种选择（1-9），最后一位也有9种选择，中间两位有8种选择，所以是9*9*8*8。

7.ABD

解析思路：选项A是组合数的基本性质，选项B是组合数的基本性质，选项C是错误的，因为C(n,k)≤C(n,k-1)，选项D是组合数和排列数的关系。

8.A

解析思路：这是一个组合问题，从10本书中任选3本，不考虑顺序，所以使用组合数C(10,3)。

9.C

解析思路：这是一个排列问题，由于第一位和最后一位不能相同，所以实际上是4个位置选择2个位置放置相同的数字，然后剩下的3个位置放置不同的数字。

10.A

解析思路：这是一个组合问题，先从5名男生中选2名，再从5名女生中选3名，所以是C(5,2)乘以C(5,3)。

二、判断题

1.×

解析思路：组合数C(n,k)等于排列数P(n,k)除以k!，而不是等于P(n,k)。

2.√

解析思路：当n=k时，C(n,k)=C(n,n-k)=1，因为从n个元素中取出k个元素（等于n-k个元素）只有一种方法。

3.×

解析思路：组合数C(n,k)和C(n,k+1)可能相同，例如C(5,2)=C(5,3)=10。

4.√

解析思路：当k=0时，C(n,0)=1，因为从n个元素中不取任何元素只有一种方法。

5.×

解析思路：组合数C(n,k)和C(n,k-1)可能相同，例如C(5,2)=C(5,3)=10。

6.×

解析思路：拉丁方阵的特点是每个数字只出现一次，所以不是n!。

7.×

解析思路：如果第一位和最后一位相同，那么剩下的3个位置可以任意排列，所以是4!。

8.√

解析思路：组合数C(n,k)等于排列数P(n,k)除以k!，这是组合数的定义。

9.×

解析思路：组合数C(n,k)和C(n,k-1)可能相同，例如C(5,2)=C(5,3)=10。

10.√

解析思路：组合数C(n,k)等于排列数P(n,k)除以k!，这是组合数的对称性质。

三、简答题

1.组合数C(n,k)的计算公式是C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)，它表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。其含义是从n个不同元素中选择k个元素的不同组合方式的总数。

2.拉丁方阵是一个n×n的方阵，其中包含从1到n的n个不同的数字，每个数字在每个行和列中只出现一次。特点是对角线上的数字相同，且每个数字在每一行和每一列中只出现一次。

3.判断一个排列是否是拉丁方阵的方法是检查每一行和每一列是否都包含从1到n的数字，并且每个数字只出现一次。

4.排列数P(n,k)和组合数C(n,k)之间的关系是P(n,k)=C(n,k)*k!，这意味着在组合数的基础上，还需要考虑元素的排列顺序。

四、论述题

1.鸽巢原理的应用及其解题步骤：

-鸽巢原理：如果要把n+1个或更多物体放入n个容器中，那么至少有一个容器中包含两个或更多的物体。

-应用步骤：

1.确定物体和容器的数量。

2.如果物体的数量大于或等于容器的数量，那么根据鸽巢原理，至少有一个容器中包含两个或更多的物体。

3.如果物体的数量小于容器的数量，那么可能没有容器中包含两个或更多的物体。

2.组合数学在现实生活中的应用