2025北京中关村中学高一（下）期中数学（教师版）

第1页/共1页2025北京中关村中学高一（下）期中数学一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.－240°是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角2.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.3.下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（

）A. B. C. D.4.向量，，则（

）A.4 B.8 C. D.165.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（）A.-2 B.-1 C.1 D.26.若向量，，且，则的值为（

）A. B. C. D.7.如图，在中，点满足，.若，则（）A. B. C. D.8.函数的图象经过下列哪个变换可以得到的图象，这个变换是（）A.先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍B.先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的C.先把函数的图象上每个点的横坐标缩小为原来的，再将图象向左平移个单位D.先把函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向左平移个单位9.若函数的部分图象如图所示，则的值是（）A. B. C. D.10.已知函数，关于函数的性质给出下面三个判断：①函数是周期函数，最小正周期为；②函数的值域为；③函数在区间上单调递增.其中判断正确的个数是（）A.3 B.2 C.1 D.0二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11.___________.12.已知扇形的圆心角为120°，扇形的面积为，则该扇形所在圆的半径为________．13.已知向量，，若，则______，若存在实数m，使得方向相反，则t的取值范围为______.14.若P为所在平面内一点，且，则的形状为______.15.已知角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，且，则的取值可以为___________.（写出一个即可）16.已知，，其中表示不超过x的最大整数.例如：，，①______.②若对任意都成立，则实数a的取值范围是______.三、解答题：本题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知向量，，点，若（1）求与向量方向相同的单位向量的坐标；（2）求点M的坐标；（3）若点满足，求y与的值.18.已知函数.（1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象先列表，再画图；（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数在区间上的最小值，并写出相应x的值.19.已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．（1）确定的解析式；（2）若图象的对称轴只有一条落在区间上，求a的取值范围．条件①：的最小值为；条件②：图象的一个对称中心为；条件③；的图象经过点．20.如图，在四边形中，是边长为2的等边三角形，点是边上的动点（不含端点）.（1）若，求实数的值；（2）求的最小值.21.如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置A点为下齿轮的最右端，B点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系xOy，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中A，B两点的纵坐标分别为，，转动时间为t秒.（1）当时，求点B绕转动的弧度数；（2）分别写出，关于转动时间t的函数表达式，并求当t满足什么条件时，；（3）若函数，当时，恒成立，求a的取值范围.22.已知为维向量，若，则称为可聚向量．对于可聚向量实施变换：把的某两个坐标删除后，添加作为最后一个坐标，得到一个维新向量，如果为可聚向量，可继续实施变换，得到新向量，……，如此经过次变换后得到的向量记为．特别的，二维可聚向量变换后得到一个实数．若向量经过若干次变换后结果为实数，则称该实数为向量的聚数．（1）设，直接写出的所有可能结果；（2）求证：对于任意一个维可聚向量，变换总可以进行次；（3）设，求的聚数的所有可能结果．

参考答案一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【分析】根据角－240°的终边落在的象限进行判断即可.【详解】因为－240°角的终边落在第二象限，所以该角为第二象限角.故选：B2.【答案】D【分析】利用三角函数的定义求解.【详解】解：因为角的终边经过点，所以，故选：D3.【答案】D【分析】由题意，利用三角函数的奇偶性和周期性，逐项判断即可.【详解】对于A，最小正周期为，不满足最小正周期为，故A错；对于B，最小正周期为，但，所以是偶函数，非奇函数，故B错误；对于C，最小正周期为，不满足周期，故C错误；对于D，定义域为R，最小正周期为，满足最小正周期为，又，是奇函数，故D正确．故选：D4.【答案】C【分析】先利用向量的坐标运算求出的坐标，再由模长公式即可求解.【详解】，，，则.故选：C.5.【答案】D【分析】先由图得出用表示的式子，再根据向量共线的充要条件求之即得.【详解】根据网格图中的的大小与方向，易于得到，由向量与共线，可得，解得：.故选：D.6.【答案】D【分析】根据平面向量平行的坐标运算得，利用同角三角函数的商数关系式即可得的值，进而将化为齐次式可求值.【详解】向量，，且，则，故，.故选：D.7.【答案】A【分析】根据向量加减法的几何表示和平面向量的基本定理可得.【详解】，故，，，故选：A8.【答案】B【分析】根据三角函数的变换规则计算可得.【详解】先将函数的图象向左平移个单位得到，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的，得到，即.故选：B9.【答案】A【分析】根据正弦型函数的对称性可得对称中心，即可求得最小正周期，从而可求的值，结合图象代入已知点坐标即可得的值.【详解】由图可知，所以是的一个对称中心，由图象可得最小正周期满足：，则，又，所以，则由图象可得，，所以，，又，所以.故选：A.10.【答案】C【分析】画出函数的图象，结合图象分析函数的周期性，单调性和值域，即可得到结论.【详解】由函数，画出函数的图象，如图所示：函数是周期函数，最小正周期为，故①正确.函数的值域为，故②错误.函数在区间上单调递减.，在区间上单调递增，故③错误.故选：C二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.11.【答案】【分析】根据诱导公式，直接化简整理，结合特殊值的三角函数值，即可得出结果.【详解】.故答案为：12.【答案】【分析】令扇形所在圆的半径为，根据扇形的面积公式有，即可求.【详解】由题意，令扇形所在圆的半径为，则,∴，故.故答案为：13.【答案】①.3②.【分析】利用相等相量的坐标相等可求的值；利用，，求解可得t的取值范围.【详解】因为向量，，若，则且，解得；存在实数m，使得，方向相反，即存在实数，使得，，可得且，解得，由得：，所以t的取值范围为故答案为：①3；②.14.【答案】直角三角形【分析】根据平面向量线性运算得到，再将两边平方，由数量积的运算律得到，即可得到.【详解】由，可得，可得，即，等式两边平方，化简得，，因此，是直角三角形．故答案为：直角三角形．15.【答案】（不唯一）【分析】利用终边相同的角得到，再余弦函数的性质求解.【详解】解：因为角的终边绕原点逆时针旋转后与角的终边重合，所以，则，所以，解得，当时，，故答案为：16.【答案】①.②.【分析】①根据解析式以及取整的定义，将代入解析式可求函数值；②讨论的取值范围，求出，根据不等式恒成立，只需，即可求解.【详解】①由，所以；②当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，又对任意都成立，即恒成立，，所以，所以实数a的取值范围是.故答案为：①；②.三、解答题：本题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【答案】（1）（2）（3），【分析】（1）利用，即可求解.（2）由，可得，进而可求得的坐标；（3）利用向量相等即可求解.【小问1详解】因为，所以，与向量方向相同的单位向量；【小问2详解】因为，所以，整理得，因为点，所以；【小问3详解】因为，所以，所以，即，解得，18.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）；【分析】（1）按5个关键点列表，进而根据五点作图法描点连线画图即可.（2）利用正弦函数的单调性令求解.（3）根据得到，再利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）按5个关键点列表如下：描点连线作图如下：（2）令解得所以函数的单调递增区间是（3）因为所以所以函数在区间上的最小值为，此时，.19.【答案】选择见解析：（1）；（2）．【分析】求出函数的最小正周期，可求得的值.（1）选择①②，求出的值，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；选择①③，求出的值，由已知条件可得出，求出的取值范围，可求得的值，由此可求得函数的解析式；选择②③，由条件②可得出关于的等式结合的取值范围，可求得的值，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式；（2）由可求得的取值范围，结合题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为，所以的最小正周期，．此时．（1）选条件①②；因为，所以．因为图象的一个对称中心为，所以，因为，所以，此时，所以；选条件①③：因为，所以．因为函数的图象过点，则，即，，因为，即，，所以，，解得.所以；选条件②③：因为函数的一个对称中心为，所以，所以．因为，所以，此时，所以．因为函数的图象过点，所以，即，，即，所以．所以；（2）因为，所以，因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，得，所以的取值范围为．20.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知可得，再根据向量加法的几何意义及图形得到，进而确定的值.（2）令且，利用向量加法的几何意义及数量积的运算律可得，即可求最小值.【小问1详解】由是边长为2的等边三角形，所以，又，故，故，则，又，所以.【小问2详解】令且，则，又，，所以，则，所以当时最小值为.21.【答案】（1）2（2），，（3）【分析】（1）由点A与点B处转过的弧长相等，求点B绕转动的弧度数；（2）分别求得点A与点B处转过的圆心角，结合正弦函数，写出关于转动时间的函数表达式，并解不等式即可；（3）由题意可得在时恒成立，利用二次函数的性质可求最小值，进而求得a的范围.【小问1详解】当时，点A绕转动1弧度，点A与点B处转过的弧长相等，则点B绕转动的弧度数为【小问2详解】转动时间为t秒，点A绕转动t弧度，点B绕转动2t弧度，，，当，解得，由，得，，所以满足条件的t的集合为.【小问3详解】在时恒成立，所以在时恒成立，当时，，根据二次函数性质可得，当时，取得最小值，故，故a的范围为22.【答案】（1）或或；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）直接根据定义写出结论；（2）根据定义结合变换中维数的变化规律证明；（3）证明变换过程满足交换律、结合律（与实数加法、乘法的交换律、结合律一样），得出最后的聚数与变换过程中选取的数的顺序无关，从而易得结论．